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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 3, 10, 2, 5, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 4, 4, 18, 8. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 4, 8, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 19 − 4 = 15
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 15

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 12, 23, 17, 39, 59. Gruppe Falken: 52, 32, 19, 41, 56. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 17, 23, 39, 59, Median 23
  2. Gruppe Falken geordnet: 19, 32, 41, 52, 56, Median 41
  3. 41 ist mehr als 23.
  1. Gruppe Adler geordnet: 12, 17, 23, 39, 59, Median 23
  2. Gruppe Falken geordnet: 19, 32, 41, 52, 56, Median 41
  3. 41 ist mehr als 23.
Ergebnis:
Gruppe Falken (Median 41 gegen 23)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 9, 16, 39, 34, 17. Jungen: 27, 28, 28, 13, 39. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 9, 16, 17, 34, 39, Median 17
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 9, 16, 17, 34, 39, Median 17
    2. Jungen geordnet: 13, 27, 28, 28, 39, Median 28
    3. 28 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 28 gegen 17)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 5, 4, 18, 11, 12. Jungen: 15, 6, 18, 13, 8. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 4, 5, 11, 12, 18, Median 11
    2. Jungen geordnet: 6, 8, 13, 15, 18, Median 13
    3. 13 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 13 gegen 11)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 287, 383, 276, 302, 262. Gruppe Falken: 248, 348, 371, 253. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 287 + 383 + 276 + 302 + 262 = 1510, 1510 : 5 = 302
    2. Gruppe Falken: 248 + 348 + 371 + 253 = 1220, 1220 : 4 = 305
    3. 305 ist mehr als 302.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (305 cm gegen 302 cm)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 5, 7, 35, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte05101520253035
Schritt für Schritt
  1. 35 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 55 : 5 = 11
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
  1. 35 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 55 : 5 = 11
  3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
Ergebnis:
Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 339, 43, 51, 22, 60. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    So fängst du an:
    Mittelwert: 515 : 5 = 103
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 515 : 5 = 103
    2. Geordnet: 22, 43, 51, 60, 339, Median 51
    3. Der Wert 339 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (51 statt 103)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 15, 24, 179, 20, 17. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 255 : 5 = 51
    2. Geordnet: 15, 17, 20, 24, 179, Median 20
    3. Der Wert 179 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 51)
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 36, 8, 5, 3, 8, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 5, 6, 8, 8, 36
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 36.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 310 cm. Bekannt sind 327, 275, 380. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 310 = 1240
  2. Summe der bekannten: 327 + 275 + 380 = 982
  3. 1240 − 982 = 258
  1. Summe aller Werte: 4 · 310 = 1240
  2. Summe der bekannten: 327 + 275 + 380 = 982
  3. 1240 − 982 = 258
Ergebnis:
258 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 16 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 21, 14, 13. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher13141516171819202122?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 16 = 80
    2. Summe der bekannten: 14 + 21 + 14 + 13 = 62
    3. 80 − 62 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte
  2. ●8
    Noah hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 17 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 8, 13. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher5101520253035?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
    2. Summe der bekannten: 26 + 8 + 13 = 47
    3. 68 − 47 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Runden Korbwurf ist 10 Treffer. Bekannt sind 17, 6, 16, 5, 12. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 10 = 60
    2. Summe der bekannten: 17 + 6 + 16 + 5 + 12 = 56
    3. 60 − 56 = 4
    Ergebnis:
    4 Treffer

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 12 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A12 von 25B7 von 10
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 1225 = 0,48
  2. Klasse 6b: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
  1. Klasse 6a: 1225 = 0,48
  2. Klasse 6b: 710 = 0,7
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 12-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 3-mal bei 10 Schüssen. Ben sagt: „Bei Team Nord ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    Team Nord12 von 50Team Süd3 von 10
    So fängst du an:
    Team Nord: 1250 = 0,24
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1250 = 0,24
    2. Team Süd: 310 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist bei Team Süd größer.
    Ergebnis:
    Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 15 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B15 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 1540 = 0,375
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 17 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 25 Kindern ein Haustier. In der Chor-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 50B13 von 25C13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1750 = 0,34
    2. Fußball-AG: 1325 = 0,52
    3. Chor-AG: 1320 = 0,65
    4. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Chor-AG (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 5 sind in keiner AG?
AG jaAG neingesamtKlasse 57?21Klasse 612416gesamt191837
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 21.
  2. 21 − 7 = 14
  3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 4 = 18
  1. Zeile Klasse 5: zusammen 21.
  2. 21 − 7 = 14
  3. Kontrolle mit der Spalte: 14 + 4 = 18
Ergebnis:
14

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 42 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 12 Mädchen und 14 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 42 − 15 = 27
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 42 − 15 = 27
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 27 − 14 = 13
    3. Kontrolle: 12 + 3 + 14 + 13 = 42
    Ergebnis:
    13
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 8 Mädchen. 5 Mädchen und 13 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 8 = 23
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 23 − 13 = 10
    3. Kontrolle: 5 + 3 + 13 + 10 = 31
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 35 Kinder mit, davon sind 15 Kinder der Klasse 6a. 8 Kinder der Klasse 6a und 9 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 35 − 15 = 20
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 9 = 11
    3. Kontrolle: 8 + 7 + 9 + 11 = 35
    Ergebnis:
    11

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer21633149
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 16 : 50 = 0,32
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 16 : 50 = 0,32
Ergebnis:
0,32

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer461778
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 17 : 100 = 0,17
    3. 78 : 500 = 0,156
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,156
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31119102
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 102 : 500 = 0,204
    Ergebnis:
    0,204
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer11244239
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 239 : 1000 = 0,239
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,24.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,239

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 10? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
  3. 3 von 36, also 336 = 112
Ergebnis:
112

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. Das sind 5 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    5 Ergebnisse
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
  1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. 27 ist mehr als 9.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 14, 7, 10, 12, 12. Jungen: 17, 4, 9, 16, 14. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 14 + 7 + 10 + 12 + 12 = 55, 55 : 5 = 11
    2. Jungen: 17 + 4 + 9 + 16 + 14 = 60, 60 : 5 = 12
    3. 12 ist mehr als 11.
    Ergebnis:
    Jungen (12 Treffer gegen 11 Treffer)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 13, 25, 28, 18, 11. Gruppe Falken: 17, 21, 18, 20, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 28 − 11 = 17
    2. Gruppe Falken: 21 − 17 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 17)
  3. ●27
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 400, 46, 27, 38, 49. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 112 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 27, 38, 46, 49, 400
    2. Median: 46
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 400.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 46 passt besser
  4. ●28
    Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 313 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 334, 262, 379, 347. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 313 = 1565
    2. Summe der bekannten: 334 + 262 + 379 + 347 = 1322
    3. 1565 − 1322 = 243
    Ergebnis:
    243 cm
  5. ●29
    An der Schule am Park sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 14 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A4 von 10B14 von 50
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 410 = 0,4
    2. Schule am See: 1450 = 0,28
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 20 Kinder. 17 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1720
    2. 1720 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 17 : 20 = 0,85
    Ergebnis:
    1720 = 0,85

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 375, 319, 269, 249, 303. Gruppe Falken: 388, 264, 316, 271, 376. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 316 gegen 303)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 24, 22, 21, 202, 21. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (22 statt 58)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 15, 15, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Treffer

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 18 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A8 von 10B18 von 40
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,8)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen8??Jungen8513gesamt?13?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer31229152
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,29

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Ben werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Mila je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 28 gegen 17)
  2. Jungen (Median 13 gegen 11)
  3. Gruppe Falken (305 cm gegen 302 cm)
  4. Median (51 statt 103)
  5. Median (20 statt 51)
  6. Nein, der Median 7 passt besser
  7. 18 Punkte
  8. 21 Punkte
  9. 4 Treffer
  10. Nein, bei Team Süd ist der Anteil größer
  11. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  12. Chor-AG (0,65)
  13. 13
  14. 10
  15. 11
  16. 0,156
  17. 0,204
  18. Nein, eher 0,239
  19. 6 Ergebnisse
  20. 5 Ergebnisse
  21. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  22. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  23. fair (18 zu 18)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Jungen (12 Treffer gegen 11 Treffer)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 4 gegen 17)
  27. Nein, der Median 46 passt besser
  28. 243 cm
  29. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  30. 1720 = 0,85
  31. Gruppe Falken (Median 316 gegen 303)
  32. Median (22 statt 58)
  33. 3 Treffer
  34. Klasse 6a (0,8)
  35. 29
  36. 0,29
  37. 2 Punkte
  38. x̄ = 6,8
  39. Median 8; Spannweite 15