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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 4, 3, 5, 4, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 4,4
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 8, 8, 6, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 6, 8, 8, 8
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 8 − 2 = 6
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 6

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 17, 16, 12, 5, 15. Team Süd: 6, 11, 12, 3, 18. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
Team NordTeam Süd24681012141618
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 5, 12, 15, 16, 17, Median 15
  2. Team Süd geordnet: 3, 6, 11, 12, 18, Median 11
  3. 15 ist mehr als 11.
  1. Team Nord geordnet: 5, 12, 15, 16, 17, Median 15
  2. Team Süd geordnet: 3, 6, 11, 12, 18, Median 11
  3. 15 ist mehr als 11.
Ergebnis:
Team Nord (Median 15 gegen 11)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 274, 278, 336, 372, 310. Gruppe Falken: 277, 253, 341, 316, 273. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 274 + 278 + 336 + 372 + 310 = 1570, 1570 : 5 = 314
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 274 + 278 + 336 + 372 + 310 = 1570, 1570 : 5 = 314
    2. Gruppe Falken: 277 + 253 + 341 + 316 + 273 = 1460, 1460 : 5 = 292
    3. 314 ist mehr als 292.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (314 cm gegen 292 cm)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 9, 14, 19, 37, 31. Gruppe Falken: 13, 37, 7, 13, 30. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 9, 14, 19, 31, 37, Median 19
    2. Gruppe Falken geordnet: 7, 13, 13, 30, 37, Median 13
    3. 19 ist mehr als 13.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 19 gegen 13)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 3, 9, 10, 17, 8. Jungen: 16, 3, 17, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 3, 7, 8, 9, 10, 17, Median 8,5
    2. Jungen geordnet: 3, 8, 16, 17, Median 12
    3. 12 ist mehr als 8,5.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 12 gegen 8,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 6, 3, 9, 46, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte01020304050
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 46
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 46
  2. Median: 6
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 6 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 225, 13, 27, 24, 16. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Mittelwert: 305 : 5 = 61
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 305 : 5 = 61
    2. Geordnet: 13, 16, 24, 27, 225, Median 24
    3. Der Wert 225 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (24 statt 61)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 16, 16, 17, 233, 23. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 61 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 16, 16, 17, 23, 233
    2. Median: 17
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 233.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 17 passt besser
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 3, 47, 8, 7, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 47 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 72 : 6 = 12
    3. Ohne ihn: 25 : 5 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 47, Mittelwert 12 statt 5

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Lukas möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 333 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 269, 320, 345, 374. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
bisher260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 333 = 1665
  2. Summe der bekannten: 269 + 320 + 345 + 374 = 1308
  3. 1665 − 1308 = 357
  1. Summe aller Werte: 5 · 333 = 1665
  2. Summe der bekannten: 269 + 320 + 345 + 374 = 1308
  3. 1665 − 1308 = 357
Ergebnis:
357 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim möchte bei 4 Lesetagen im Mittel genau 41 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 42, 28, 37. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher283032343638404244?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 41 = 164
    2. Summe der bekannten: 42 + 28 + 37 = 107
    3. 164 − 107 = 57
    Ergebnis:
    57 min
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 12 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 9, 13, 11, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher91011121314?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 12 = 60
    2. Summe der bekannten: 9 + 13 + 11 + 11 = 44
    3. 60 − 44 = 16
    Ergebnis:
    16 Treffer
  3. ★9
    Lukas möchte bei 6 Lesetagen im Mittel genau 30 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 27, 42, 28, 12, 12. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher101520253035404550?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 30 = 180
    2. Summe der bekannten: 27 + 42 + 28 + 12 + 12 = 121
    3. 180 − 121 = 59
    Ergebnis:
    59 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 10 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A10 von 40B7 von 20
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1040 = 0,25
  2. Klasse 6b: 720 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 1040 = 0,25
  2. Klasse 6b: 720 = 0,35
  3. 0,35 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6b (0,35)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord5 von 10Team Süd12 von 50
    So fängst du an:
    Team Nord: 510 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 1250 = 0,24
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 15 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A15 von 25B7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1525 = 0,6
    2. Fußball-AG: 720 = 0,35
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,6)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 17 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A17 von 40B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1740 = 0,425
    2. Schule am See: 1320 = 0,65
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
RadBusgesamtKlasse 6a?39Klasse 6b15621gesamt21930
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 9.
  2. 9 − 3 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 15 = 21
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 9.
  2. 9 − 3 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 15 = 21
Ergebnis:
6

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    AG jaAG neingesamtKlasse 55??Klasse 66814gesamt?13?
    So fängst du an:
    Spalte AG nein: 13 − 8 = 5
    Lösung zeigen
    1. Spalte AG nein: 13 − 8 = 5
    2. Zeile Klasse 5: 5 + 5 = 10
    3. Insgesamt: 10 + 14 = 24
    Ergebnis:
    24
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a10?13Klasse 6b41216gesamt141529
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 13.
    2. 13 − 10 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 12 = 15
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5131225Klasse 66410gesamt191635
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 1325 = 0,52
    2. Klasse 6: 610 = 0,6
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,6)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer391981
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 19 : 100 = 0,19
  3. 81 : 500 = 0,162
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 19 : 100 = 0,19
  3. 81 : 500 = 0,162
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,162

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer342085
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 20 : 100 = 0,2
    Ergebnis:
    0,2
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer41640204
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 40 : 100 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer21166296
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 296 : 1000 = 0,296
    Ergebnis:
    0,296

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 2 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 2 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 29, 53, 40, 44, 24. Jungen: 12, 45, 48, 30, 15. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 24, 29, 40, 44, 53, Median 40
    2. Jungen geordnet: 12, 15, 30, 45, 48, Median 30
    3. 40 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 40 gegen 30)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 338, 332, 315, 328, 322. Team Süd: 314, 365, 367, 306, 283. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Team NordTeam Süd280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1635 : 5 = 327
    2. Team Nord: 338 − 315 = 23
    3. Team Süd: 367 − 283 = 84
    4. Die Werte von Team Nord liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 23 gegen 84)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 56, 4, 8, 5, 7. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 16 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 4, 5, 7, 8, 56
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 56.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 13 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 5, 13, 18. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 13 = 65
    2. Summe der bekannten: 14 + 5 + 13 + 18 = 50
    3. 65 − 50 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer
  5. ●29
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 4-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 13-mal bei 40 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Süd ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord4 von 10Team Süd13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 410 = 0,4
    2. Team Süd: 1340 = 0,325
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Nord größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 14-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer14 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1420
    2. Gekürzt: 1420 = 710
    3. Als Dezimalzahl: 14 : 20 = 0,7
    Ergebnis:
    710 = 0,7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 18, 4, 13, 13, 17. Team Süd: 13, 18, 7, 12, 5. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 13 gegen 12)

  2. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    32
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 38, 51, 18. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    57 min

  3. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    33
    Bei einer Umfrage machen 39 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 10 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Jonas und Lotta werfen einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Jonas je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Adler (314 cm gegen 292 cm)
  2. Gruppe Adler (Median 19 gegen 13)
  3. Jungen (Median 12 gegen 8,5)
  4. Median (24 statt 61)
  5. Nein, der Median 17 passt besser
  6. Ausreißer 47, Mittelwert 12 statt 5
  7. 57 min
  8. 16 Treffer
  9. 59 min
  10. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  11. Theater-AG (0,6)
  12. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  13. 24
  14. 3
  15. Klasse 6 (0,6)
  16. 0,2
  17. 0,4
  18. 0,296
  19. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  20. 536
  21. 536
  22. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  23. fair (3 zu 3)
  24. nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Mädchen (Median 40 gegen 30)
  26. gleichmäßiger: Team Nord (Spannweite 23 gegen 84)
  27. Nein, der Median 7 passt besser
  28. 15 Treffer
  29. Nein, bei Team Nord ist der Anteil größer
  30. 710 = 0,7
  31. Team Nord (Median 13 gegen 12)
  32. 57 min
  33. 14
  34. 2 Punkte
  35. x̄ = 4,4
  36. Median 8; Spannweite 6