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Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●38
    Punkte im Test: 1, 5, 7, 12, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●39
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 8, 14, 12, 12, 17. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 12, 12, 14, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 17 − 8 = 9
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 10, 17, 33, 19, 16. Gruppe Falken: 32, 37, 33, 10, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 10 + 17 + 33 + 19 + 16 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Gruppe Falken: 32 + 37 + 33 + 10 + 28 = 140, 140 : 5 = 28
  3. 28 ist mehr als 19.
  1. Gruppe Adler: 10 + 17 + 33 + 19 + 16 = 95, 95 : 5 = 19
  2. Gruppe Falken: 32 + 37 + 33 + 10 + 28 = 140, 140 : 5 = 28
  3. 28 ist mehr als 19.
Ergebnis:
Gruppe Falken (28 Hundert Schritte gegen 19 Hundert Schritte)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 10, 9, 20, 12, 39. Jungen: 8, 37, 18, 23, 9. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen510152025303540
    So fängst du an:
    Mädchen: 10 + 9 + 20 + 12 + 39 = 90, 90 : 5 = 18
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 10 + 9 + 20 + 12 + 39 = 90, 90 : 5 = 18
    2. Jungen: 8 + 37 + 18 + 23 + 9 = 95, 95 : 5 = 19
    3. 19 − 18 = 1
    Ergebnis:
    Jungen, um 1 Hundert Schritte
  2. ●2
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 14, 39, 16, 20, 36. Gruppe Falken: 18, 39, 10, 27, 36. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken10152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 14, 16, 20, 36, 39, Median 20
    2. Gruppe Falken geordnet: 10, 18, 27, 36, 39, Median 27
    3. 27 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 27 gegen 20)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Gruppe Adler: 19, 17, 40, 30, 7, 7. Gruppe Falken: 17, 36, 23, 28. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 19 + 17 + 40 + 30 + 7 + 7 = 120, 120 : 6 = 20
    2. Gruppe Falken: 17 + 36 + 23 + 28 = 104, 104 : 4 = 26
    3. 26 ist mehr als 20.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 4, 51, 6, 7, 7. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0102030405060
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 4, 6, 7, 7, 51, Median 7
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 75 : 5 = 15
  2. Geordnet: 4, 6, 7, 7, 51, Median 7
  3. Der Wert 51 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (7 statt 15)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Taschengeld in der Woche, in €: 3, 7, 6, 4, 60. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte0102030405060
    So fängst du an:
    60 ist viel größer als alle anderen Werte.
    Lösung zeigen
    1. 60 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 80 : 5 = 16
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5
  2. ●5
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 2, 35, 6, 9. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    1. 35 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 55 : 5 = 11
    3. Ohne ihn: 20 : 4 = 5
    Ergebnis:
    Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5
  3. ★6
    Taschengeld in der Woche, in €: 7, 7, 9, 4, 3, 60. Jemand sagt: „Im Mittel sind es 15 €.“ Beschreibt dieser Wert die Kinder der Gruppe gut? Vergleiche mit dem Median.
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Geordnet: 3, 4, 7, 7, 9, 60
    2. Median: 7
    3. Nur 1 Wert liegt beim Mittelwert oder darüber: 60.
    4. Der Median beschreibt die Gruppe besser.
    Ergebnis:
    Nein, der Median 7 passt besser

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 17 Punkte. Bekannt sind 10, 13, 26. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 10 + 13 + 26 = 49
  3. 68 − 49 = 19
  1. Summe aller Werte: 4 · 17 = 68
  2. Summe der bekannten: 10 + 13 + 26 = 49
  3. 68 − 49 = 19
Ergebnis:
19 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 318 cm. Bekannt sind 248, 352, 381, 342. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 5 · 318 = 1590
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 318 = 1590
    2. Summe der bekannten: 248 + 352 + 381 + 342 = 1323
    3. 1590 − 1323 = 267
    Ergebnis:
    267 cm
  2. ●8
    Der Mittelwert von 4 Kopfrechentests ist 22 Punkte. Bekannt sind 25, 29, 13. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 22 = 88
    2. Summe der bekannten: 25 + 29 + 13 = 67
    3. 88 − 67 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte
  3. ★9
    Aylin hat in 4 Spielen im Mittel 11 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 13 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 4 · 11 = 44
    2. Summe nachher: 5 · 13 = 65
    3. 65 − 44 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

In der Theater-AG haben 5 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 7 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A5 von 10B7 von 20
Schritt für Schritt
  1. Theater-AG: 510 = 0,5
  2. Fußball-AG: 720 = 0,35
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
  1. Theater-AG: 510 = 0,5
  2. Fußball-AG: 720 = 0,35
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Theater-AG (0,5)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Team Nord trifft beim Elfmetertraining 9-mal bei 40 Schüssen. Team Süd trifft beim Elfmetertraining 17-mal bei 25 Schüssen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    Team Nord9 von 40Team Süd17 von 25
    So fängst du an:
    Team Nord: 940 = 0,225
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 940 = 0,225
    2. Team Süd: 1725 = 0,68
    3. 0,68 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Team Süd (0,68)
  2. ●11
    An der Schule am Park sagen 10 von 50 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 6 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Ben sagt: „An der Schule am Park ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A10 von 50B6 von 20
    Lösung zeigen
    1. Schule am Park: 1050 = 0,2
    2. Schule am See: 620 = 0,3
    3. Die relative Häufigkeit ist an der Schule am See größer.
    Ergebnis:
    Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Klasse 6a kommen 7 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A7 von 10B13 von 40
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 710 = 0,7
    2. Klasse 6b: 1340 = 0,325
    3. 0,7 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,7)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Jungen haben gefrühstückt?
Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen7916Jungen?1117gesamt132033
Schritt für Schritt
  1. Zeile Jungen: zusammen 17.
  2. 17 − 11 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 7 = 13
  1. Zeile Jungen: zusammen 17.
  2. 17 − 11 = 6
  3. Kontrolle mit der Spalte: 6 + 7 = 13
Ergebnis:
6

AchtungAntiproportional statt proportional

So nicht
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 3 €
So richtig
3 Hefte 6 € → 6 Hefte 12 €

Frag dich: Mehr Stück, mehr Geld? Dann ist es proportional.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Bei einer Umfrage machen 33 Kinder mit, davon sind 19 Kinder aus Klasse 5. 12 Kinder aus Klasse 5 und 10 Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG? Lege eine Tabelle an.
    So fängst du an:
    Kinder aus Klasse 6: 33 − 19 = 14
    Lösung zeigen
    1. Kinder aus Klasse 6: 33 − 19 = 14
    2. Kinder aus Klasse 6, die in keiner AG sind: 14 − 10 = 4
    3. Kontrolle: 12 + 7 + 10 + 4 = 33
    Ergebnis:
    4
  2. ●14
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in einer AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 571219Klasse 6?818gesamt172037
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 18.
    2. 18 − 8 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    10
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen4??Jungen91423gesamt?21?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 21 − 14 = 7
    2. Zeile Mädchen: 4 + 7 = 11
    3. Insgesamt: 11 + 23 = 34
    Ergebnis:
    34

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
Würfe1050100500Treffer31116100
Schritt für Schritt
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 16 : 100 = 0,16
  3. 100 : 500 = 0,2
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
  1. 3 : 10 = 0,3
  2. 16 : 100 = 0,16
  3. 100 : 500 = 0,2
  4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
Ergebnis:
0,2

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 500 Würfen.
    Würfe1050100500Treffer2111980
    So fängst du an:
    Treffer geteilt durch Würfe.
    Lösung zeigen
    1. Treffer geteilt durch Würfe.
    2. 80 : 500 = 0,16
    Ergebnis:
    0,16
  2. ●17
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer52040206
    Lösung zeigen
    1. 5 : 10 = 0,5
    2. 40 : 100 = 0,4
    3. 206 : 500 = 0,412
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,412
  3. ★18
    Eine Reißzwecke wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft sie auf dem Rücken landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,3.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer31685391
    Lösung zeigen
    1. 3 : 10 = 0,3
    2. 391 : 1000 = 0,391
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,39.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,391

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
Ergebnis:
16

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 4?
    123456123456?
    So fängst du an:
    Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 4: 1 und 3; 2 und 2; 3 und 1
    3. Das sind 3 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    3 Ergebnisse
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 11?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 11: 5 und 6; 6 und 5
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
  1. Mila: 24 von 36 Ergebnissen
  2. Ben: 12 von 36 Ergebnissen
  3. 24 ist mehr als 12.
Ergebnis:
nicht fair, Mila gewinnt öfter (24 zu 12)

AchtungIm Sachzusammenhang falsch gerundet

So nicht
27 Kinder, Busse zu 20: 27 : 20 = 1,35 Busse
So richtig
27 Kinder, Busse zu 20: 1,35 → 2 Busse

Frag dich: Gibt es halbe Stücke? Entscheide dann: aufrunden oder abrunden.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Emre meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 15 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 15 von 36 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)
  2. ●23
    Anna und Ben werfen einen Würfel. Anna bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Ben bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Anna: 2 von 6 Ergebnissen
    2. Ben: 4 von 6 Ergebnissen
    3. 4 ist mehr als 2.
    Ergebnis:
    nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  3. ★24
    Jonas und Emre werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Emre bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 24 von 36 Ergebnissen
    2. Emre: 12 von 36 Ergebnissen
    3. 24 ist mehr als 12.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Mädchen: 21, 22, 44, 35, 23. Jungen: 33, 47, 14, 45, 26. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe liest länger?
    MädchenJungen101520253035404550
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 21 + 22 + 44 + 35 + 23 = 145, 145 : 5 = 29
    2. Jungen: 33 + 47 + 14 + 45 + 26 = 165, 165 : 5 = 33
    3. 33 ist mehr als 29.
    Ergebnis:
    Jungen (33 min gegen 29 min)
  2. ●26
    Lesezeit am Tag, in Minuten. Gruppe Adler: 19, 44, 38, 34, 40. Gruppe Falken: 34, 40, 30, 36, 35. Beide Gruppen haben denselben Mittelwert. Worin unterscheiden sie sich? Nutze die Spannweite.
    Gruppe AdlerGruppe Falken15202530354045
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert beider Gruppen: 175 : 5 = 35
    2. Gruppe Adler: 44 − 19 = 25
    3. Gruppe Falken: 40 − 30 = 10
    4. Die Werte von Gruppe Falken liegen enger beisammen.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 10 gegen 25)
  3. ●27
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 56, 8, 3, 8, 5. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
    Werte0102030405060
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 80 : 5 = 16
    2. Geordnet: 3, 5, 8, 8, 56, Median 8
    3. Der Wert 56 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (8 statt 16)
  4. ●28
    Der Mittelwert von 4 Weitsprüngen ist 307 cm. Bekannt sind 276, 385, 296. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 307 = 1228
    2. Summe der bekannten: 276 + 385 + 296 = 957
    3. 1228 − 957 = 271
    Ergebnis:
    271 cm
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 39 von 50 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 4 von 10 Kindern mit dem Rad zur Schule. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A39 von 50B4 von 10
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 3950 = 0,78
    2. Klasse 6b: 410 = 0,4
    3. 0,78 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Klasse 6a (0,78)
  6. ●30
    Eine Reißzwecke wird 20-mal geworfen. 13-mal landet sie auf dem Rücken. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Treffer13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 1320
    2. 1320 lässt sich nicht kürzen.
    3. Als Dezimalzahl: 13 : 20 = 0,65
    Ergebnis:
    1320 = 0,65

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Gruppe Adler: 29, 18, 21, 18, 14. Gruppe Falken: 18, 15, 11, 11, 25. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Gruppe AdlerGruppe Falken1015202530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Gruppe Adler, um 4 Punkte

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 41, 9, 9, 3, 3. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6

  3. Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

    33
    Der Mittelwert von 5 Weitsprüngen ist 307 cm. Bekannt sind 328, 319, 295, 347. Ein Ergebnis ist verloren gegangen. Wie groß war es?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    246 cm

  4. Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

    34
    An der Schule am Park sagen 18 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 8 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A18 von 25B8 von 20
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Schule am Park (0,72)

  5. Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

    35
    Bei einer Umfrage machen 38 Kinder mit, davon sind 16 Mädchen. 13 Mädchen und 12 Jungen haben ein Haustier. Wie viele Jungen haben kein Haustier? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10

  6. Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

    36
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer21131145
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0,29

  7. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    37
    Mila und Lotta werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn die Augensumme kleiner als 7 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn sie größer als 7 ist; bei 7 wird neu geworfen. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    fair (15 zu 15)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Jungen, um 1 Hundert Schritte
  2. Gruppe Falken (Median 27 gegen 20)
  3. Gruppe Falken (26 Hundert Schritte gegen 20 Hundert Schritte)
  4. Ausreißer 60, Mittelwert 16 statt 5
  5. Ausreißer 35, Mittelwert 11 statt 5
  6. Nein, der Median 7 passt besser
  7. 267 cm
  8. 21 Punkte
  9. 21 Punkte
  10. Team Süd (0,68)
  11. Nein, an der Schule am See ist der Anteil größer
  12. Klasse 6a (0,7)
  13. 4
  14. 10
  15. 34
  16. 0,16
  17. 0,412
  18. Nein, eher 0,391
  19. 3 Ergebnisse
  20. 2 Ergebnisse
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (15 zu 15)
  23. nicht fair, Ben gewinnt öfter (4 zu 2)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  25. Jungen (33 min gegen 29 min)
  26. gleichmäßiger: Gruppe Falken (Spannweite 10 gegen 25)
  27. Median (8 statt 16)
  28. 271 cm
  29. Klasse 6a (0,78)
  30. 1320 = 0,65
  31. Gruppe Adler, um 4 Punkte
  32. Ausreißer 41, Mittelwert 13 statt 6
  33. 246 cm
  34. Schule am Park (0,72)
  35. 10
  36. 0,29
  37. fair (15 zu 15)
  38. x̄ = 8
  39. Median 12; Spannweite 9