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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

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Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 10, 8, 5, 8, 6. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 2, 10, 2, 15. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 2, 4, 10, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 4
    3. Spannweite = 15 − 2 = 13
    Ergebnis:
    Median 4; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 55, 24, 28, 18, 10. Gruppe Falken: 34, 55, 25, 38, 28. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 55 + 24 + 28 + 18 + 10 = 135, 135 : 5 = 27
  2. Gruppe Falken: 34 + 55 + 25 + 38 + 28 = 180, 180 : 5 = 36
  3. 36 − 27 = 9
  1. Gruppe Adler: 55 + 24 + 28 + 18 + 10 = 135, 135 : 5 = 27
  2. Gruppe Falken: 34 + 55 + 25 + 38 + 28 = 180, 180 : 5 = 36
  3. 36 − 27 = 9
Ergebnis:
Gruppe Falken, um 9 min

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 26, 9, 30, 21, 19. Team Süd: 24, 17, 28, 12, 9. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    So fängst du an:
    Team Nord geordnet: 9, 19, 21, 26, 30, Median 21
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 9, 19, 21, 26, 30, Median 21
    2. Team Süd geordnet: 9, 12, 17, 24, 28, Median 17
    3. 21 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 21 gegen 17)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 56, 12, 22, 16, 34. Gruppe Falken: 16, 27, 41, 50, 11. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 12, 16, 22, 34, 56, Median 22
    2. Gruppe Falken geordnet: 11, 16, 27, 41, 50, Median 27
    3. 27 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 27 gegen 22)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 52, 26, 44, 12, 31. Gruppe Falken: 17, 31, 54, 54. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 52 + 26 + 44 + 12 + 31 = 165, 165 : 5 = 33
    2. Gruppe Falken: 17 + 31 + 54 + 54 = 156, 156 : 4 = 39
    3. 39 ist mehr als 33.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (39 min gegen 33 min)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 3, 9, 55, 5, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 3, 3, 5, 9, 55, Median 5
  3. Der Wert 55 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 3, 3, 5, 9, 55, Median 5
  3. Der Wert 55 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (5 statt 15)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 35, 24, 25, 52, 379. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 103 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Geordnet: 24, 25, 35, 52, 379
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 24, 25, 35, 52, 379
    2. Median: 35
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 379.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 35 passt besser
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 32, 55, 396, 29, 48. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 396 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 560 : 5 = 112
    3. Ohne ihn: 164 : 4 = 41
    Ergebnis:
    Ausreißer 396, Mittelwert 112 statt 41
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 9, 8, 3, 7, 8, 37. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 12 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 7, 8, 8, 9, 37
    2. Median: 8
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 37.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 8 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 42 min. Bekannt sind 60, 30, 60, 19. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
  2. Summe der bekannten: 60 + 30 + 60 + 19 = 169
  3. 210 − 169 = 41
  1. Summe aller Werte: 5 · 42 = 210
  2. Summe der bekannten: 60 + 30 + 60 + 19 = 169
  3. 210 − 169 = 41
Ergebnis:
41 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 5 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 318 cm. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 365, 350, 246, 318. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher240260280300320340360380400?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 318 = 1590
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 318 = 1590
    2. Summe der bekannten: 365 + 350 + 246 + 318 = 1279
    3. 1590 − 1279 = 311
    Ergebnis:
    311 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 41 min. Bekannt sind 58, 23, 58, 53. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 41 = 205
    2. Summe der bekannten: 58 + 23 + 58 + 53 = 192
    3. 205 − 192 = 13
    Ergebnis:
    13 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 33 min. Bekannt sind 21, 41, 22, 27, 44. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 33 = 198
    2. Summe der bekannten: 21 + 41 + 22 + 27 + 44 = 155
    3. 198 − 155 = 43
    Ergebnis:
    43 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A3 von 10B6 von 25
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 310 = 0,3
  2. Schule am See: 625 = 0,24
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
  1. Schule am Park: 310 = 0,3
  2. Schule am See: 625 = 0,24
  3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
Ergebnis:
Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Theater-AG haben 7 von 20 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 10 von 40 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 20B10 von 40
    So fängst du an:
    Theater-AG: 720 = 0,35
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 720 = 0,35
    2. Fußball-AG: 1040 = 0,25
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 2-mal bei 10 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 22-mal bei 40 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord2 von 10Team Süd22 von 40
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 210 = 0,2
    2. Team Süd: 2240 = 0,55
    3. 0,55 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,55)
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 18 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 17 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 40B17 von 25
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1840 = 0,45
    2. Schule am See: 1725 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,68)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 48 Kinder mit, davon sind 27 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 11 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder aus Klasse 6: 48 − 27 = 21
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 21 − 11 = 10
  3. Kontrolle: 13 + 14 + 11 + 10 = 48
  1. Kinder aus Klasse 6: 48 − 27 = 21
  2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 21 − 11 = 10
  3. Kontrolle: 13 + 14 + 11 + 10 = 48
Ergebnis:
10

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Bus?
    RadBusgesamtKlasse 6a5?12Klasse 6b61016gesamt111728
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 12.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 12.
    2. 12 − 5 = 7
    3. Kontrolle mit der Spalte: 7 + 10 = 17
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 47 Kinder mit, davon sind 21 Kinder aus Klasse 5. 13 Kinder aus Klasse 5 und 13 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 47 − 21 = 26
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 26 − 13 = 13
    3. Kontrolle: 13 + 8 + 13 + 13 = 47
    Ergebnis:
    13
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. In welcher Zeile ist der Anteil in der Spalte „Haustier“ größer: bei Mädchen oder bei Jungen?
    Haustierkein TiergesamtMädchen71320Jungen42125gesamt113445
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 720 = 0,35
    2. Jungen: 425 = 0,16
    3. Verglichen wird innerhalb der Zeile, nicht die Anzahl.
    Ergebnis:
    Mädchen (0,35)

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
Würfe1050100500Treffer51627147
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 147 : 500 = 0,294
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 147 : 500 = 0,294
Ergebnis:
0,294

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52242196
    So fängst du an:
    5 : 10 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 42 : 100 = 0,42
    3. 196 : 500 = 0,392
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,392
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer21938196
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 38 : 100 = 0,38
    Ergebnis:
    0,38
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe10502001000Treffer4530156
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 30 : 200 = 0,15
    3. 156 : 1000 = 0,156
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,156

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  3. ★21
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Mila gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
    3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
    4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Lotta bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 3 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 348, 285, 275, 264, 353. Team Süd: 362, 339, 299, 377, 308. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 348 + 285 + 275 + 264 + 353 = 1525, 1525 : 5 = 305
    2. Team Süd: 362 + 339 + 299 + 377 + 308 = 1685, 1685 : 5 = 337
    3. 337 − 305 = 32
    Ergebnis:
    Team Süd, um 32 cm
  2. ●26
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 10, 29, 15, 16, 30. Gruppe Falken: 19, 23, 19, 22, 17. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 30 − 10 = 20
    2. Gruppe Falken: 23 − 17 = 6
    3. Die kleinere Spannweite hat Gruppe Falken.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 20)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 27, 10, 203, 12. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. 203 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 275 : 5 = 55
    3. Ohne ihn: 72 : 4 = 18
    Ergebnis:
    Ausreißer 203, Mittelwert 55 statt 18
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 12 Treffer. Bekannt sind 10, 8, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 12 = 48
    2. Summe der bekannten: 10 + 8 + 13 = 31
    3. 48 − 31 = 17
    Ergebnis:
    17 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 24 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 19 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A24 von 40B19 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 2440 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1950 = 0,38
    3. 0,6 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,6)
  6. ●30
    Ein Würfel wird 10-mal geworfen. 3-mal fällt eine gerade Zahl. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 310
    2. 310 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 3 : 10 = 0,3
    Ergebnis:
    310 = 0,3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 28, 16, 9, 22, 30. Gruppe Falken: 26, 23, 11, 13, 17. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken51015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 3 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 28, 34, 260, 51, 47. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 84 min.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250300
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 47 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 313 cm. Bekannt sind 244, 329, 384, 257. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    351 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben kein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen8412Jungen14?21gesamt221133
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (Median 21 gegen 17)
  2. Gruppe Falken (Median 27 gegen 22)
  3. Gruppe Falken (39 min gegen 33 min)
  4. Nein, der Median 35 passt besser
  5. Ausreißer 396, Mittelwert 112 statt 41
  6. Nein, der Median 8 passt besser
  7. 311 cm
  8. 13 min
  9. 43 min
  10. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  11. Team Süd (0,55)
  12. Schule am See (0,68)
  13. 7
  14. 13
  15. Mädchen (0,35)
  16. 0,392
  17. 0,38
  18. 0,156
  19. 3 Ergebnisse
  20. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  21. 3 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. 2 Punkte
  24. fair (15 zu 15)
  25. Team Süd, um 32 cm
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 6 gegen 20)
  27. Ausreißer 203, Mittelwert 55 statt 18
  28. 17 Treffer
  29. Klasse 6a (0,6)
  30. 310 = 0,3
  31. Gruppe Adler, um 3 Punkte
  32. Nein, der Median 47 passt besser
  33. 351 cm
  34. 7
  35. 2 Punkte
  36. x̄ = 7,4
  37. Median 4; Spannweite 13