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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●37
    Punkte im Test: 14, 12, 2, 6, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●38
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 7, 19, 8, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 8, 10, 16, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 19 − 7 = 12
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 26, 20, 20, 35, 49. Gruppe Falken: 25, 24, 58, 13, 20. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 26 + 20 + 20 + 35 + 49 = 150, 150 : 5 = 30
  2. Gruppe Falken: 25 + 24 + 58 + 13 + 20 = 140, 140 : 5 = 28
  3. 30 ist mehr als 28.
  1. Gruppe Adler: 26 + 20 + 20 + 35 + 49 = 150, 150 : 5 = 30
  2. Gruppe Falken: 25 + 24 + 58 + 13 + 20 = 140, 140 : 5 = 28
  3. 30 ist mehr als 28.
Ergebnis:
Gruppe Adler (30 min gegen 28 min)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 55, 21, 29, 13, 17. Jungen: 60, 45, 50, 25, 20. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 13, 17, 21, 29, 55, Median 21
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 13, 17, 21, 29, 55, Median 21
    2. Jungen geordnet: 20, 25, 45, 50, 60, Median 45
    3. 45 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 45 gegen 21)
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 32, 10, 26, 20, 32. Jungen: 36, 35, 21, 17, 31. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 32 + 10 + 26 + 20 + 32 = 120, 120 : 5 = 24
    2. Jungen: 36 + 35 + 21 + 17 + 31 = 140, 140 : 5 = 28
    3. 28 ist mehr als 24.
    Ergebnis:
    Jungen (28 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 362, 390, 323, 315, 246, 302. Gruppe Falken: 275, 286, 265, 334. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 246, 302, 315, 323, 362, 390, Median 319
    2. Gruppe Falken geordnet: 265, 275, 286, 334, Median 280,5
    3. 319 ist mehr als 280,5.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 319 gegen 280,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 4, 9, 6, 9, 57. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 57 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 85 : 5 = 17
  3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
  1. 57 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 85 : 5 = 17
  3. Ohne ihn: 28 : 4 = 7
Ergebnis:
Ausreißer 57, Mittelwert 17 statt 7

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 9, 41, 3, 4. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    So fängst du an:
    41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 41 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 65 : 5 = 13
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 166, 27, 22, 17, 18. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. 166 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 250 : 5 = 50
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 166, Mittelwert 50 statt 21
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 17, 27, 17, 220, 29. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 220 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 330 : 6 = 55
    3. Ohne ihn: 110 : 5 = 22
    Ergebnis:
    Ausreißer 220, Mittelwert 55 statt 22

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Aylin hat die Ergebnisse von 5 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 35 min. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 34, 58, 44, 18. Welches Ergebnis fehlt?
bisher1520253035404550556065?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
  2. Summe der bekannten: 34 + 58 + 44 + 18 = 154
  3. 175 − 154 = 21
  1. Summe aller Werte: 5 · 35 = 175
  2. Summe der bekannten: 34 + 58 + 44 + 18 = 154
  3. 175 − 154 = 21
Ergebnis:
21 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 340 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 383, 299, 309. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher280300320340360380400420?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 340 = 1360
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 340 = 1360
    2. Summe der bekannten: 383 + 299 + 309 = 991
    3. 1360 − 991 = 369
    Ergebnis:
    369 cm
  2. ●8
    Mila möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 5, 15, 8. Was braucht Mila beim letzten Mal?
    bisher4681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
    2. Summe der bekannten: 5 + 15 + 8 = 28
    3. 44 − 28 = 16
    Ergebnis:
    16 Treffer
  3. ★9
    Noah möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 23, 21, 29, 24, 21. Was braucht Noah beim letzten Mal?
    bisher21222324252627282930?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 21 = 126
    2. Summe der bekannten: 23 + 21 + 29 + 24 + 21 = 118
    3. 126 − 118 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

Team Nord trifft beim Elfmetertraining 15-mal bei 25 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 18-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
Team Nord15 von 25Team Süd18 von 40
Schritt für Schritt
  1. Team Nord: 1525 = 0,6
  2. Team Süd: 1840 = 0,45
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
  1. Team Nord: 1525 = 0,6
  2. Team Süd: 1840 = 0,45
  3. 0,6 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Team Nord (0,6)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 5 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 23 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 20B23 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 520 = 0,25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 520 = 0,25
    2. Schule am See: 2350 = 0,46
    3. 0,46 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,46)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 4 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A4 von 10B12 von 40
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 410 = 0,4
    2. Schule am See: 1240 = 0,3
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,4)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 17 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 2 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am Markt sagen 13 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A17 von 50B2 von 10C13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1750 = 0,34
    2. Schule am See: 210 = 0,2
    3. Schule am Markt: 1320 = 0,65
    4. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Markt (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
RadBusgesamtKlasse 6a7?12Klasse 6b15318gesamt22830
Schritt für Schritt
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 12.
  2. 12 − 7 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 3 = 8
  1. Zeile Klasse 6a: zusammen 12.
  2. 12 − 7 = 5
  3. Kontrolle mit der Spalte: 5 + 3 = 8
Ergebnis:
5

AchtungNoch einmal: Anzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 19 Mädchen. 14 Mädchen und 14 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 37 − 19 = 18
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 37 − 19 = 18
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 18 − 14 = 4
    3. Kontrolle: 14 + 5 + 14 + 4 = 37
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7613Jungen11?22gesamt181735
    Lösung zeigen
    1. Zeile Jungen: zusammen 22.
    2. 22 − 11 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 6 = 17
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 41 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 11 Mädchen und 11 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 41 − 16 = 25
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 25 − 11 = 14
    3. Kontrolle: 11 + 5 + 11 + 14 = 41
    Ergebnis:
    14

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer51639173
Schritt für Schritt
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 173 : 500 = 0,346
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
  1. 5 : 10 = 0,5
  2. 173 : 500 = 0,346
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
Ergebnis:
Nein, eher 0,346

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer1101686
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 16 : 100 = 0,16
    Ergebnis:
    0,16
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer11733174
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 33 : 100 = 0,33
    3. 174 : 500 = 0,348
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,348
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 200 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer21137163
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 37 : 200 = 0,185
    Ergebnis:
    0,185

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 1 Ergebnis.
  3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 1 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 5?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 5: 1 und 4; 2 und 3; 3 und 2; 4 und 1
    3. Das sind 4 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    4 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 4? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. 3 von 36, also 336 = 112
    Ergebnis:
    112
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
    3. Das sind 6 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
  4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 27 von 36 Ergebnissen
  2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
  3. Anna gewinnt 3-mal so oft.
  4. Lotta braucht 3 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
3 Punkte

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 9 von 36 Ergebnissen
    3. Jonas gewinnt 3-mal so oft.
    4. Emre braucht 3 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    3 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 251, 355, 354, 330, 380. Gruppe Falken: 275, 301, 267, 360, 247. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 251, 330, 354, 355, 380, Median 354
    2. Gruppe Falken geordnet: 247, 267, 275, 301, 360, Median 275
    3. 354 ist mehr als 275.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 354 gegen 275)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 11, 30, 13, 29, 17. Team Süd: 19, 22, 19, 21, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd1015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 30 − 11 = 19
    2. Team Süd: 22 − 19 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 19)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 6, 5, 8, 37, 9. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 6, 8, 9, 37
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 37.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 335 cm. Bekannt sind 376, 345, 349, 307. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 335 = 1675
    2. Summe der bekannten: 376 + 345 + 349 + 307 = 1377
    3. 1675 − 1377 = 298
    Ergebnis:
    298 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 35 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 30 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A35 von 50B30 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3550 = 0,7
    2. Klasse 6b: 3040 = 0,75
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  6. ●30
    Ein Würfel wird 20-mal geworfen. 3-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer3 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 320
    2. 320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 3 : 20 = 0,15
    Ergebnis:
    320 = 0,15

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 39, 30, 27, 26, 18. Jungen: 31, 14, 34, 25, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen10152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 27 gegen 25)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 18, 247, 14, 23, 13. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (18 statt 63)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Aylin möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 11 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 4, 7, 18, 11. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher468101214161820?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Treffer

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Bei einer Umfrage machen 46 Kinder mit, davon sind 26 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  5. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    35
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer181999
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,198

  6. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    36
    Anna und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen (Median 45 gegen 21)
  2. Jungen (28 Hundert Schritte gegen 24 Hundert Schritte)
  3. Gruppe Adler (Median 319 gegen 280,5)
  4. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  5. Ausreißer 166, Mittelwert 50 statt 21
  6. Ausreißer 220, Mittelwert 55 statt 22
  7. 369 cm
  8. 16 Treffer
  9. 8 Punkte
  10. Schule am See (0,46)
  11. Schule am Park (0,4)
  12. Schule am Markt (0,65)
  13. 4
  14. 11
  15. 14
  16. 0,16
  17. 0,348
  18. 0,185
  19. 4 Ergebnisse
  20. 112
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. 3 Punkte
  25. Gruppe Adler (Median 354 gegen 275)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 19)
  27. Nein, der Median 8 passt besser
  28. 298 cm
  29. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  30. 320 = 0,15
  31. Mädchen (Median 27 gegen 25)
  32. Median (18 statt 63)
  33. 15 Treffer
  34. 10
  35. Nein, eher 0,198
  36. fair (3 zu 3)
  37. x̄ = 9,6
  38. Median 10; Spannweite 12