Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●35
    Punkte im Test: 3, 4, 4, 1, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 3,2
  2. ●36
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 18, 20, 8, 19. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 8, 18, 19, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 18
    3. Spannweite = 20 − 7 = 13
    Ergebnis:
    Median 18; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 388, 273, 245, 304, 255. Gruppe Falken: 270, 353, 277, 260, 385. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 388 + 273 + 245 + 304 + 255 = 1465, 1465 : 5 = 293
  2. Gruppe Falken: 270 + 353 + 277 + 260 + 385 = 1545, 1545 : 5 = 309
  3. 309 ist mehr als 293.
  1. Gruppe Adler: 388 + 273 + 245 + 304 + 255 = 1465, 1465 : 5 = 293
  2. Gruppe Falken: 270 + 353 + 277 + 260 + 385 = 1545, 1545 : 5 = 309
  3. 309 ist mehr als 293.
Ergebnis:
Gruppe Falken (309 cm gegen 293 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 3, 13, 13, 12, 14. Jungen: 11, 7, 13, 7, 12. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen2468101214
    So fängst du an:
    Mädchen: 3 + 13 + 13 + 12 + 14 = 55, 55 : 5 = 11
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 3 + 13 + 13 + 12 + 14 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Jungen: 11 + 7 + 13 + 7 + 12 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 11 − 10 = 1
    Ergebnis:
    Mädchen, um 1 Treffer
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 12, 6, 14, 11, 17. Jungen: 15, 9, 10, 5, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 6, 11, 12, 14, 17, Median 12
    2. Jungen geordnet: 5, 9, 10, 15, 16, Median 10
    3. 12 ist mehr als 10.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 12 gegen 10)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 291, 305, 261, 348, 347, 260. Gruppe Falken: 341, 305, 294, 387, 260, 249. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 260, 261, 291, 305, 347, 348, Median 298
    2. Gruppe Falken geordnet: 249, 260, 294, 305, 341, 387, Median 299,5
    3. 299,5 ist mehr als 298.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 299,5 gegen 298)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 7, 51, 3, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 3, 6, 7, 8, 51
  2. Median: 7
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 3, 6, 7, 8, 51
  2. Median: 7
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 51.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 7 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 27, 14, 12, 172, 15. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte020406080100120140160180
    So fängst du an:
    Mittelwert: 240 : 5 = 48
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 240 : 5 = 48
    2. Geordnet: 12, 14, 15, 27, 172, Median 15
    3. Der Wert 172 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (15 statt 48)
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 4, 4, 8, 56. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 4, 4, 8, 8, 56, Median 8
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 16)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 38, 271, 52, 49, 26, 50. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 81 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 26, 38, 49, 50, 52, 271
    2. Median: 49,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 271.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 49,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 328 cm. Bekannt sind 357, 310, 261. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 357 + 310 + 261 = 928
  3. 1312 − 928 = 384
  1. Summe aller Werte: 4 · 328 = 1312
  2. Summe der bekannten: 357 + 310 + 261 = 928
  3. 1312 − 928 = 384
Ergebnis:
384 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 18, 23, 12. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1214161820222426?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 18 + 23 + 12 = 53
    3. 68 − 53 = 15
    Ergebnis:
    15 Punkte
  2. ●8
    Lukas hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 301 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 241, 299, 274. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240250260270280290300310?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 301 = 1204
    2. Summe der bekannten: 241 + 299 + 274 = 814
    3. 1204 − 814 = 390
    Ergebnis:
    390 cm
  3. ★9
    Lukas möchte bei 6 Weitsprüngen im Mittel genau 316 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 298, 342, 338, 254, 326. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 316 = 1896
    2. Summe der bekannten: 298 + 342 + 338 + 254 + 326 = 1558
    3. 1896 − 1558 = 338
    Ergebnis:
    338 cm

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 19 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A19 von 50B8 von 10
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1950 = 0,38
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
  1. Theater-AG: 1950 = 0,38
  2. Fußball-AG: 810 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 8 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A8 von 20B7 von 10
    So fängst du an:
    Theater-AG: 820 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 820 = 0,4
    2. Fußball-AG: 710 = 0,7
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 31 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A31 von 50B20 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3150 = 0,62
    2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 17 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 25B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1725 = 0,68
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 22 Kinder der Klasse 6a. 12 Kinder der Klasse 6a und 13 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 42 − 22 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle: 12 + 10 + 13 + 7 = 42
  1. Kinder der Klasse 6b: 42 − 22 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 13 = 7
  3. Kontrolle: 12 + 10 + 13 + 7 = 42
Ergebnis:
7

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a7??Klasse 6b13316gesamt?11?
    So fängst du an:
    Spalte Bus: 11 − 3 = 8
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 11 − 3 = 8
    2. Zeile Klasse 6a: 7 + 8 = 15
    3. Insgesamt: 15 + 16 = 31
    Ergebnis:
    31
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen11?14Jungen151025gesamt261339
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 14.
    2. 14 − 11 = 3
    3. Kontrolle mit der Spalte: 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen14?20Jungen71017gesamt211637
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 20.
    2. 20 − 14 = 6
    3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 10 = 16
    Ergebnis:
    6

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer41120105
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 11 : 50 = 0,22
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 11 : 50 = 0,22
Ergebnis:
0,22

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,4.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer41832151
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 151 : 500 = 0,302
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,3.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,302
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer131879
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 79 : 500 = 0,158
    Ergebnis:
    0,158
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer21049259
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 259 : 1000 = 0,259
    Ergebnis:
    0,259

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen, und die Augenzahlen werden malgenommen. Bei wie vielen der 36 Ergebnisse kommt 2 heraus?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Geordnet zählen: erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Produkt 2: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (18 zu 18)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 33, 28, 56, 22, 41. Jungen: 12, 49, 38, 37, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 33 + 28 + 56 + 22 + 41 = 180, 180 : 5 = 36
    2. Jungen: 12 + 49 + 38 + 37 + 19 = 155, 155 : 5 = 31
    3. 36 ist mehr als 31.
    Ergebnis:
    Mädchen (36 min gegen 31 min)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 18, 19, 21, 14, 13. Gruppe Falken: 15, 19, 18, 18, 15. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken131415161718192021
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 85 : 5 = 17
    2. Gruppe Adler: 21 − 13 = 8
    3. Gruppe Falken: 19 − 15 = 4
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 8)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 21, 50, 51, 26, 262. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 410 : 5 = 82
    2. Geordnet: 21, 26, 50, 51, 262, Median 50
    3. Der Wert 262 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (50 statt 82)
  4. ●28
    Mila möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 306 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 289, 377, 298, 301. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 306 = 1530
    2. Summe der bekannten: 289 + 377 + 298 + 301 = 1265
    3. 1530 − 1265 = 265
    Ergebnis:
    265 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 5 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 12 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B12 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 510 = 0,5
    2. Klasse 6b: 1225 = 0,48
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,5)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 10-mal geworfen. 7-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 710
    2. 710 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 7 : 10 = 0,7
    Ergebnis:
    710 = 0,7

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 255, 245, 257, 384, 324. Team Süd: 258, 357, 353, 358, 244. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd, um 21 cm

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 45, 5, 2, 6. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 20 Punkte. Bekannt sind 23, 16, 27. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14 Punkte

  4. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    34
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen, um 1 Treffer
  2. Mädchen (Median 12 gegen 10)
  3. Gruppe Falken (Median 299,5 gegen 298)
  4. Median (15 statt 48)
  5. Median (8 statt 16)
  6. Nein, der Median 49,5 passt besser
  7. 15 Punkte
  8. 390 cm
  9. 338 cm
  10. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  12. Klasse 6b (0,7)
  13. 31
  14. 3
  15. 6
  16. Nein, eher 0,302
  17. 0,158
  18. 0,259
  19. 6 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 2 Ergebnisse
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  23. 2 Punkte
  24. nicht fair, Mila gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Mädchen (36 min gegen 31 min)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 8)
  27. Median (50 statt 82)
  28. 265 cm
  29. Klasse 6a (0,5)
  30. 710 = 0,7
  31. Team Süd, um 21 cm
  32. Ausreißer 45, Mittelwert 13 statt 5
  33. 14 Punkte
  34. fair (18 zu 18)
  35. x̄ = 3,2
  36. Median 18; Spannweite 13