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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 5, 9, 4, 3, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 5, 4, 17, 18. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 4, 5, 17, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 5
    3. Spannweite = 18 − 4 = 14
    Ergebnis:
    Median 5; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 38, 22, 9, 38, 23. Jungen: 22, 35, 16, 7, 10. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 38 + 22 + 9 + 38 + 23 = 130, 130 : 5 = 26
  2. Jungen: 22 + 35 + 16 + 7 + 10 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 26 ist mehr als 18.
  1. Mädchen: 38 + 22 + 9 + 38 + 23 = 130, 130 : 5 = 26
  2. Jungen: 22 + 35 + 16 + 7 + 10 = 90, 90 : 5 = 18
  3. 26 ist mehr als 18.
Ergebnis:
Mädchen (26 Hundert Schritte gegen 18 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 51, 52, 15, 59, 18. Jungen: 33, 24, 59, 42, 17. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen: 51 + 52 + 15 + 59 + 18 = 195, 195 : 5 = 39
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 51 + 52 + 15 + 59 + 18 = 195, 195 : 5 = 39
    2. Jungen: 33 + 24 + 59 + 42 + 17 = 175, 175 : 5 = 35
    3. 39 ist mehr als 35.
    Ergebnis:
    Mädchen (39 min gegen 35 min)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 278, 389, 267, 372, 309. Team Süd: 287, 279, 390, 251, 268. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 278 + 389 + 267 + 372 + 309 = 1615, 1615 : 5 = 323
    2. Team Süd: 287 + 279 + 390 + 251 + 268 = 1475, 1475 : 5 = 295
    3. 323 − 295 = 28
    Ergebnis:
    Team Nord, um 28 cm
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 309, 280, 254, 282, 334, 311. Team Süd: 379, 287, 351, 277, 308, 300. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 309 + 280 + 254 + 282 + 334 + 311 = 1770, 1770 : 6 = 295
    2. Team Süd: 379 + 287 + 351 + 277 + 308 + 300 = 1902, 1902 : 6 = 317
    3. 317 − 295 = 22
    Ergebnis:
    Team Süd, um 22 cm

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 27, 224, 10, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 60 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 10, 16, 23, 27, 224
  2. Median: 23
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 224.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 10, 16, 23, 27, 224
  2. Median: 23
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 224.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 23 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 14, 23, 235, 28. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 63 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 14, 15, 23, 28, 235
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 15, 23, 28, 235
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 235.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 6, 7, 5, 50. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 50 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 40, 399, 54, 47, 29, 55. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 104 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 29, 40, 47, 54, 55, 399
    2. Median: 50,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 399.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 50,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Noah möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 30 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 45, 45, 10. Was braucht Noah beim letzten Mal?
bisher101520253035404550?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 30 = 150
  2. Summe der bekannten: 12 + 45 + 45 + 10 = 112
  3. 150 − 112 = 38
  1. Summe aller Werte: 5 · 30 = 150
  2. Summe der bekannten: 12 + 45 + 45 + 10 = 112
  3. 150 − 112 = 38
Ergebnis:
38 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 314 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 375, 330, 347, 244. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 314 = 1570
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 314 = 1570
    2. Summe der bekannten: 375 + 330 + 347 + 244 = 1296
    3. 1570 − 1296 = 274
    Ergebnis:
    274 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 42 min. Bekannt sind 53, 40, 31, 54. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
    2. Summe der bekannten: 53 + 40 + 31 + 54 = 178
    3. 210 − 178 = 32
    Ergebnis:
    32 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 57, 27, 26, 31, 47. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 38 = 228
    2. Summe der bekannten: 57 + 27 + 26 + 31 + 47 = 188
    3. 228 − 188 = 40
    Ergebnis:
    40 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 30 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A30 von 50B20 von 25
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 3050 = 0,6
  2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
  1. Klasse 6a: 3050 = 0,6
  2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 11 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A11 von 20B7 von 10
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1120 = 0,55
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1120 = 0,55
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 20 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A20 von 50B7 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2050 = 0,4
    2. Klasse 6b: 725 = 0,28
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,4)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 8 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 24 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 825 = 0,32
    2. Klasse 6b: 720 = 0,35
    3. Klasse 6c: 2440 = 0,6
    4. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6c (0,6)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 24 Kinder mit, davon sind 11 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 8 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 24 − 11 = 13
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 13 − 8 = 5
  3. Kontrolle: 7 + 4 + 8 + 5 = 24
  1. Kinder der Klasse 6b: 24 − 11 = 13
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 13 − 8 = 5
  3. Kontrolle: 7 + 4 + 8 + 5 = 24
Ergebnis:
5

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?715Jungen121022gesamt201737
    So fängst du an:
    Zeile Mädchen: zusammen 15.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 15.
    2. 15 − 7 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 12 = 20
    Ergebnis:
    8
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5131124Klasse 615?29gesamt282553
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 29.
    2. 29 − 15 = 14
    3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 11 = 25
    Ergebnis:
    14
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen5??Jungen14317gesamt?8?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Tier: 8 − 3 = 5
    2. Zeile Mädchen: 5 + 5 = 10
    3. Insgesamt: 10 + 17 = 27
    Ergebnis:
    27

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer391677
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 77 : 500 = 0,154
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 77 : 500 = 0,154
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,15.
Ergebnis:
Nein, eher 0,154

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer2121895
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 18 : 100 = 0,18
    Ergebnis:
    0,18
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer171877
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 18 : 100 = 0,18
    3. 77 : 500 = 0,154
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,154
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer11063294
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 63 : 200 = 0,315
    3. 294 : 1000 = 0,294
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,294

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 2 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 2: 4 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 4 + 4 = 8
    Ergebnis:
    8 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 353, 365, 292, 275, 245. Team Süd: 287, 382, 308, 285, 388. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 353 + 365 + 292 + 275 + 245 = 1530, 1530 : 5 = 306
    2. Team Süd: 287 + 382 + 308 + 285 + 388 = 1650, 1650 : 5 = 330
    3. 330 ist mehr als 306.
    Ergebnis:
    Team Süd (330 cm gegen 306 cm)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 8, 25, 13, 21, 18. Gruppe Falken: 16, 18, 18, 18, 15. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 25 − 8 = 17
    2. Gruppe Falken: 18 − 15 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 3 gegen 17)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 7, 7, 47, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 6, 7, 7, 8, 47
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 47.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Mila möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 29 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 39, 29, 11. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher1015202530354045?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
    2. Summe der bekannten: 39 + 29 + 11 = 79
    3. 116 − 79 = 37
    Ergebnis:
    37 min
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 25 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A25 von 40B4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2540 = 0,625
    2. Fußball-AG: 410 = 0,4
    3. 0,625 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,625)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 7-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 720
    2. 720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 7 : 20 = 0,35
    Ergebnis:
    720 = 0,35

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 326, 377, 386, 333, 253. Team Süd: 368, 260, 298, 263, 261. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 45 cm

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 4, 8, 5, 46. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 33, 26, 42, 49. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    40 min

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 20B19 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am See (0,76)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 5 Mädchen und 13 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (39 min gegen 35 min)
  2. Team Nord, um 28 cm
  3. Team Süd, um 22 cm
  4. Nein, der Median 23 passt besser
  5. Ausreißer 50, Mittelwert 14 statt 5
  6. Nein, der Median 50,5 passt besser
  7. 274 cm
  8. 32 min
  9. 40 min
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Klasse 6a (0,4)
  12. Klasse 6c (0,6)
  13. 8
  14. 14
  15. 27
  16. 0,18
  17. 0,154
  18. 0,294
  19. 16
  20. 3 Ergebnisse
  21. 8 Ergebnisse
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Team Süd (330 cm gegen 306 cm)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 3 gegen 17)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 37 min
  29. Theater-AG (0,625)
  30. 720 = 0,35
  31. Team Nord, um 45 cm
  32. Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  33. 40 min
  34. Schule am See (0,76)
  35. 14
  36. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 5,6
  38. Median 5; Spannweite 14