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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●39
    Punkte im Test: 14, 3, 13, 10, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 12, 11, 9, 2, 9. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 9, 11, 12
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 12 − 2 = 10
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 242, 341, 370, 265, 322. Team Süd: 249, 325, 349, 344, 303. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd240260280300320340360380
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 242, 265, 322, 341, 370, Median 322
  2. Team Süd geordnet: 249, 303, 325, 344, 349, Median 325
  3. 325 ist mehr als 322.
  1. Team Nord geordnet: 242, 265, 322, 341, 370, Median 322
  2. Team Süd geordnet: 249, 303, 325, 344, 349, Median 325
  3. 325 ist mehr als 322.
Ergebnis:
Team Süd (Median 325 gegen 322)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 7, 21, 39, 30, 13. Jungen: 36, 27, 19, 8, 15. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen: 7 + 21 + 39 + 30 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 7 + 21 + 39 + 30 + 13 = 110, 110 : 5 = 22
    2. Jungen: 36 + 27 + 19 + 8 + 15 = 105, 105 : 5 = 21
    3. 22 ist mehr als 21.
    Ergebnis:
    Mädchen (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  2. ●2
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 8, 13, 6, 3, 15. Team Süd: 11, 14, 14, 8, 3. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd246810121416
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 8 + 13 + 6 + 3 + 15 = 45, 45 : 5 = 9
    2. Team Süd: 11 + 14 + 14 + 8 + 3 = 50, 50 : 5 = 10
    3. 10 − 9 = 1
    Ergebnis:
    Team Süd, um 1 Treffer
  3. ★3
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 275, 351, 342, 308, 379. Team Süd: 338, 272, 338, 351, 292, 365. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Team NordTeam Süd260280300320340360380
    Lösung zeigen
    1. Team Nord geordnet: 275, 308, 342, 351, 379, Median 342
    2. Team Süd geordnet: 272, 292, 338, 338, 351, 365, Median 338
    3. 342 ist mehr als 338.
    Ergebnis:
    Team Nord (Median 342 gegen 338)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 23, 235, 21, 20, 16. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte050100150200250
Schritt für Schritt
  1. 235 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 315 : 5 = 63
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
  1. 235 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 315 : 5 = 63
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
Ergebnis:
Ausreißer 235, Mittelwert 63 statt 20

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 5, 7, 7, 46, 5. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 14 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Geordnet: 5, 5, 7, 7, 46
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 5, 5, 7, 7, 46
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 46.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 170, 22, 17, 16, 25. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte020406080100120140160180
    Lösung zeigen
    1. 170 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 250 : 5 = 50
    3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
    Ergebnis:
    Ausreißer 170, Mittelwert 50 statt 20
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 46, 314, 56, 50, 34, 34. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 534 : 6 = 89
    2. Geordnet: 34, 34, 46, 50, 56, 314, Median 48
    3. Der Wert 314 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (48 statt 89)

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 36 min. Bekannt sind 44, 47, 36. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
  2. Summe der bekannten: 44 + 47 + 36 = 127
  3. 144 − 127 = 17
  1. Summe aller Werte: 4 · 36 = 144
  2. Summe der bekannten: 44 + 47 + 36 = 127
  3. 144 − 127 = 17
Ergebnis:
17 min

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Mila hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 22, 19, 25. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher1920212223242526?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 22 + 19 + 25 = 66
    3. 76 − 66 = 10
    Ergebnis:
    10 Punkte
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 35 min. Bekannt sind 59, 15, 29. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 35 = 140
    2. Summe der bekannten: 59 + 15 + 29 = 103
    3. 140 − 103 = 37
    Ergebnis:
    37 min
  3. ★9
    Der Mittelwert von 6 Lesetagen ist 31 min. Bekannt sind 49, 25, 41, 18, 11. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 31 = 186
    2. Summe der bekannten: 49 + 25 + 41 + 18 + 11 = 144
    3. 186 − 144 = 42
    Ergebnis:
    42 min

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 8 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 5 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A8 von 10B5 von 25
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 810 = 0,8
  2. Klasse 6b: 525 = 0,2
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Klasse 6a: 810 = 0,8
  2. Klasse 6b: 525 = 0,2
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Klasse 6a (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 10 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 22 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 20B22 von 50
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1020 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1020 = 0,5
    2. Klasse 6b: 2250 = 0,44
    3. 0,5 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,5)
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 5 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Fußball-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A3 von 10B5 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 310 = 0,3
    2. Fußball-AG: 525 = 0,2
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Theater-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    An der Schule am Park sagen 16 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 3 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A16 von 20B3 von 10
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1620 = 0,8
    2. Schule am See: 310 = 0,3
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,8)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Haustierkein TiergesamtMädchen15??Jungen12618gesamt?19?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Tier: 19 − 6 = 13
  2. Zeile Mädchen: 15 + 13 = 28
  3. Insgesamt: 28 + 18 = 46
  1. Spalte kein Tier: 19 − 6 = 13
  2. Zeile Mädchen: 15 + 13 = 28
  3. Insgesamt: 28 + 18 = 46
Ergebnis:
46

AchtungRechenart in der Sachaufgabe falsch gewählt

So nicht
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 16,81 €
So richtig
10 € bezahlt, 6,81 € Einkauf → 10 € − 6,81 € = 3,19 €

Stell dir die Situation vor: Kommt etwas dazu, geht etwas weg, wird verteilt?

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 36 Kinder mit, davon sind 20 Mädchen. 15 Mädchen und 9 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Jungen: 36 − 20 = 16
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 36 − 20 = 16
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 9 = 7
    3. Kontrolle: 15 + 5 + 9 + 7 = 36
    Ergebnis:
    7
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?48Klasse 6b8614gesamt121022
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 8.
    2. 8 − 4 = 4
    3. Kontrolle mit der Spalte: 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    4
  3. ★15
    Bei einer Umfrage machen 24 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 12 Mädchen und 5 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 24 − 16 = 8
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 8 − 5 = 3
    3. Kontrolle: 12 + 4 + 5 + 3 = 24
    Ergebnis:
    3

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer41436177
Schritt für Schritt
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 36 : 100 = 0,36
  3. 177 : 500 = 0,354
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 4 : 10 = 0,4
  2. 36 : 100 = 0,36
  3. 177 : 500 = 0,354
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,354

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer141577
    So fängst du an:
    1 : 10 = 0,1
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 15 : 100 = 0,15
    3. 77 : 500 = 0,154
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,154
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe1050100500Treffer391484
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 84 : 500 = 0,168
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,168
  3. ★18
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer21350256
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 256 : 1000 = 0,256
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,26.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,256

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 7?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. Das sind 6 Ergebnisse.
Ergebnis:
6 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine gerade Zahl?
    123456KopfZahl?
    So fängst du an:
    Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 3 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 3 von 12, also 1/4.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  2. ●20
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Zahl und eine Zahl größer als 4?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 2 Ergebnisse.
    3. Die Chance ist 2 von 12, also 1/6.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  3. ★21
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    1. Münze: 2 Möglichkeiten, Würfel: 6. Zusammen 2 · 6 = 12 Ergebnisse.
    2. Günstig: 1 Ergebnis.
    3. Die Chance ist 1 von 12, also 1/12.
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Ben werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. Jonas gewinnt 2-mal so oft.
  4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungAlle Ergebnisse gleich wahrscheinlich angenommen

So nicht
Augensumme 7 → 1/11
So richtig
Augensumme 7 → 6/36 = 1/6

Zähl in der Tabelle mit 36 Feldern, wie oft die Summe vorkommt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    So fängst du an:
    Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Emre braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  3. ★24
    Anna und Lotta werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Lotta je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Lotta braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 29, 27, 16, 39, 49. Jungen: 15, 53, 54, 48, 40. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 29 + 27 + 16 + 39 + 49 = 160, 160 : 5 = 32
    2. Jungen: 15 + 53 + 54 + 48 + 40 = 210, 210 : 5 = 42
    3. 42 ist mehr als 32.
    Ergebnis:
    Jungen (42 min gegen 32 min)
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 29, 34, 34, 33, 35. Jungen: 20, 30, 42, 51, 22. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    MädchenJungen2025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 35 − 29 = 6
    2. Jungen: 51 − 20 = 31
    3. Die kleinere Spannweite hat Mädchen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 31)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 26, 247, 14, 30, 18. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 67 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 14, 18, 26, 30, 247
    2. Median: 26
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 247.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 26 passt besser
  4. ●28
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 6, 15, 7. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 10 = 40
    2. Summe der bekannten: 6 + 15 + 7 = 28
    3. 40 − 28 = 12
    Ergebnis:
    12 Treffer
  5. ●29
    In der Theater-AG haben 15 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 34 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A15 von 40B34 von 50
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 1540 = 0,375
    2. Fußball-AG: 3450 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,68)
  6. ●30
    Beim Basketball wirft Jana 20-mal auf den Korb und trifft 3-mal. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer3 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 320
    2. 320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 3 : 20 = 0,15
    Ergebnis:
    320 = 0,15

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 14, 12, 19, 10, 25. Gruppe Falken: 18, 13, 17, 17, 25. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken101214161820222426
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Falken, um 2 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 7, 45, 7, 4, 2. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 13 min.“ Beschreibt dieser Wert die Fahrgäste gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 4 Lesetagen ist 37 min. Bekannt sind 30, 34, 56. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    28 min

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    In der Klasse 6a kommen 10 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 12 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A10 von 25B12 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,6)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen13??Jungen141327gesamt?18?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    45

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51938205
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,41

  7. Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

    37
    Eine Münze wird geworfen und ein Würfel gerollt. Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt? Bei wie vielen davon kommt Kopf und eine Sechs?
    123456KopfZahl?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    12 Ergebnisse, 1 davon günstig

  8. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    38
    Jonas und Emre werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Emre bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (22 Hundert Schritte gegen 21 Hundert Schritte)
  2. Team Süd, um 1 Treffer
  3. Team Nord (Median 342 gegen 338)
  4. Nein, der Median 7 passt besser
  5. Ausreißer 170, Mittelwert 50 statt 20
  6. Median (48 statt 89)
  7. 10 Punkte
  8. 37 min
  9. 42 min
  10. Klasse 6a (0,5)
  11. Nein, in der Theater-AG ist der Anteil größer
  12. Schule am Park (0,8)
  13. 7
  14. 4
  15. 3
  16. 0,154
  17. Nein, eher 0,168
  18. Nein, eher 0,256
  19. 12 Ergebnisse, 3 davon günstig
  20. 12 Ergebnisse, 2 davon günstig
  21. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  22. fair (3 zu 3)
  23. 2 Punkte
  24. 2 Punkte
  25. Jungen (42 min gegen 32 min)
  26. gleichmäßiger: Mädchen (Spannweite 6 gegen 31)
  27. Nein, der Median 26 passt besser
  28. 12 Treffer
  29. Fußball-AG (0,68)
  30. 320 = 0,15
  31. Gruppe Falken, um 2 Punkte
  32. Nein, der Median 7 passt besser
  33. 28 min
  34. Klasse 6b (0,6)
  35. 45
  36. 0,41
  37. 12 Ergebnisse, 1 davon günstig
  38. fair (3 zu 3)
  39. x̄ = 10,6
  40. Median 9; Spannweite 10