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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 3, 2, 14, 6, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 2, 15, 7, 13. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 5, 7, 13, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 15 − 2 = 13
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 12, 26, 18, 22, 12. Gruppe Falken: 26, 17, 18, 25, 24. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Gruppe AdlerGruppe Falken1214161820222426
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 12, 18, 22, 26, Median 18
  2. Gruppe Falken geordnet: 17, 18, 24, 25, 26, Median 24
  3. 24 ist mehr als 18.
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 12, 18, 22, 26, Median 18
  2. Gruppe Falken geordnet: 17, 18, 24, 25, 26, Median 24
  3. 24 ist mehr als 18.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 24 gegen 18)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 24, 21, 16, 15, 24. Team Süd: 25, 18, 13, 25, 9. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd8101214161820222426
    So fängst du an:
    Team Nord: 24 + 21 + 16 + 15 + 24 = 100, 100 : 5 = 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 24 + 21 + 16 + 15 + 24 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Team Süd: 25 + 18 + 13 + 25 + 9 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 20 ist mehr als 18.
    Ergebnis:
    Team Nord (20 Punkte gegen 18 Punkte)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 16, 59, 46, 23, 41. Jungen: 50, 12, 23, 43, 37. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 16, 23, 41, 46, 59, Median 41
    2. Jungen geordnet: 12, 23, 37, 43, 50, Median 37
    3. 41 ist mehr als 37.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 41 gegen 37)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 36, 19, 23, 11, 11. Gruppe Falken: 33, 30, 10, 6, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 36 + 19 + 23 + 11 + 11 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Falken: 33 + 30 + 10 + 6 + 11 = 90, 90 : 5 = 18
    3. 20 − 18 = 2
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 58, 22, 55, 29, 251. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 415 : 5 = 83
  2. Geordnet: 22, 29, 55, 58, 251, Median 55
  3. Der Wert 251 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 415 : 5 = 83
  2. Geordnet: 22, 29, 55, 58, 251, Median 55
  3. Der Wert 251 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (55 statt 83)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 55, 54, 25, 386, 50. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Mittelwert: 570 : 5 = 114
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 570 : 5 = 114
    2. Geordnet: 25, 50, 54, 55, 386, Median 54
    3. Der Wert 386 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (54 statt 114)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 26, 197, 29, 10. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 57 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 23, 26, 29, 197
    2. Median: 26
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 197.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 26 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 26, 214, 16, 24, 14, 30. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 324 : 6 = 54
    2. Geordnet: 14, 16, 24, 26, 30, 214, Median 25
    3. Der Wert 214 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (25 statt 54)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 42 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 56, 54, 26. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher253035404550556065?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
  2. Summe der bekannten: 56 + 54 + 26 = 136
  3. 168 − 136 = 32
  1. Summe aller Werte: 4 · 42 = 168
  2. Summe der bekannten: 56 + 54 + 26 = 136
  3. 168 − 136 = 32
Ergebnis:
32 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 36 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 48, 12, 25, 42. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10152025303540455055?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 36 = 180
    2. Summe der bekannten: 48 + 12 + 25 + 42 = 127
    3. 180 − 127 = 53
    Ergebnis:
    53 min
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 12, 18, 4. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 12 + 18 + 4 = 34
    3. 48 − 34 = 14
    Ergebnis:
    14 Treffer
  3. ★9
    Aylin hat in 3 Spielen im Mittel 10 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 12 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 10 = 30
    2. Summe nachher: 4 · 12 = 48
    3. 48 − 30 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 6 von 20 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A5 von 10B6 von 20
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 510 = 0,5
  2. Fußball-AG: 620 = 0,3
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
  1. Theater-AG: 510 = 0,5
  2. Fußball-AG: 620 = 0,3
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 9 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 19 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A9 von 20B19 von 25
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 920 = 0,45
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 920 = 0,45
    2. Klasse 6b: 1925 = 0,76
    3. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,76)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 25 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 20 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A25 von 40B20 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 2540 = 0,625
    2. Schule am See: 2025 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 10 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 50B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1050 = 0,2
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a13417Klasse 6b4?8gesamt17825
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 8.
  2. 8 − 4 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
  1. Zeile Klasse 6b: zusammen 8.
  2. 8 − 4 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 4 = 8
Ergebnis:
4

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a10??Klasse 6b11617gesamt?10?
    So fängst du an:
    Spalte Bus: 10 − 6 = 4
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 10 − 6 = 4
    2. Zeile Klasse 6a: 10 + 4 = 14
    3. Insgesamt: 14 + 17 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 513821Klasse 6?1422gesamt212243
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 22.
    2. 22 − 14 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 13 = 21
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 7 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 17 = 19
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 19 − 5 = 14
    3. Kontrolle: 7 + 10 + 5 + 14 = 36
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer3121887
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 12 : 50 = 0,24
Ergebnis:
0,24

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer22133178
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 178 : 500 = 0,356
    Ergebnis:
    0,356
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31529155
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 29 : 100 = 0,29
    Ergebnis:
    0,29
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer41976404
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 404 : 1000 = 0,404
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,4.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,404

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. 4 von 36, also 436 = 19
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. 4 von 36, also 436 = 19
Ergebnis:
19

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 5? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 15, 9, 8, 6, 17. Jungen: 12, 13, 8, 4, 8. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 15 + 9 + 8 + 6 + 17 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Jungen: 12 + 13 + 8 + 4 + 8 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 11 − 9 = 2
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 Treffer
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 288, 318, 249, 335, 335. Gruppe Falken: 316, 305, 303, 303, 298. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 335 − 249 = 86
    2. Gruppe Falken: 316 − 298 = 18
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 18 gegen 86)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 313, 55, 40, 52, 25. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 313 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 485 : 5 = 97
    3. Ohne ihn: 172 : 4 = 43
    Ergebnis:
    Ausreißer 313, Mittelwert 97 statt 43
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 35 min. Bekannt sind 38, 17, 28. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
    2. Summe der bekannten: 38 + 17 + 28 = 83
    3. 140 − 83 = 57
    Ergebnis:
    57 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 25 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 27 von 50 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A25 von 40B27 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2540 = 0,625
    2. Fußball-AG: 2750 = 0,54
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 19-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer19 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 19100
    2. 19100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 19 : 100 = 0,19
    Ergebnis:
    19100 = 0,19

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 3, 17, 18, 4, 3. Jungen: 17, 15, 5, 8, 15. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Jungen (Median 15 gegen 4)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 22, 58, 33, 297, 55. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (55 statt 93)

  3. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    33
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 18 Mädchen. 7 Mädchen und 13 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (20 Punkte gegen 18 Punkte)
  2. Mädchen (Median 41 gegen 37)
  3. Gruppe Adler, um 2 Hundert Schritte
  4. Median (54 statt 114)
  5. Nein, der Median 26 passt besser
  6. Median (25 statt 54)
  7. 53 min
  8. 14 Treffer
  9. 18 Punkte
  10. Klasse 6b (0,76)
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Fußball-AG (0,65)
  13. 31
  14. 8
  15. 14
  16. 0,356
  17. 0,29
  18. Nein, eher 0,404
  19. 19
  20. 3 Ergebnisse
  21. 112
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. 2 Punkte
  25. Mädchen, um 2 Treffer
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 18 gegen 86)
  27. Ausreißer 313, Mittelwert 97 statt 43
  28. 57 min
  29. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  30. 19100 = 0,19
  31. Jungen (Median 15 gegen 4)
  32. Median (55 statt 93)
  33. 7
  34. fair (18 zu 18)
  35. x̄ = 7,4
  36. Median 7; Spannweite 13