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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 13, 14, 7, 3, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 4, 14, 6, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 6, 14, 16, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 11, 5, 11, 6. Jungen: 4, 5, 16, 9, 11. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 17 + 11 + 5 + 11 + 6 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 4 + 5 + 16 + 9 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 10 − 9 = 1
  1. Mädchen: 17 + 11 + 5 + 11 + 6 = 50, 50 : 5 = 10
  2. Jungen: 4 + 5 + 16 + 9 + 11 = 45, 45 : 5 = 9
  3. 10 − 9 = 1
Ergebnis:
Mädchen, um 1 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 17, 6, 17, 10, 15. Team Süd: 18, 4, 8, 18, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 6, 10, 15, 17, 17, Median 15
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 6, 10, 15, 17, 17, Median 15
    2. Team Süd geordnet: 4, 8, 12, 18, 18, Median 12
    3. 15 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 15 gegen 12)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 27, 16, 23, 18, 26. Gruppe Falken: 22, 20, 23, 36, 14. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 27 + 16 + 23 + 18 + 26 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Gruppe Falken: 22 + 20 + 23 + 36 + 14 = 115, 115 : 5 = 23
    3. 23 − 22 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 1 Hundert Schritte
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 13, 6, 9, 10, 18, 4. Jungen: 17, 13, 13, 12, 16, 7. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 13 + 6 + 9 + 10 + 18 + 4 = 60, 60 : 6 = 10
    2. Jungen: 17 + 13 + 13 + 12 + 16 + 7 = 78, 78 : 6 = 13
    3. 13 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Jungen (13 Treffer gegen 10 Treffer)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 41, 7, 5, 6, 6. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte51015202530354045
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
  2. Geordnet: 5, 6, 6, 7, 41, Median 6
  3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 65 : 5 = 13
  2. Geordnet: 5, 6, 6, 7, 41, Median 6
  3. Der Wert 41 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (6 statt 13)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 53, 27, 58, 279, 38. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    So fängst du an:
    279 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 279 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 455 : 5 = 91
    3. Ohne ihn: 176 : 4 = 44
    Ergebnis:
    Ausreißer 279, Mittelwert 91 statt 44
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 60, 3, 5, 9, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. 60 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 9, 6, 8, 3, 43. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 6, 8, 9, 9, 43
    2. Median: 8,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 43.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 332 cm. Bekannt sind 346, 323, 309. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 332 = 1328
  2. Summe der bekannten: 346 + 323 + 309 = 978
  3. 1328 − 978 = 350
  1. Summe aller Werte: 4 · 332 = 1328
  2. Summe der bekannten: 346 + 323 + 309 = 978
  3. 1328 − 978 = 350
Ergebnis:
350 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 309 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 298, 365, 286. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher280290300310320330340350360370380?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 309 = 1236
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 309 = 1236
    2. Summe der bekannten: 298 + 365 + 286 = 949
    3. 1236 − 949 = 287
    Ergebnis:
    287 cm
  2. ●8
    Lukas möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 338 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 330, 375, 351. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher330340350360370380390?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 338 = 1352
    2. Summe der bekannten: 330 + 375 + 351 = 1056
    3. 1352 − 1056 = 296
    Ergebnis:
    296 cm
  3. ★9
    Lukas hat in 5 Spielen im Mittel 8 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 9 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 8 = 40
    2. Summe nachher: 6 · 9 = 54
    3. 54 − 40 = 14
    Ergebnis:
    14 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A7 von 10B11 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 710 = 0,7
  2. Schule am See: 1125 = 0,44
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 710 = 0,7
  2. Schule am See: 1125 = 0,44
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 4 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 23 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 20B23 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 420 = 0,2
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 420 = 0,2
    2. Klasse 6b: 2340 = 0,575
    3. 0,575 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,575)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 6 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 26 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A6 von 10B26 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 610 = 0,6
    2. Fußball-AG: 2640 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B11 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 610 = 0,6
    2. Schule am See: 1140 = 0,275
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Haustierkein TiergesamtMädchen7??Jungen131326gesamt?27?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Tier: 27 − 13 = 14
  2. Zeile Mädchen: 7 + 14 = 21
  3. Insgesamt: 21 + 26 = 47
  1. Spalte kein Tier: 27 − 13 = 14
  2. Zeile Mädchen: 7 + 14 = 21
  3. Insgesamt: 21 + 26 = 47
Ergebnis:
47

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen13417Jungen9?19gesamt221436
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 19.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 19.
    2. 19 − 9 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 4 = 14
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 28 Mädchen. 14 Mädchen und 5 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 28 = 13
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 13 − 5 = 8
    3. Kontrolle: 14 + 14 + 5 + 8 = 41
    Ergebnis:
    8
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 4 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 42 − 15 = 27
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 27 − 13 = 14
    3. Kontrolle: 4 + 11 + 13 + 14 = 42
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer4131480
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 14 : 100 = 0,14
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 14 : 100 = 0,14
Ergebnis:
0,14

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer51523126
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 126 : 500 = 0,252
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,25.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,252
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer1101683
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 83 : 500 = 0,166
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,166
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer22473412
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 412 : 1000 = 0,412
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,41.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,412

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 1 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 1: 5 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 5 + 5 = 10
    Ergebnis:
    10 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 34, 38, 8, 6, 14. Jungen: 31, 19, 18, 10, 17. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 34 + 38 + 8 + 6 + 14 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Jungen: 31 + 19 + 18 + 10 + 17 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 20 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Mädchen (20 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 355, 323, 271, 307, 374. Team Süd: 322, 338, 323, 329, 318. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1630 : 5 = 326
    2. Team Nord: 374 − 271 = 103
    3. Team Süd: 338 − 318 = 20
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 20 gegen 103)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 246, 28, 24, 22. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 66 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 22, 24, 28, 246
    2. Median: 24
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 246.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 24 passt besser
  4. ●28
    Noah möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 35 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 43, 24, 38. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher20253035404550?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
    2. Summe der bekannten: 43 + 24 + 38 = 105
    3. 140 − 105 = 35
    Ergebnis:
    35 min
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord7 von 20Team Süd16 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 720 = 0,35
    2. Team Süd: 1650 = 0,32
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 50-mal geworfen. 17-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer17 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1750
    2. 1750 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 50 = 0,34
    Ergebnis:
    1750 = 0,34

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 38, 14, 34, 29, 15. Gruppe Falken: 13, 37, 21, 26, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 29 gegen 21)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 29, 23, 12, 16, 155. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 155, Mittelwert 47 statt 20

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 34 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 29, 44, 53. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2530354045505560?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 min

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 15 gegen 12)
  2. Gruppe Falken, um 1 Hundert Schritte
  3. Jungen (13 Treffer gegen 10 Treffer)
  4. Ausreißer 279, Mittelwert 91 statt 44
  5. Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5
  6. Nein, der Median 8,5 passt besser
  7. 287 cm
  8. 296 cm
  9. 14 Punkte
  10. Klasse 6b (0,575)
  11. Fußball-AG (0,65)
  12. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  13. 10
  14. 8
  15. 14
  16. Nein, eher 0,252
  17. Nein, eher 0,166
  18. Nein, eher 0,412
  19. 112
  20. 536
  21. 10 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. fair (18 zu 18)
  24. fair (3 zu 3)
  25. Mädchen (20 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 20 gegen 103)
  27. Nein, der Median 24 passt besser
  28. 35 min
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 1750 = 0,34
  31. Gruppe Adler (Median 29 gegen 21)
  32. Ausreißer 155, Mittelwert 47 statt 20
  33. 10 min
  34. fair (18 zu 18)
  35. x̄ = 8,2
  36. Median 14; Spannweite 16