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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 1, 13, 1, 15, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,4
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 3, 16, 12, 20. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 12, 12, 16, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 20 − 3 = 17
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 6, 12, 14, 15, 18. Jungen: 10, 5, 13, 16, 16. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
MädchenJungen4681012141618
Schritt für Schritt
  1. Mädchen: 6 + 12 + 14 + 15 + 18 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Jungen: 10 + 5 + 13 + 16 + 16 = 60, 60 : 5 = 12
  3. 13 − 12 = 1
  1. Mädchen: 6 + 12 + 14 + 15 + 18 = 65, 65 : 5 = 13
  2. Jungen: 10 + 5 + 13 + 16 + 16 = 60, 60 : 5 = 12
  3. 13 − 12 = 1
Ergebnis:
Mädchen, um 1 Treffer

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 36, 24, 37, 37, 6. Jungen: 10, 24, 17, 29, 25. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 6, 24, 36, 37, 37, Median 36
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 6, 24, 36, 37, 37, Median 36
    2. Jungen geordnet: 10, 17, 24, 25, 29, Median 24
    3. 36 ist mehr als 24.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 36 gegen 24)
  2. ●2
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 21, 17, 16, 17, 29. Team Süd: 28, 23, 24, 19, 11. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 21 + 17 + 16 + 17 + 29 = 100, 100 : 5 = 20
    2. Team Süd: 28 + 23 + 24 + 19 + 11 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 21 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Team Süd (21 Punkte gegen 20 Punkte)
  3. ★3
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 15, 8, 15, 15. Jungen: 11, 8, 3, 15, 11, 12. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen246810121416
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 7, 8, 15, 15, 15, Median 15
    2. Jungen geordnet: 3, 8, 11, 11, 12, 15, Median 11
    3. 15 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 15 gegen 11)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 56, 366, 55, 34, 39. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 110 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte050100150200250300350400
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 34, 39, 55, 56, 366
  2. Median: 55
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 366.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 34, 39, 55, 56, 366
  2. Median: 55
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 366.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 55 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 31, 248, 59, 58, 24. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 84 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    So fängst du an:
    Geordnet: 24, 31, 58, 59, 248
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 24, 31, 58, 59, 248
    2. Median: 58
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 248.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 58 passt besser
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 8, 9, 36, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
    2. Geordnet: 3, 4, 8, 9, 36, Median 8
    3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 12)
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 25, 58, 35, 36, 339, 41. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 89 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 25, 35, 36, 41, 58, 339
    2. Median: 38,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 339.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 38,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 28, 28, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
  2. Summe der bekannten: 28 + 28 + 11 = 67
  3. 88 − 67 = 21
  1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
  2. Summe der bekannten: 28 + 28 + 11 = 67
  3. 88 − 67 = 21
Ergebnis:
21 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 27 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 28, 17, 10, 52. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher10203040506070?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 27 = 135
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 27 = 135
    2. Summe der bekannten: 28 + 17 + 10 + 52 = 107
    3. 135 − 107 = 28
    Ergebnis:
    28 min
  2. ●8
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 6, 12, 17. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher68101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 6 + 12 + 17 = 35
    3. 40 − 35 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 27, 19, 10, 27, 8. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 17 = 102
    2. Summe der bekannten: 27 + 19 + 10 + 27 + 8 = 91
    3. 102 − 91 = 11
    Ergebnis:
    11 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 37-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord37 von 50Team Süd16 von 20
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 3750 = 0,74
  2. Team Süd: 1620 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 3750 = 0,74
  2. Team Süd: 1620 = 0,8
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Süd (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 32 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 10 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A32 von 50B10 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 3250 = 0,64
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3250 = 0,64
    2. Klasse 6b: 1040 = 0,25
    3. 0,64 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,64)
  2. ●11
    In der Klasse 6a kommen 21 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 3 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A21 von 50B3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2150 = 0,42
    2. Klasse 6b: 310 = 0,3
    3. 0,42 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,42)
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 17 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 21 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 50B13 von 20C21 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1750 = 0,34
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. Chor-AG: 2140 = 0,525
    4. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 40 Kinder mit, davon sind 26 Mädchen. 14 Mädchen und 8 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Jungen: 40 − 26 = 14
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 14 − 8 = 6
  3. Kontrolle: 14 + 12 + 8 + 6 = 40
  1. Jungen: 40 − 26 = 14
  2. Jungen, die kein Haustier haben: 14 − 8 = 6
  3. Kontrolle: 14 + 12 + 8 + 6 = 40
Ergebnis:
6

AchtungStellenweise kleiner von größer

So nicht
52 − 27 = 35
So richtig
52 − 27: 12 − 7 = 5, 4 − 2 = 2 → 25

Schau, ob oben die kleinere Ziffer steht. Tausche dann einen Zehner in zehn Einer.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 18 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 4 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder der Klasse 6b: 28 − 18 = 10
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 28 − 18 = 10
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 10 − 4 = 6
    3. Kontrolle: 14 + 4 + 4 + 6 = 28
    Ergebnis:
    6
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 21 Kinder der Klasse 6a. 11 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 33 − 21 = 12
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 12 − 7 = 5
    3. Kontrolle: 11 + 10 + 7 + 5 = 33
    Ergebnis:
    5
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „AG ja“ größer: bei Klasse 5 oder bei Klasse 6?
    AG jaAG neingesamtKlasse 5448Klasse 615520gesamt19928
    Lösung zeigen
    1. Klasse 5: 48 = 0,5
    2. Klasse 6: 1520 = 0,75
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6 (0,75)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer51844229
Schritt für Schritt
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 229 : 500 = 0,458
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,46.
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 229 : 500 = 0,458
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,46.
Ergebnis:
Nein, eher 0,458

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer261480
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 14 : 100 = 0,14
    Ergebnis:
    0,14
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21732147
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 32 : 100 = 0,32
    Ergebnis:
    0,32
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer42064344
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 20 : 50 = 0,4
    Ergebnis:
    0,4

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
  3. Das sind 2 Ergebnisse.
Ergebnis:
2 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 8?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Emre werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 34, 36, 14, 21, 25. Gruppe Falken: 29, 10, 23, 19, 19. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 14, 21, 25, 34, 36, Median 25
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 19, 19, 23, 29, Median 19
    3. 25 ist mehr als 19.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 25 gegen 19)
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 23, 12, 30, 34, 26. Gruppe Falken: 25, 22, 26, 24, 28. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken101520253035
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 125 : 5 = 25
    2. Gruppe Adler: 34 − 12 = 22
    3. Gruppe Falken: 28 − 22 = 6
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 22)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 6, 4, 55, 2, 8. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 2, 4, 6, 8, 55
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 55.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 9 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 17, 6, 9, 3. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher2468101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
    2. Summe der bekannten: 17 + 6 + 9 + 3 = 35
    3. 45 − 35 = 10
    Ergebnis:
    10 Treffer
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 14 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 8 von 10 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A14 von 20B8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1420 = 0,7
    2. Fußball-AG: 810 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 76 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 76100
    2. Gekürzt: 76100 = 1925
    3. Als Dezimalzahl: 76 : 100 = 0,76
    Ergebnis:
    1925 = 0,76

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 41, 46, 11, 46, 21. Jungen: 38, 12, 46, 38, 21. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen101520253035404550
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (33 min gegen 31 min)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 34, 27, 41, 328, 50. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 328, Mittelwert 96 statt 38

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 22 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 29, 20. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher14161820222426283032?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    25 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 6 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 16 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B16 von 50
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen81422Jungen6?20gesamt142842
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    14

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 36 gegen 24)
  2. Team Süd (21 Punkte gegen 20 Punkte)
  3. Mädchen (Median 15 gegen 11)
  4. Nein, der Median 58 passt besser
  5. Median (8 statt 12)
  6. Nein, der Median 38,5 passt besser
  7. 28 min
  8. 5 Treffer
  9. 11 Punkte
  10. Klasse 6a (0,64)
  11. Klasse 6a (0,42)
  12. Fußball-AG (0,65)
  13. 6
  14. 5
  15. Klasse 6 (0,75)
  16. 0,14
  17. 0,32
  18. 0,4
  19. 6 Ergebnisse
  20. 5 Ergebnisse
  21. 112
  22. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  23. fair (15 zu 15)
  24. nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)
  25. Gruppe Adler (Median 25 gegen 19)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 22)
  27. Nein, der Median 6 passt besser
  28. 10 Treffer
  29. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  30. 1925 = 0,76
  31. Mädchen (33 min gegen 31 min)
  32. Ausreißer 328, Mittelwert 96 statt 38
  33. 25 Punkte
  34. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  35. 14
  36. nicht fair, Mila gewinnt öfter (6 zu 3)
  37. x̄ = 6,4
  38. Median 12; Spannweite 17