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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 3, 12, 9, 10, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 15, 13, 20, 6, 3. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 6, 13, 15, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 20 − 3 = 17
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 275, 364, 358, 286, 287. Team Süd: 307, 381, 313, 329, 305. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 275, 286, 287, 358, 364, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 305, 307, 313, 329, 381, Median 313
  3. 313 ist mehr als 287.
  1. Team Nord geordnet: 275, 286, 287, 358, 364, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 305, 307, 313, 329, 381, Median 313
  3. 313 ist mehr als 287.
Ergebnis:
Team Süd (Median 313 gegen 287)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 4, 9, 13, 15, 9. Jungen: 11, 13, 4, 12, 5. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen46810121416
    So fängst du an:
    Mädchen: 4 + 9 + 13 + 15 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 4 + 9 + 13 + 15 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    2. Jungen: 11 + 13 + 4 + 12 + 5 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 10 − 9 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Treffer
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 240, 372, 303, 256, 299. Team Süd: 323, 375, 369, 283, 320. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 240 + 372 + 303 + 256 + 299 = 1470, 1470 : 5 = 294
    2. Team Süd: 323 + 375 + 369 + 283 + 320 = 1670, 1670 : 5 = 334
    3. 334 − 294 = 40
    Ergebnis:
    Team Süd, um 40 cm
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 14, 17, 12, 9, 3. Team Süd: 13, 10, 4, 9, 14. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 + 17 + 12 + 9 + 3 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Team Süd: 13 + 10 + 4 + 9 + 14 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 − 10 = 1
    Ergebnis:
    Team Nord, um 1 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 7, 4, 8, 56, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 56 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 56, Mittelwert 16 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 28, 29, 10, 238. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Mittelwert: 330 : 5 = 66
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 330 : 5 = 66
    2. Geordnet: 10, 25, 28, 29, 238, Median 28
    3. Der Wert 238 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (28 statt 66)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 4, 7, 7, 45. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 7, 7, 45
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 45.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 5, 2, 8, 47, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 72 : 6 = 12
    2. Geordnet: 2, 3, 5, 7, 8, 47, Median 6
    3. Der Wert 47 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 12)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 38 min. Bekannt sind 20, 52, 29, 52. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
  2. Summe der bekannten: 20 + 52 + 29 + 52 = 153
  3. 190 − 153 = 37
  1. Summe aller Werte: 5 · 38 = 190
  2. Summe der bekannten: 20 + 52 + 29 + 52 = 153
  3. 190 − 153 = 37
Ergebnis:
37 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 10, 9. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher910111213?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 9 = 36
    2. Summe der bekannten: 12 + 10 + 9 = 31
    3. 36 − 31 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  2. ●8
    Lukas möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 27 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 27, 10, 21. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 27 = 108
    2. Summe der bekannten: 27 + 10 + 21 = 58
    3. 108 − 58 = 50
    Ergebnis:
    50 min
  3. ★9
    Lukas hat die Ergebnisse von 6 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 40 min. 5 Ergebnisse sind noch zu lesen: 48, 26, 55, 26, 31. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 40 = 240
    2. Summe der bekannten: 48 + 26 + 55 + 26 + 31 = 186
    3. 240 − 186 = 54
    Ergebnis:
    54 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 33-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord33 von 50Team Süd5 von 20
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 3350 = 0,66
  2. Team Süd: 520 = 0,25
  3. 0,66 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 3350 = 0,66
  2. Team Süd: 520 = 0,25
  3. 0,66 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,66)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord13 von 25Team Süd8 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 1325 = 0,52
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1325 = 0,52
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 6-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord18 von 40Team Süd6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1840 = 0,45
    2. Team Süd: 620 = 0,3
    3. 0,45 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,45)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 2-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 32-mal bei 50 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord2 von 10Team Süd32 von 50
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 210 = 0,2
    2. Team Süd: 3250 = 0,64
    3. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,64)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 47 Kinder mit, davon sind 26 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 26 = 21
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 21 − 12 = 9
  3. Kontrolle: 13 + 13 + 12 + 9 = 47
  1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 26 = 21
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 21 − 12 = 9
  3. Kontrolle: 13 + 13 + 12 + 9 = 47
Ergebnis:
9

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 12 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 37 − 21 = 16
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 37 − 21 = 16
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 5 = 11
    3. Kontrolle: 12 + 9 + 5 + 11 = 37
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen13??Jungen71118gesamt?22?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 22 − 11 = 11
    2. Zeile Mädchen: 13 + 11 = 24
    3. Insgesamt: 24 + 18 = 42
    Ergebnis:
    42
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 22 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 41 − 22 = 19
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 19 − 10 = 9
    3. Kontrolle: 12 + 10 + 10 + 9 = 41
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer1101487
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 10 : 50 = 0,2
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 10 : 50 = 0,2
Ergebnis:
0,2

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer62142196
    So fängst du an:
    6 : 10 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 42 : 100 = 0,42
    3. 196 : 500 = 0,392
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,392
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31936170
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 19 : 50 = 0,38
    Ergebnis:
    0,38
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer62272391
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 72 : 200 = 0,36
    3. 391 : 1000 = 0,391
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,391

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
  3. 2 von 36, also 236 = 118
Ergebnis:
118

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 2?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 2: 1 und 1
    3. Das sind 1 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    1 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
  4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 16, 15, 13, 28, 18. Gruppe Falken: 30, 27, 9, 15, 29. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 13, 15, 16, 18, 28, Median 16
    2. Gruppe Falken geordnet: 9, 15, 27, 29, 30, Median 27
    3. 27 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 27 gegen 16)
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 7, 15, 13, 14. Jungen: 12, 9, 13, 10, 11. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen6810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 15 − 6 = 9
    2. Jungen: 13 − 9 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Jungen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 9)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 14, 161, 29, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 49 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 18, 23, 29, 161
    2. Median: 23
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 161.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 23 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 335 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 315, 298, 294, 390. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher280300320340360380400420?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 335 = 1675
    2. Summe der bekannten: 315 + 298 + 294 + 390 = 1297
    3. 1675 − 1297 = 378
    Ergebnis:
    378 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 36 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A36 von 50B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3650 = 0,72
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,72)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 79-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer79 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 79100
    2. 79100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 79 : 100 = 0,79
    Ergebnis:
    79100 = 0,79

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 18, 13, 4, 3, 17. Team Süd: 13, 11, 12, 14, 10. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 13 gegen 12)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 368, 45, 21, 32, 54. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 104 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 45 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 10, 3, 10. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher34567891011?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 11 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A11 von 50B5 von 10
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,5)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 510??Klasse 6131023gesamt?18?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    41

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen, um 1 Treffer
  2. Team Süd, um 40 cm
  3. Team Nord, um 1 Treffer
  4. Median (28 statt 66)
  5. Nein, der Median 7 passt besser
  6. Median (6 statt 12)
  7. 5 Treffer
  8. 50 min
  9. 54 min
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Team Nord (0,45)
  12. Team Süd (0,64)
  13. 11
  14. 42
  15. 9
  16. 0,392
  17. 0,38
  18. 0,391
  19. 112
  20. 3 Ergebnisse
  21. 1 Ergebnisse
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. fair (15 zu 15)
  25. Gruppe Falken (Median 27 gegen 16)
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 4 gegen 9)
  27. Nein, der Median 23 passt besser
  28. 378 cm
  29. Klasse 6a (0,72)
  30. 79100 = 0,79
  31. Team Nord (Median 13 gegen 12)
  32. Nein, der Median 45 passt besser
  33. 17 Treffer
  34. Klasse 6b (0,5)
  35. 41
  36. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 8
  38. Median 13; Spannweite 17