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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 5, 7, 8, 15, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,6
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 13, 12, 2, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 10, 12, 13, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 21, 22, 33, 36, 13. Jungen: 12, 32, 25, 35, 36. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
MädchenJungen10152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mädchen geordnet: 13, 21, 22, 33, 36, Median 22
  2. Jungen geordnet: 12, 25, 32, 35, 36, Median 32
  3. 32 ist mehr als 22.
  1. Mädchen geordnet: 13, 21, 22, 33, 36, Median 22
  2. Jungen geordnet: 12, 25, 32, 35, 36, Median 32
  3. 32 ist mehr als 22.
Ergebnis:
Jungen (Median 32 gegen 22)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 53, 22, 30, 59, 51. Jungen: 16, 42, 49, 39, 19. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    So fängst du an:
    Mädchen geordnet: 22, 30, 51, 53, 59, Median 51
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 22, 30, 51, 53, 59, Median 51
    2. Jungen geordnet: 16, 19, 39, 42, 49, Median 39
    3. 51 ist mehr als 39.
    Ergebnis:
    Mädchen (Median 51 gegen 39)
  2. ●2
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 29, 23, 51, 14, 23. Gruppe Falken: 48, 19, 54, 42, 37. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540455055
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 14, 23, 23, 29, 51, Median 23
    2. Gruppe Falken geordnet: 19, 37, 42, 48, 54, Median 42
    3. 42 ist mehr als 23.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 42 gegen 23)
  3. ★3
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 21, 12, 11, 18, 29, 11. Gruppe Falken: 28, 24, 27, 15, 11. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 11, 11, 12, 18, 21, 29, Median 15
    2. Gruppe Falken geordnet: 11, 15, 24, 27, 28, Median 24
    3. 24 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 24 gegen 15)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Taschengeld in der Woche, in €: 7, 5, 3, 51, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. 51 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
  1. 51 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 75 : 5 = 15
  3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
Ergebnis:
Ausreißer 51, Mittelwert 15 statt 6

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 4, 9, 8, 47, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    So fängst du an:
    Mittelwert: 75 : 5 = 15
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 4, 7, 8, 9, 47, Median 8
    3. Der Wert 47 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 15)
  2. ●5
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 355, 49, 50, 36, 45. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 355 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 535 : 5 = 107
    3. Ohne ihn: 180 : 4 = 45
    Ergebnis:
    Ausreißer 355, Mittelwert 107 statt 45
  3. ★6
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 393, 37, 44, 42, 31, 41. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250300350400
    Lösung zeigen
    1. 393 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 588 : 6 = 98
    3. Ohne ihn: 195 : 5 = 39
    Ergebnis:
    Ausreißer 393, Mittelwert 98 statt 39

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 310 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 278, 301, 325, 376. Was braucht Tim beim letzten Mal?
bisher260280300320340360380400?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 310 = 1550
  2. Summe der bekannten: 278 + 301 + 325 + 376 = 1280
  3. 1550 − 1280 = 270
  1. Summe aller Werte: 5 · 310 = 1550
  2. Summe der bekannten: 278 + 301 + 325 + 376 = 1280
  3. 1550 − 1280 = 270
Ergebnis:
270 cm

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 19 Punkte. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 26, 24, 18. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher18192021222324252627?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 26 + 24 + 18 = 68
    3. 76 − 68 = 8
    Ergebnis:
    8 Punkte
  2. ●8
    Aylin hat die Ergebnisse von 4 Lesetagen notiert. Im Mittel waren es 31 min. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 24, 34, 56. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher20253035404550556065?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 31 = 124
    2. Summe der bekannten: 24 + 34 + 56 = 114
    3. 124 − 114 = 10
    Ergebnis:
    10 min
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 21 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 23, 14, 14, 20, 28. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher141618202224262830?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 21 = 126
    2. Summe der bekannten: 23 + 14 + 14 + 20 + 28 = 99
    3. 126 − 99 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Klasse 6a kommen 25 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
A25 von 50B20 von 25
Schritt für Schritt
  1. Klasse 6a: 2550 = 0,5
  2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
  1. Klasse 6a: 2550 = 0,5
  2. Klasse 6b: 2025 = 0,8
  3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
Ergebnis:
Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 7 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 18 von 40 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am See ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A7 von 10B18 von 40
    So fängst du an:
    Schule am Park: 710 = 0,7
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 710 = 0,7
    2. Schule am See: 1840 = 0,45
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am Park größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 16-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 20 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord16 von 50Team Süd8 von 20
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 1650 = 0,32
    2. Team Süd: 820 = 0,4
    3. 0,4 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,4)
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 38 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 27 von 40 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A38 von 50B27 von 40
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 3850 = 0,76
    2. Fußball-AG: 2740 = 0,675
    3. 0,76 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Theater-AG (0,76)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben ein Haustier?
Haustierkein TiergesamtMädchen11819Jungen?313gesamt211132
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 3 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 11 = 21
  1. Zeile Jungen: zusammen 13.
  2. 13 − 3 = 10
  3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 11 = 21
Ergebnis:
10

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 24 Kinder mit, davon sind 16 Kinder aus Klasse 5. 6 Kinder aus Klasse 5 und 4 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 24 − 16 = 8
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 24 − 16 = 8
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 8 − 4 = 4
    3. Kontrolle: 6 + 10 + 4 + 4 = 24
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 28 Kinder mit, davon sind 13 Mädchen. 7 Mädchen und 4 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 28 − 13 = 15
    2. Jungen, die kein Haustier haben: 15 − 4 = 11
    3. Kontrolle: 7 + 6 + 4 + 11 = 28
    Ergebnis:
    11
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    RadBusgesamtKlasse 6a14??Klasse 6b121325gesamt?16?
    Lösung zeigen
    1. Spalte Bus: 16 − 13 = 3
    2. Zeile Klasse 6a: 14 + 3 = 17
    3. Insgesamt: 17 + 25 = 42
    Ergebnis:
    42

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
Würfe1050100500Treffer41730144
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 17 : 50 = 0,34
Ergebnis:
0,34

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41627121
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 27 : 100 = 0,27
    3. 121 : 500 = 0,242
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,242
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer3101678
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 16 : 100 = 0,16
    3. 78 : 500 = 0,156
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,156
  3. ★18
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,1.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer1636166
    Lösung zeigen
    1. 1 : 10 = 0,1
    2. 166 : 1000 = 0,166
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,17.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,166

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 6?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
  3. Das sind 5 Ergebnisse.
Ergebnis:
5 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 9? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 9: 3 und 6; 4 und 5; 5 und 4; 6 und 3
    3. 4 von 36, also 436 = 19
    Ergebnis:
    19
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 6? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 6: 1 und 5; 2 und 4; 3 und 3; 4 und 2; 5 und 1
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Anna und Lotta werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Anna je Treffer bekommen, damit es fair wird?
Schritt für Schritt
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
  1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. Lotta gewinnt 2-mal so oft.
  4. Anna braucht 2 Punkte je Treffer.
Ergebnis:
2 Punkte

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  2. ●23
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn beide Würfel dieselbe Zahl zeigen. Emre bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 11 oder 12 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 6 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 3 von 36 Ergebnissen
    3. 6 ist mehr als 3.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  3. ★24
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 10, 23, 15, 26, 11. Team Süd: 30, 9, 29, 23, 19. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe hat mehr Punkte?
    Team NordTeam Süd51015202530
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 10 + 23 + 15 + 26 + 11 = 85, 85 : 5 = 17
    2. Team Süd: 30 + 9 + 29 + 23 + 19 = 110, 110 : 5 = 22
    3. 22 ist mehr als 17.
    Ergebnis:
    Team Süd (22 Punkte gegen 17 Punkte)
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 14, 25, 13, 27, 16. Team Süd: 20, 17, 20, 19, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd121416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 27 − 13 = 14
    2. Team Süd: 20 − 17 = 3
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 14)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 28, 19, 20, 150, 13. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 46 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte020406080100120140160
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 13, 19, 20, 28, 150
    2. Median: 20
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 150.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 20 passt besser
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 19 Punkte. Bekannt sind 16, 19, 14. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 19 = 76
    2. Summe der bekannten: 16 + 19 + 14 = 49
    3. 76 − 49 = 27
    Ergebnis:
    27 Punkte
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 6 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A6 von 10B13 von 50
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 610 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1350 = 0,26
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 100-mal geworfen. 47-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer47 von 100
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 47100
    2. 47100 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 47 : 100 = 0,47
    Ergebnis:
    47100 = 0,47

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 9, 18, 5, 7, 16. Team Süd: 4, 14, 18, 13, 16. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Team Süd (Median 14 gegen 9)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 8, 7, 6, 36, 3. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0510152025303540
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median (7 statt 12)

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 21 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 16, 23, 25, 12. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher121416182022242628?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    29 Punkte

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 28 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 12 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A28 von 50B12 von 25
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,56)

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Mädchen (Median 51 gegen 39)
  2. Gruppe Falken (Median 42 gegen 23)
  3. Gruppe Falken (Median 24 gegen 15)
  4. Median (8 statt 15)
  5. Ausreißer 355, Mittelwert 107 statt 45
  6. Ausreißer 393, Mittelwert 98 statt 39
  7. 8 Punkte
  8. 10 min
  9. 27 Punkte
  10. Nein, an der Schule am Park ist der Anteil größer
  11. Team Süd (0,4)
  12. Theater-AG (0,76)
  13. 4
  14. 11
  15. 42
  16. 0,242
  17. 0,156
  18. Nein, eher 0,166
  19. 3 Ergebnisse
  20. 19
  21. 536
  22. fair (18 zu 18)
  23. nicht fair, Anna gewinnt öfter (6 zu 3)
  24. nicht fair, Anna gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Team Süd (22 Punkte gegen 17 Punkte)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 3 gegen 14)
  27. Nein, der Median 20 passt besser
  28. 27 Punkte
  29. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  30. 47100 = 0,47
  31. Team Süd (Median 14 gegen 9)
  32. Median (7 statt 12)
  33. 29 Punkte
  34. Schule am Park (0,56)
  35. fair (18 zu 18)
  36. x̄ = 8,6
  37. Median 12; Spannweite 17