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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 3, 15, 11, 2, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 16, 9, 13, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 6, 9, 13, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 16 − 2 = 14
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 27, 8, 26, 29, 10. Gruppe Falken: 27, 22, 14, 30, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler geordnet: 8, 10, 26, 27, 29, Median 26
  2. Gruppe Falken geordnet: 14, 17, 22, 27, 30, Median 22
  3. 26 ist mehr als 22.
  1. Gruppe Adler geordnet: 8, 10, 26, 27, 29, Median 26
  2. Gruppe Falken geordnet: 14, 17, 22, 27, 30, Median 22
  3. 26 ist mehr als 22.
Ergebnis:
Gruppe Adler (Median 26 gegen 22)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 25, 30, 23, 19, 13. Team Süd: 10, 22, 22, 21, 30. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd1015202530
    So fängst du an:
    Team Nord: 25 + 30 + 23 + 19 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 25 + 30 + 23 + 19 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Team Süd: 10 + 22 + 22 + 21 + 30 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 22 − 21 = 1
    Ergebnis:
    Team Nord, um 1 Punkte
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 43, 46, 46, 57, 23. Gruppe Falken: 11, 21, 54, 18, 46. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 43 + 46 + 46 + 57 + 23 = 215, 215 : 5 = 43
    2. Gruppe Falken: 11 + 21 + 54 + 18 + 46 = 150, 150 : 5 = 30
    3. 43 ist mehr als 30.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (43 min gegen 30 min)
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 305, 359, 320, 286, 315. Team Süd: 264, 246, 362, 278, 359, 243. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd240260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 286, 305, 315, 320, 359, Median 315
    2. Team Süd geordnet: 243, 246, 264, 278, 359, 362, Median 271
    3. 315 ist mehr als 271.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 315 gegen 271)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 10, 13, 26, 193. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 53 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
Werte0255075100125150175200
Schritt für Schritt
  1. Geordnet: 10, 13, 23, 26, 193
  2. Median: 23
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 193.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
  1. Geordnet: 10, 13, 23, 26, 193
  2. Median: 23
  3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 193.
  4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
Ergebnis:
Nein, der Median 23 passt besser

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 31, 6, 9, 3, 6. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 11 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte05101520253035
    So fängst du an:
    Geordnet: 3, 6, 6, 9, 31
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 6, 6, 9, 31
    2. Median: 6
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 31.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 6 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 20, 27, 14, 164, 15. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 240 : 5 = 48
    2. Geordnet: 14, 15, 20, 27, 164, Median 20
    3. Der Wert 164 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (20 statt 48)
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 43, 8, 7, 9, 7, 4. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 78 : 6 = 13
    2. Geordnet: 4, 7, 7, 8, 9, 43, Median 7,5
    3. Der Wert 43 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7,5 statt 13)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 29 min. Bekannt sind 41, 53, 25, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 41 + 53 + 25 + 13 = 132
  3. 145 − 132 = 13
  1. Summe aller Werte: 5 · 29 = 145
  2. Summe der bekannten: 41 + 53 + 25 + 13 = 132
  3. 145 − 132 = 13
Ergebnis:
13 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 8 Treffer. Bekannt sind 9, 11, 7. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 8 = 32
    2. Summe der bekannten: 9 + 11 + 7 = 27
    3. 32 − 27 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 312 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 341, 253, 369, 350. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 312 = 1560
    2. Summe der bekannten: 341 + 253 + 369 + 350 = 1313
    3. 1560 − 1313 = 247
    Ergebnis:
    247 cm
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 40 min. Bekannt sind 21, 50, 39, 26, 56. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 40 = 240
    2. Summe der bekannten: 21 + 50 + 39 + 26 + 56 = 192
    3. 240 − 192 = 48
    Ergebnis:
    48 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 11 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A11 von 40B7 von 25
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 1140 = 0,275
  2. Fußball-AG: 725 = 0,28
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
  1. Theater-AG: 1140 = 0,275
  2. Fußball-AG: 725 = 0,28
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
Ergebnis:
Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 15 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A15 von 40B13 von 20
    So fängst du an:
    Theater-AG: 1540 = 0,375
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1540 = 0,375
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 12 von 25 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 19 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A12 von 25B19 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1225 = 0,48
    2. Fußball-AG: 1940 = 0,475
    3. 0,48 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,48)
  3. ★12
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 5-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 7-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord5 von 10Team Süd7 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 510 = 0,5
    2. Team Süd: 720 = 0,35
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Nord (0,5)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 23 Kinder mit, davon sind 13 Kinder der Klasse 6a. 7 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 23 − 13 = 10
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 10 − 7 = 3
  3. Kontrolle: 7 + 6 + 7 + 3 = 23
  1. Kinder der Klasse 6b: 23 − 13 = 10
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 10 − 7 = 3
  3. Kontrolle: 7 + 6 + 7 + 3 = 23
Ergebnis:
3

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 22 Kinder mit, davon sind 7 Kinder aus Klasse 5. 4 Kinder aus Klasse 5 und 12 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 22 − 7 = 15
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 22 − 7 = 15
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 15 − 12 = 3
    3. Kontrolle: 4 + 3 + 12 + 3 = 22
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben gefrühstückt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen?920Jungen13922gesamt241842
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 20.
    2. 20 − 9 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 13 = 24
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 25 Kinder der Klasse 6a. 14 Kinder der Klasse 6a und 14 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 48 − 25 = 23
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 23 − 14 = 9
    3. Kontrolle: 14 + 11 + 14 + 9 = 48
    Ergebnis:
    9

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer21531174
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 174 : 500 = 0,348
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 174 : 500 = 0,348
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,35.
Ergebnis:
Nein, eher 0,348

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51937176
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 19 : 50 = 0,38
    Ergebnis:
    0,38
  2. ●17
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,5.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer52144219
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 219 : 500 = 0,438
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,44.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,438
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 1000 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer3927169
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 169 : 1000 = 0,169
    Ergebnis:
    0,169

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
123456KopfZahl?
Schritt für Schritt
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
  1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
  2. Günstig: 3 Ergebnisse.
  3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
Ergebnis:
12 Ergebnisse, 3 davon günstig

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 2?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 2: 1 und 1
    3. Das sind 1 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    1 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Emre werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Emre bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Emre: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Emre gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 12, 13, 21, 14, 30. Gruppe Falken: 20, 11, 15, 24, 15. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 12 + 13 + 21 + 14 + 30 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Gruppe Falken: 20 + 11 + 15 + 24 + 15 = 85, 85 : 5 = 17
    3. 18 − 17 = 1
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 1 Punkte
  2. ●26
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 8, 14, 7, 14, 7. Jungen: 11, 11, 8, 10, 10. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    MädchenJungen7891011121314
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 50 : 5 = 10
    2. Mädchen: 14 − 7 = 7
    3. Jungen: 11 − 8 = 3
    4. Die Werte von Jungen liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 3 gegen 7)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 25, 15, 10, 190, 30. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte0255075100125150175200
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 270 : 5 = 54
    2. Geordnet: 10, 15, 25, 30, 190, Median 25
    3. Der Wert 190 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (25 statt 54)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 28 min. Bekannt sind 18, 26, 11, 29. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 28 = 140
    2. Summe der bekannten: 18 + 26 + 11 + 29 = 84
    3. 140 − 84 = 56
    Ergebnis:
    56 min
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 5 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 25B20 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 525 = 0,2
    2. Klasse 6b: 2040 = 0,5
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,5)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 100 Kinder. 49 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 49100
    2. 49100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 49 : 100 = 0,49
    Ergebnis:
    49100 = 0,49

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 7, 7, 17, 17, 17. Team Süd: 12, 16, 18, 8, 6. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Nord (13 Treffer gegen 12 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 51, 4, 8, 5. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 298 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 346, 269, 318. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260270280290300310320330340350360?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    259 cm

  4. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    34
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer1132095
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,19

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord, um 1 Punkte
  2. Gruppe Adler (43 min gegen 30 min)
  3. Team Nord (Median 315 gegen 271)
  4. Nein, der Median 6 passt besser
  5. Median (20 statt 48)
  6. Median (7,5 statt 13)
  7. 5 Treffer
  8. 247 cm
  9. 48 min
  10. Fußball-AG (0,65)
  11. Theater-AG (0,48)
  12. Team Nord (0,5)
  13. 3
  14. 11
  15. 9
  16. 0,38
  17. Nein, eher 0,438
  18. 0,169
  19. 2 Ergebnisse
  20. 536
  21. 1 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. fair (18 zu 18)
  24. fair (18 zu 18)
  25. Gruppe Adler, um 1 Punkte
  26. gleichmäßiger: Jungen (Spannweite 3 gegen 7)
  27. Median (25 statt 54)
  28. 56 min
  29. Klasse 6b (0,5)
  30. 49100 = 0,49
  31. Team Nord (13 Treffer gegen 12 Treffer)
  32. Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6
  33. 259 cm
  34. 0,19
  35. 2 Punkte
  36. x̄ = 7,6
  37. Median 9; Spannweite 14