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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 6, 9, 9, 4, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 9, 15, 18, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 11, 12, 15, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 18 − 9 = 9
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 18, 50, 20, 23, 34. Gruppe Falken: 14, 27, 58, 58, 33. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 18 + 50 + 20 + 23 + 34 = 145, 145 : 5 = 29
  2. Gruppe Falken: 14 + 27 + 58 + 58 + 33 = 190, 190 : 5 = 38
  3. 38 ist mehr als 29.
  1. Gruppe Adler: 18 + 50 + 20 + 23 + 34 = 145, 145 : 5 = 29
  2. Gruppe Falken: 14 + 27 + 58 + 58 + 33 = 190, 190 : 5 = 38
  3. 38 ist mehr als 29.
Ergebnis:
Gruppe Falken (38 min gegen 29 min)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 354, 287, 327, 246, 246. Team Süd: 338, 383, 358, 312, 264. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    So fängst du an:
    Team Nord: 354 + 287 + 327 + 246 + 246 = 1460, 1460 : 5 = 292
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 354 + 287 + 327 + 246 + 246 = 1460, 1460 : 5 = 292
    2. Team Süd: 338 + 383 + 358 + 312 + 264 = 1655, 1655 : 5 = 331
    3. 331 − 292 = 39
    Ergebnis:
    Team Süd, um 39 cm
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 371, 309, 323, 251, 311. Team Süd: 302, 369, 256, 272, 331. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 371 + 309 + 323 + 251 + 311 = 1565, 1565 : 5 = 313
    2. Team Süd: 302 + 369 + 256 + 272 + 331 = 1530, 1530 : 5 = 306
    3. 313 − 306 = 7
    Ergebnis:
    Team Nord, um 7 cm
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 24, 32, 7, 6, 31. Jungen: 30, 18, 8, 13, 26. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen5101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 24 + 32 + 7 + 6 + 31 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Jungen: 30 + 18 + 8 + 13 + 26 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 20 − 19 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Hundert Schritte

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 251, 52, 23, 36, 53. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 83 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 23, 36, 52, 53, 251
  2. Median: 52
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 251.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 23, 36, 52, 53, 251
  2. Median: 52
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 251.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 52 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 6, 5, 35, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte05101520253035
    So fängst du an:
    Mittelwert: 55 : 5 = 11
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 55 : 5 = 11
    2. Geordnet: 3, 5, 6, 6, 35, Median 6
    3. Der Wert 35 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (6 statt 11)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 162, 29, 10, 19, 30. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 50 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 10, 19, 29, 30, 162
    2. Median: 29
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 162.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 29 passt besser
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 9, 2, 7, 3, 35. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. 35 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 60 : 6 = 10
    3. Ohne ihn: 25 : 5 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 35, Mittelwert 10 statt 5

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 43 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 51, 55, 52. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
bisher515253545556?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
  2. Summe der bekannten: 51 + 55 + 52 = 158
  3. 172 − 158 = 14
  1. Summe aller Werte: 4 · 43 = 172
  2. Summe der bekannten: 51 + 55 + 52 = 158
  3. 172 − 158 = 14
Ergebnis:
14 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 296 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 299, 251, 246, 383. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400420?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 296 = 1480
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 296 = 1480
    2. Summe der bekannten: 299 + 251 + 246 + 383 = 1179
    3. 1480 − 1179 = 301
    Ergebnis:
    301 cm
  2. ●8
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 311 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 271, 310, 357, 362. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 311 = 1555
    2. Summe der bekannten: 271 + 310 + 357 + 362 = 1300
    3. 1555 − 1300 = 255
    Ergebnis:
    255 cm
  3. ★9
    Noah hat in 5 Spielen im Mittel 11 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 13 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 5 · 11 = 55
    2. Summe nachher: 6 · 13 = 78
    3. 78 − 55 = 23
    Ergebnis:
    23 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A6 von 10B5 von 20
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 610 = 0,6
  2. Klasse 6b: 520 = 0,25
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 610 = 0,6
  2. Klasse 6b: 520 = 0,25
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 18 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 18 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 25B18 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 1825 = 0,72
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1825 = 0,72
    2. Schule am See: 1840 = 0,45
    3. 0,72 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,72)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 15 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 19 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A15 von 20B19 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1520 = 0,75
    2. Schule am See: 1950 = 0,38
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 15 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 29 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A15 von 25B29 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1525 = 0,6
    2. Klasse 6b: 2940 = 0,725
    3. 0,725 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,725)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen9?13Jungen71017gesamt161430
Schritt für Schritt
  1. Zeile Mädchen: zusammen 13.
  2. 13 − 9 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 10 = 14
  1. Zeile Mädchen: zusammen 13.
  2. 13 − 9 = 4
  3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 10 = 14
Ergebnis:
4

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen8311Jungen15?18gesamt23629
    So fängst du an:
    Zeile Jungen: zusammen 18.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 18.
    2. 18 − 15 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 56??Klasse 612820gesamt?16?
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 16 − 8 = 8
    2. Zeile Klasse 5: 6 + 8 = 14
    3. Insgesamt: 14 + 20 = 34
    Ergebnis:
    34
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?820Klasse 6b13720gesamt251540
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 20.
    2. 20 − 8 = 12
    3. Kontrolle mit der Spalte: 12 + 13 = 25
    Ergebnis:
    12

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer261478
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 6 : 50 = 0,12
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 6 : 50 = 0,12
Ergebnis:
0,12

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer61739205
    So fängst du an:
    6 : 10 = 0,6
    Lösung zeigen
    1. 6 : 10 = 0,6
    2. 39 : 100 = 0,39
    3. 205 : 500 = 0,41
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,41
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21027151
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 27 : 100 = 0,27
    Ergebnis:
    0,27
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer31029175
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 175 : 1000 = 0,175
    Ergebnis:
    0,175

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 9?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
  3. Das sind 4 Ergebnisse.
Ergebnis:
4 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. 6 von 36, also 636 = 16
    Ergebnis:
    16
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 56, 28, 30, 27, 39. Gruppe Falken: 24, 40, 40, 11, 55. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 27, 28, 30, 39, 56, Median 30
    2. Gruppe Falken geordnet: 11, 24, 40, 40, 55, Median 40
    3. 40 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 40 gegen 30)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 19, 23, 21, 25, 22. Gruppe Falken: 16, 13, 14, 33, 34. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101520253035
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 25 − 19 = 6
    2. Gruppe Falken: 34 − 13 = 21
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Adler.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 6 gegen 21)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 2, 45, 3, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 45 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 296 cm. Bekannt sind 316, 355, 258. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 296 = 1184
    2. Summe der bekannten: 316 + 355 + 258 = 929
    3. 1184 − 929 = 255
    Ergebnis:
    255 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 810 = 0,8
    2. Klasse 6b: 1340 = 0,325
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,8)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 100-mal auf den Korb und trifft 36-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer36 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 36100
    2. Gekürzt: 36100 = 925
    3. Als Dezimalzahl: 36 : 100 = 0,36
    Ergebnis:
    925 = 0,36

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 13, 35, 26, 10, 36. Gruppe Falken: 39, 6, 37, 15, 8. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (24 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)

  2. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    32
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 20, 21, 21. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    26 Punkte

  3. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    33
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer1121984
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,19

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Süd, um 39 cm
  2. Team Nord, um 7 cm
  3. Mädchen, um 1 Hundert Schritte
  4. Median (6 statt 11)
  5. Nein, der Median 29 passt besser
  6. Ausreißer 35, Mittelwert 10 statt 5
  7. 301 cm
  8. 255 cm
  9. 23 Punkte
  10. Schule am Park (0,72)
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Klasse 6b (0,725)
  13. 3
  14. 34
  15. 12
  16. 0,41
  17. 0,27
  18. 0,175
  19. 16
  20. 3 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. fair (3 zu 3)
  24. 2 Punkte
  25. Gruppe Falken (Median 40 gegen 30)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Adler (Spannweite 6 gegen 21)
  27. Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  28. 255 cm
  29. Klasse 6a (0,8)
  30. 925 = 0,36
  31. Gruppe Adler (24 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  32. 26 Punkte
  33. 0,19
  34. fair (15 zu 15)
  35. x̄ = 8
  36. Median 12; Spannweite 9