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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 3, 12, 4, 9, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 7, 19, 19, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 7, 7, 19, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 19 − 6 = 13
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 54, 12, 42, 34, 38. Gruppe Falken: 39, 52, 31, 20, 58. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 34, 38, 42, 54, Median 38
  2. Gruppe Falken geordnet: 20, 31, 39, 52, 58, Median 39
  3. 39 ist mehr als 38.
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 34, 38, 42, 54, Median 38
  2. Gruppe Falken geordnet: 20, 31, 39, 52, 58, Median 39
  3. 39 ist mehr als 38.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 39 gegen 38)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 28, 9, 23, 18, 22. Team Süd: 14, 13, 23, 20, 15. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 9, 18, 22, 23, 28, Median 22
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 9, 18, 22, 23, 28, Median 22
    2. Team Süd geordnet: 13, 14, 15, 20, 23, Median 15
    3. 22 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 22 gegen 15)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 347, 254, 265, 350, 284. Gruppe Falken: 389, 359, 302, 387, 243. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 347 + 254 + 265 + 350 + 284 = 1500, 1500 : 5 = 300
    2. Gruppe Falken: 389 + 359 + 302 + 387 + 243 = 1680, 1680 : 5 = 336
    3. 336 ist mehr als 300.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (336 cm gegen 300 cm)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 10, 15, 6, 6, 3. Team Süd: 3, 11, 9, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 10 + 15 + 6 + 6 + 3 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Team Süd: 3 + 11 + 9 + 17 = 40, 40 : 4 = 10
    3. 10 − 8 = 2
    Ergebnis:
    Team Süd, um 2 Treffer

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 8, 46, 5, 8, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 51, 44, 55, 34, 311. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    311 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 311 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 495 : 5 = 99
    3. Ohne ihn: 184 : 4 = 46
    Ergebnis:
    Ausreißer 311, Mittelwert 99 statt 46
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 36, 28, 32, 350, 44. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 98 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 28, 32, 36, 44, 350
    2. Median: 36
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 350.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 36 passt besser
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 18, 233, 10, 30, 12. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 233 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 318 : 6 = 53
    3. Ohne ihn: 85 : 5 = 17
    Ergebnis:
    Ausreißer 233, Mittelwert 53 statt 17

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 19, 38, 32. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 19 + 38 + 32 = 89
  3. 116 − 89 = 27
  1. Summe aller Werte: 4 · 29 = 116
  2. Summe der bekannten: 19 + 38 + 32 = 89
  3. 116 − 89 = 27
Ergebnis:
27 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 296 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 349, 304, 313, 240. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 296 = 1480
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 296 = 1480
    2. Summe der bekannten: 349 + 304 + 313 + 240 = 1206
    3. 1480 − 1206 = 274
    Ergebnis:
    274 cm
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 20, 18, 9. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher810121416182022?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 20 + 18 + 9 = 47
    3. 76 − 47 = 29
    Ergebnis:
    29 Punkte
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 32 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 19, 60, 13, 54, 27. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher10203040506070?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 32 = 192
    2. Summe der bekannten: 19 + 60 + 13 + 54 + 27 = 173
    3. 192 − 173 = 19
    Ergebnis:
    19 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 20-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
Team Nord13 von 25Team Süd20 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1325 = 0,52
  2. Team Süd: 2040 = 0,5
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
  1. Team Nord: 1325 = 0,52
  2. Team Süd: 2040 = 0,5
  3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
Ergebnis:
Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 20 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord8 von 20Team Süd7 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 820 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 820 = 0,4
    2. Team Süd: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,7)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 15 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 10B15 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 810 = 0,8
    2. Klasse 6b: 1525 = 0,6
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 21 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A21 von 40B6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2140 = 0,525
    2. Klasse 6b: 610 = 0,6
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,6)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 21 Mädchen. 14 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 38 − 21 = 17
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 13 = 4
  3. Kontrolle: 14 + 7 + 13 + 4 = 38
  1. Jungen: 38 − 21 = 17
  2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 17 − 13 = 4
  3. Kontrolle: 14 + 7 + 13 + 4 = 38
Ergebnis:
4

AchtungZwischenergebnis statt der gefragten Größe

So nicht
Zinsen 52,50 €, Guthaben? → 52,50 €
So richtig
Zinsen 52,50 €, Guthaben → 1.500 € + 52,50 € = 1.552,50 €

Lies die Frage noch einmal. Rechne weiter, bis genau das dasteht.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 19 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 40 − 19 = 21
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 40 − 19 = 21
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 21 − 9 = 12
    3. Kontrolle: 9 + 10 + 9 + 12 = 40
    Ergebnis:
    12
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 10 Mädchen. 5 Mädchen und 11 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 10 = 21
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 21 − 11 = 10
    3. Kontrolle: 5 + 5 + 11 + 10 = 31
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen5??Jungen4913gesamt?17?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 17 − 9 = 8
    2. Zeile Mädchen: 5 + 8 = 13
    3. Insgesamt: 13 + 13 = 26
    Ergebnis:
    26

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer3141897
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 97 : 500 = 0,194
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 18 : 100 = 0,18
  3. 97 : 500 = 0,194
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,194

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21629146
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 146 : 500 = 0,292
    Ergebnis:
    0,292
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer42135173
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 21 : 50 = 0,42
    Ergebnis:
    0,42
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer2639172
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 39 : 200 = 0,195
    3. 172 : 1000 = 0,172
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,172

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 32, 32, 23, 21, 22. Jungen: 10, 32, 11, 25, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 21, 22, 23, 32, 32, Median 23
    2. Jungen geordnet: 10, 11, 12, 25, 32, Median 12
    3. 23 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 23 gegen 12)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 20, 17, 20, 20. Gruppe Falken: 26, 12, 21, 10, 26. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 95 : 5 = 19
    2. Gruppe Adler: 20 − 17 = 3
    3. Gruppe Falken: 26 − 10 = 16
    4. Die Werte von Gruppe Adler liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 3 gegen 16)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 8, 4, 32, 8, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 4, 8, 8, 8, 32, Median 8
    3. Der Wert 32 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 12)
  4. ●28
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 304 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 369, 269, 257, 372. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 304 = 1520
    2. Summe der bekannten: 369 + 269 + 257 + 372 = 1267
    3. 1520 − 1267 = 253
    Ergebnis:
    253 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 18 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 25B6 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1825 = 0,72
    2. Klasse 6b: 610 = 0,6
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,72)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 69-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer69 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 69100
    2. 69100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 69 : 100 = 0,69
    Ergebnis:
    69100 = 0,69

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 278, 376, 368, 304, 344. Team Süd: 255, 385, 250, 267, 333. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (334 cm gegen 298 cm)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 60, 8, 3, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin möchte bei 4 Weitsprüngen im Mittel genau 331 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 297, 365, 311. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher290300310320330340350360370380?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    351 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 37 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 11 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A37 von 50B11 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,74)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen4??Jungen8816gesamt?20?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    32

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer171486
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,14

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 22 gegen 15)
  2. Gruppe Falken (336 cm gegen 300 cm)
  3. Team Süd, um 2 Treffer
  4. Ausreißer 311, Mittelwert 99 statt 46
  5. Nein, der Median 36 passt besser
  6. Ausreißer 233, Mittelwert 53 statt 17
  7. 274 cm
  8. 29 Punkte
  9. 19 min
  10. Team Süd (0,7)
  11. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  12. Klasse 6b (0,6)
  13. 12
  14. 10
  15. 26
  16. 0,292
  17. 0,42
  18. 0,172
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  22. nicht fair, Anna gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Mädchen (Median 23 gegen 12)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 3 gegen 16)
  27. Median (8 statt 12)
  28. 253 cm
  29. Klasse 6a (0,72)
  30. 69100 = 0,69
  31. Team Nord (334 cm gegen 298 cm)
  32. Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5
  33. 351 cm
  34. Schule am Park (0,74)
  35. 32
  36. 0,14
  37. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  38. x̄ = 7,8
  39. Median 7; Spannweite 13