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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 4, 13, 1, 13, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 6, 2, 11, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 6, 11, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 15 − 2 = 13
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 268, 379, 244, 254, 345. Team Süd: 337, 311, 381, 296, 365. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 268 + 379 + 244 + 254 + 345 = 1490, 1490 : 5 = 298
  2. Team Süd: 337 + 311 + 381 + 296 + 365 = 1690, 1690 : 5 = 338
  3. 338 − 298 = 40
  1. Team Nord: 268 + 379 + 244 + 254 + 345 = 1490, 1490 : 5 = 298
  2. Team Süd: 337 + 311 + 381 + 296 + 365 = 1690, 1690 : 5 = 338
  3. 338 − 298 = 40
Ergebnis:
Team Süd, um 40 cm

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 51, 43, 26, 13, 17. Gruppe Falken: 35, 50, 36, 38, 46. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540455055
    So fängst du an:
    Gruppe Adler: 51 + 43 + 26 + 13 + 17 = 150, 150 : 5 = 30
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 51 + 43 + 26 + 13 + 17 = 150, 150 : 5 = 30
    2. Gruppe Falken: 35 + 50 + 36 + 38 + 46 = 205, 205 : 5 = 41
    3. 41 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (41 min gegen 30 min)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 12, 16, 14, 9, 29. Team Süd: 24, 26, 26, 14, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 12 + 16 + 14 + 9 + 29 = 80, 80 : 5 = 16
    2. Team Süd: 24 + 26 + 26 + 14 + 20 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Team Süd (22 Punkte gegen 16 Punkte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 17, 9, 10, 11, 18. Jungen: 14, 10, 3, 5, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 10, 11, 17, 18, Median 11
    2. Jungen geordnet: 3, 5, 8, 10, 14, Median 8
    3. 11 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 11 gegen 8)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 9, 4, 30, 3, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte051015202530
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 50 : 5 = 10
  2. Geordnet: 3, 4, 4, 9, 30, Median 4
  3. Der Wert 30 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 50 : 5 = 10
  2. Geordnet: 3, 4, 4, 9, 30, Median 4
  3. Der Wert 30 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (4 statt 10)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 35, 5, 7, 3, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    So fängst du an:
    Geordnet: 3, 5, 5, 7, 35
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 5, 7, 35
    2. Median: 5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 35.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 5 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 35, 44, 24, 356, 41. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 500 : 5 = 100
    2. Geordnet: 24, 35, 41, 44, 356, Median 41
    3. Der Wert 356 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (41 statt 100)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 31, 324, 39, 39, 44, 57. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. 324 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 534 : 6 = 89
    3. Ohne ihn: 210 : 5 = 42
    Ergebnis:
    Ausreißer 324, Mittelwert 89 statt 42

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Mila möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 10 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 16, 11, 9. Was braucht Mila beim letzten Mal?
bisher91011121314151617?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 16 + 11 + 9 = 36
  3. 40 − 36 = 4
  1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
  2. Summe der bekannten: 16 + 11 + 9 = 36
  3. 40 − 36 = 4
Ergebnis:
4 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 6, 6, 5, 11. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher56789101112?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
    2. Summe der bekannten: 6 + 6 + 5 + 11 = 28
    3. 45 − 28 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  2. ●8
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 11, 16, 8, 28. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
    2. Summe der bekannten: 11 + 16 + 8 + 28 = 63
    3. 80 − 63 = 17
    Ergebnis:
    17 Punkte
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 22 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 12, 30, 29, 30, 16. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 22 = 132
    2. Summe der bekannten: 12 + 30 + 29 + 30 + 16 = 117
    3. 132 − 117 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord12 von 40Team Süd17 von 25
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1240 = 0,3
  2. Team Süd: 1725 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1240 = 0,3
  2. Team Süd: 1725 = 0,68
  3. 0,68 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,68)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 4 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 10B10 von 50
    So fängst du an:
    Theater-AG: 410 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 410 = 0,4
    2. Fußball-AG: 1050 = 0,2
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,4)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 19 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 16 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A19 von 25B16 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1925 = 0,76
    2. Fußball-AG: 1650 = 0,32
    3. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,76)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 21 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6c kommen 30 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A21 von 50B5 von 10C30 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2150 = 0,42
    2. Klasse 6b: 510 = 0,5
    3. Klasse 6c: 3040 = 0,75
    4. 0,75 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6c (0,75)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen151328Jungen8?17gesamt232245
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 17.
  2. 17 − 8 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 13 = 22
  1. Zeile Jungen: zusammen 17.
  2. 17 − 8 = 9
  3. Kontrolle mit der Spalte: 9 + 13 = 22
Ergebnis:
9

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 27 Kinder mit, davon sind 17 Mädchen. 9 Mädchen und 6 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 27 − 17 = 10
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 27 − 17 = 10
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 10 − 6 = 4
    3. Kontrolle: 9 + 8 + 6 + 4 = 27
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 27 Kinder mit, davon sind 8 Kinder der Klasse 6a. 4 Kinder der Klasse 6a und 12 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 27 − 8 = 19
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 19 − 12 = 7
    3. Kontrolle: 4 + 4 + 12 + 7 = 27
    Ergebnis:
    7
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 8 Mädchen und 9 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 38 − 16 = 22
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 22 − 9 = 13
    3. Kontrolle: 8 + 8 + 9 + 13 = 38
    Ergebnis:
    13

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer51429149
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 149 : 500 = 0,298
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 149 : 500 = 0,298
Ergebnis:
0,298

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer451779
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 5 : 50 = 0,1
    Ergebnis:
    0,1
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer31229149
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 149 : 500 = 0,298
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,298
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer1635158
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 35 : 200 = 0,175
    3. 158 : 1000 = 0,158
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,158

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 6 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 6: 1 und 6; 2 und 3; 3 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (15 zu 15)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Emre gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 30, 29, 17, 16, 8. Team Süd: 9, 28, 9, 13, 21. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 30 + 29 + 17 + 16 + 8 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Team Süd: 9 + 28 + 9 + 13 + 21 = 80, 80 : 5 = 16
    3. 20 ist mehr als 16.
    Ergebnis:
    Team Nord (20 Punkte gegen 16 Punkte)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 15, 28, 25, 14. Gruppe Falken: 22, 18, 21, 20, 19. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken1416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 100 : 5 = 20
    2. Gruppe Adler: 28 − 14 = 14
    3. Gruppe Falken: 22 − 18 = 4
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 14)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 45, 59, 51, 281, 29. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. 281 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 465 : 5 = 93
    3. Ohne ihn: 184 : 4 = 46
    Ergebnis:
    Ausreißer 281, Mittelwert 93 statt 46
  4. ●28
    Mila möchte bei 5 Lesetagen im Mittel genau 28 min erreichen. Die ersten Ergebnisse: 14, 32, 23, 52. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher1015202530354045505560?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 28 = 140
    2. Summe der bekannten: 14 + 32 + 23 + 52 = 121
    3. 140 − 121 = 19
    Ergebnis:
    19 min
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 13 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 610 = 0,6
    2. Schule am See: 1340 = 0,325
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 50-mal auf den Korb und trifft 28-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer28 von 50
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 2850
    2. Gekürzt: 2850 = 1425
    3. Als Dezimalzahl: 28 : 50 = 0,56
    Ergebnis:
    1425 = 0,56

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 256, 326, 346, 244, 388. Team Süd: 292, 374, 255, 284, 265. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord, um 18 cm

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 40, 8, 2, 2. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 307 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 318, 300, 301, 355. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher300310320330340350360370?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    261 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 34 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 4 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A34 von 50B4 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,68)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a8311Klasse 6b?1024gesamt221335
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (41 min gegen 30 min)
  2. Team Süd (22 Punkte gegen 16 Punkte)
  3. Mädchen (Median 11 gegen 8)
  4. Nein, der Median 5 passt besser
  5. Median (41 statt 100)
  6. Ausreißer 324, Mittelwert 89 statt 42
  7. 17 Treffer
  8. 17 Punkte
  9. 15 Punkte
  10. Theater-AG (0,4)
  11. Theater-AG (0,76)
  12. Klasse 6c (0,75)
  13. 4
  14. 7
  15. 13
  16. 0,1
  17. Nein, eher 0,298
  18. 0,158
  19. 5 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 4 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. fair (15 zu 15)
  24. 2 Punkte
  25. Team Nord (20 Punkte gegen 16 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 14)
  27. Ausreißer 281, Mittelwert 93 statt 46
  28. 19 min
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 1425 = 0,56
  31. Team Nord, um 18 cm
  32. Ausreißer 40, Mittelwert 12 statt 5
  33. 261 cm
  34. Klasse 6a (0,68)
  35. 14
  36. 2 Punkte
  37. x̄ = 8,2
  38. Median 6; Spannweite 13