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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●36
    Punkte im Test: 13, 14, 5, 5, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,4
  2. ●37
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 14, 4, 2, 18. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 6, 14, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 277, 287, 356, 322, 248. Team Süd: 355, 293, 381, 366, 270. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
Team NordTeam Süd240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Team Nord geordnet: 248, 277, 287, 322, 356, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 270, 293, 355, 366, 381, Median 355
  3. 355 ist mehr als 287.
  1. Team Nord geordnet: 248, 277, 287, 322, 356, Median 287
  2. Team Süd geordnet: 270, 293, 355, 366, 381, Median 355
  3. 355 ist mehr als 287.
Ergebnis:
Team Süd (Median 355 gegen 287)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 16, 3, 11, 11, 9. Team Süd: 6, 6, 6, 9, 13. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    Team NordTeam Süd246810121416
    So fängst du an:
    Team Nord: 16 + 3 + 11 + 11 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 16 + 3 + 11 + 11 + 9 = 50, 50 : 5 = 10
    2. Team Süd: 6 + 6 + 6 + 9 + 13 = 40, 40 : 5 = 8
    3. 10 ist mehr als 8.
    Ergebnis:
    Team Nord (10 Treffer gegen 8 Treffer)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 327, 290, 253, 306, 279. Gruppe Falken: 353, 273, 330, 357, 267. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 327 + 290 + 253 + 306 + 279 = 1455, 1455 : 5 = 291
    2. Gruppe Falken: 353 + 273 + 330 + 357 + 267 = 1580, 1580 : 5 = 316
    3. 316 ist mehr als 291.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (316 cm gegen 291 cm)
  3. ★3
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 53, 50, 33, 17, 30, 57. Jungen: 47, 44, 15, 42. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mädchen geordnet: 17, 30, 33, 50, 53, 57, Median 41,5
    2. Jungen geordnet: 15, 42, 44, 47, Median 43
    3. 43 ist mehr als 41,5.
    Ergebnis:
    Jungen (Median 43 gegen 41,5)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 16, 160, 29, 25. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
Werte020406080100120140160
Schritt für Schritt
  1. 160 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 240 : 5 = 48
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
  1. 160 ist viel größer als alle anderen Werte.
  2. Mit ihm: 240 : 5 = 48
  3. Ohne ihn: 80 : 4 = 20
Ergebnis:
Ausreißer 160, Mittelwert 48 statt 20

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 51, 6, 9, 2, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    Mittelwert: 75 : 5 = 15
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
    2. Geordnet: 2, 6, 7, 9, 51, Median 7
    3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 15)
  2. ●5
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 3, 7, 46, 9. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder der Gruppe besser?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 70 : 5 = 14
    2. Geordnet: 3, 5, 7, 9, 46, Median 7
    3. Der Wert 46 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (7 statt 14)
  3. ★6
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 17, 201, 28, 17, 25, 18. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 51 Bücher.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0255075100125150175200225
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 17, 17, 18, 25, 28, 201
    2. Median: 21,5
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 201.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 21,5 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Runden Korbwurf ist 11 Treffer. Bekannt sind 5, 12, 17. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 5 + 12 + 17 = 34
  3. 44 − 34 = 10
  1. Summe aller Werte: 4 · 11 = 44
  2. Summe der bekannten: 5 + 12 + 17 = 34
  3. 44 − 34 = 10
Ergebnis:
10 Treffer

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Lesetagen ist 32 min. Bekannt sind 46, 19, 37, 35. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 32 = 160
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 32 = 160
    2. Summe der bekannten: 46 + 19 + 37 + 35 = 137
    3. 160 − 137 = 23
    Ergebnis:
    23 min
  2. ●8
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 316 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 268, 286, 321. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher260270280290300310320330340?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 316 = 1264
    2. Summe der bekannten: 268 + 286 + 321 = 875
    3. 1264 − 875 = 389
    Ergebnis:
    389 cm
  3. ★9
    Tim möchte bei 6 Kopfrechentests im Mittel genau 20 Punkte erreichen. Die ersten Ergebnisse: 21, 26, 14, 21, 20. Was braucht Tim beim letzten Mal?
    bisher1416182022242628?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 6 · 20 = 120
    2. Summe der bekannten: 21 + 26 + 14 + 21 + 20 = 102
    3. 120 − 102 = 18
    Ergebnis:
    18 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 32 von 40 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 25 von 50 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A32 von 40B25 von 50
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 3240 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2550 = 0,5
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 3240 = 0,8
  2. Fußball-AG: 2550 = 0,5
  3. 0,8 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,8)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    An der Schule am Park sagen 5 von 10 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 34 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A5 von 10B34 von 50
    So fängst du an:
    Schule am Park: 510 = 0,5
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 510 = 0,5
    2. Schule am See: 3450 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Schule am See (0,68)
  2. ●11
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 39-mal bei 50 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 8-mal bei 10 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord39 von 50Team Süd8 von 10
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 3950 = 0,78
    2. Team Süd: 810 = 0,8
    3. 0,8 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,8)
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 18 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 12 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6a ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A18 von 40B12 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1840 = 0,45
    2. Klasse 6b: 1225 = 0,48
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6b größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen8??Jungen41014gesamt?24?
Schritt für Schritt
  1. Spalte kein Frühstück: 24 − 10 = 14
  2. Zeile Mädchen: 8 + 14 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 14 = 36
  1. Spalte kein Frühstück: 24 − 10 = 14
  2. Zeile Mädchen: 8 + 14 = 22
  3. Insgesamt: 22 + 14 = 36
Ergebnis:
36

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder der Klasse 6a kommen mit dem Rad?
    RadBusgesamtKlasse 6a?314Klasse 6b61117gesamt171431
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6a: zusammen 14.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6a: zusammen 14.
    2. 14 − 3 = 11
    3. Kontrolle mit der Spalte: 11 + 6 = 17
    Ergebnis:
    11
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 34 Kinder mit, davon sind 10 Kinder der Klasse 6a. 5 Kinder der Klasse 6a und 14 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Kinder der Klasse 6b: 34 − 10 = 24
    2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 24 − 14 = 10
    3. Kontrolle: 5 + 5 + 14 + 10 = 34
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Mädchen haben ein Haustier?
    Haustierkein TiergesamtMädchen?513Jungen71320gesamt151833
    Lösung zeigen
    1. Zeile Mädchen: zusammen 13.
    2. 13 − 5 = 8
    3. Kontrolle mit der Spalte: 8 + 7 = 15
    Ergebnis:
    8

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
Würfe1050100500Treffer22245224
Schritt für Schritt
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 224 : 500 = 0,448
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
  1. 2 : 10 = 0,2
  2. 224 : 500 = 0,448
  3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
  4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,45.
Ergebnis:
Nein, eher 0,448

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer51942201
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 201 : 500 = 0,402
    Ergebnis:
    0,402
  2. ●17
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer191382
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 13 : 100 = 0,13
    Ergebnis:
    0,13
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 50 Würfen.
    Würfe10502001000Treffer21357294
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 13 : 50 = 0,26
    Ergebnis:
    0,26

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
  1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
  2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
  3. Das sind 3 Ergebnisse.
Ergebnis:
3 Ergebnisse

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 3? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. 2 von 36, also 236 = 118
    Ergebnis:
    118
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 10?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 10: 4 und 6; 5 und 5; 6 und 4
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Jonas und Lotta werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Lotta bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
  1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
  2. Lotta: 3 von 12 Ergebnissen
  3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
Ergebnis:
fair (3 zu 3)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Anna und Ben werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Ben je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    So fängst du an:
    Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Anna: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
    3. Anna gewinnt 2-mal so oft.
    4. Ben braucht 2 Punkte je Treffer.
    Ergebnis:
    2 Punkte
  2. ●23
    Mila und Emre werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme gerade ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie ungerade ist. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 18 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 18 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (18 zu 18)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme 7 oder mehr ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie kleiner als 7 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 21 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 15 von 36 Ergebnissen
    3. 21 ist mehr als 15.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 53, 18, 35, 19, 60. Gruppe Falken: 33, 19, 58, 33, 17. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe liest länger?
    Gruppe AdlerGruppe Falken102030405060
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 18, 19, 35, 53, 60, Median 35
    2. Gruppe Falken geordnet: 17, 19, 33, 33, 58, Median 33
    3. 35 ist mehr als 33.
    Ergebnis:
    Gruppe Adler (Median 35 gegen 33)
  2. ●26
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Team Nord: 334, 266, 333, 270, 302. Team Süd: 303, 289, 302, 297, 314. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich (Spannweite)?
    Team NordTeam Süd260270280290300310320330340
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 1505 : 5 = 301
    2. Team Nord: 334 − 266 = 68
    3. Team Süd: 314 − 289 = 25
    4. Die Werte von Team Süd liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 25 gegen 68)
  3. ●27
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 11, 30, 241, 23, 20. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 241 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 325 : 5 = 65
    3. Ohne ihn: 84 : 4 = 21
    Ergebnis:
    Ausreißer 241, Mittelwert 65 statt 21
  4. ●28
    Tim hat die Ergebnisse von 5 Runden Korbwurf notiert. Im Mittel waren es 10 Treffer. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 12, 17, 8, 8. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher8101214161820?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 10 = 50
    2. Summe der bekannten: 12 + 17 + 8 + 8 = 45
    3. 50 − 45 = 5
    Ergebnis:
    5 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 13 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A13 von 20B7 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1320 = 0,65
    2. Klasse 6b: 710 = 0,7
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6b (0,7)
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 50 Kinder. 9 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 950
    2. 950 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 9 : 50 = 0,18
    Ergebnis:
    950 = 0,18

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 7, 9, 18, 7, 14. Jungen: 14, 6, 14, 4, 12. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe trifft öfter?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 2, 2, 8, 8, 35. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Tim hat die Ergebnisse von 4 Weitsprüngen notiert. Im Mittel waren es 324 cm. 3 Ergebnisse sind noch zu lesen: 365, 369, 309. Welches Ergebnis fehlt?
    bisher300310320330340350360370380?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    253 cm

  4. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    34
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Haustierkein TiergesamtMädchen14??Jungen71320gesamt?26?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    47

  5. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    35
    Anna und Emre werfen zwei Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Das Spiel ist nicht gerecht. Wie viele Punkte muss Emre je Treffer bekommen, damit es fair wird?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Punkte

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Team Nord (10 Treffer gegen 8 Treffer)
  2. Gruppe Falken (316 cm gegen 291 cm)
  3. Jungen (Median 43 gegen 41,5)
  4. Median (7 statt 15)
  5. Median (7 statt 14)
  6. Nein, der Median 21,5 passt besser
  7. 23 min
  8. 389 cm
  9. 18 Punkte
  10. Schule am See (0,68)
  11. Team Süd (0,8)
  12. Nein, in der Klasse 6b ist der Anteil größer
  13. 11
  14. 10
  15. 8
  16. 0,402
  17. 0,13
  18. 0,26
  19. 118
  20. 3 Ergebnisse
  21. 6 Ergebnisse
  22. 2 Punkte
  23. fair (18 zu 18)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (21 zu 15)
  25. Gruppe Adler (Median 35 gegen 33)
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 25 gegen 68)
  27. Ausreißer 241, Mittelwert 65 statt 21
  28. 5 Treffer
  29. Klasse 6b (0,7)
  30. 950 = 0,18
  31. Mädchen (11 Treffer gegen 10 Treffer)
  32. Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5
  33. 253 cm
  34. 47
  35. 2 Punkte
  36. x̄ = 10,4
  37. Median 6; Spannweite 16