Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 6 · Kapitel

Andere ZahlenÜbenBasiswissenAlle Kapitel

Daten vergleichen und Zufall untersuchen

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Einige nennen Team Süd, weil dort der weiteste Sprung ist oder weil die Summe größer ist. Andere widersprechen, weil Team Süd ein Kind mehr hat. Die Gruppen streiten, und jede hat ein Argument. Ein fairer Vergleich braucht eine Zahl, die nicht von der Anzahl der Kinder abhängt: den Mittelwert. Team Nord kommt auf 310 cm, Team Süd auf etwa 303 cm. Wie gleichmäßig ein Team springt, zeigt die Spannweite.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median beschreiben die Mitte einer Datenreihe, die Spannweite ihre Breite.

  1. ●34
    Punkte im Test: 5, 5, 1, 3, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,6
  2. ●35
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 2, 15, 5, 18, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 5, 11, 15, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenKennwerte stehen für eine Gruppe

Ein Mittelwert oder Median steht für eine ganze Gruppe, die Spannweite für ihre Streuung. Gruppen vergleicht man über solche Kennwerte, nicht über einzelne Werte. Chancen zeigen sich erst bei vielen Versuchen.

Punktdiagramm einer Gruppe: Der Median 6 steht für die Mitte, die Spannweite 6 für die Streuung2345678910Median 6Spannweite 9 − 3 = 6

WeiterdenkenDenk nach

Team A hat den weitesten Springer, Team B den höheren Mittelwert. Welches Team ist besser – und was müsstest du wissen, um das zu entscheiden?

1Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

EntdeckenFrage

Warum nennen Statistiker beim Einkommen lieber den Median als den Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Einkommen ziehen den Durchschnitt nach oben, sodass die meisten Menschen darunter liegen. Der Median ist das Einkommen in der Mitte: Die eine Hälfte verdient weniger, die andere mehr. Deshalb beschreibt er, was für viele typisch ist, besser.

MerkenDatenreihen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.

Der Mittelwert zeigt die Mitte, die Spannweite zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen.

BeispielZwei Datenreihen mit Mittelwert und Median vergleichen

Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 273, 335, 388, 285, 254. Gruppe Falken: 272, 379, 265, 367, 302. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380400
Schritt für Schritt
  1. Gruppe Adler: 273 + 335 + 388 + 285 + 254 = 1535, 1535 : 5 = 307
  2. Gruppe Falken: 272 + 379 + 265 + 367 + 302 = 1585, 1585 : 5 = 317
  3. 317 ist mehr als 307.
  1. Gruppe Adler: 273 + 335 + 388 + 285 + 254 = 1535, 1535 : 5 = 307
  2. Gruppe Falken: 272 + 379 + 265 + 367 + 302 = 1585, 1585 : 5 = 317
  3. 317 ist mehr als 307.
Ergebnis:
Gruppe Falken (317 cm gegen 307 cm)

AchtungMittelwert falsch berechnet oder einzelne Werte verglichen

So nicht
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 3 = 20
So richtig
12, 15, 18, 15 → Mittelwert = 60 : 4 = 15

Alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen. Eine Gruppe vergleicht man über Kennwerte, nicht über ihren besten Wert.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 320, 263, 302, 312, 283. Gruppe Falken: 255, 347, 267, 313, 373. Vergleiche die beiden Gruppen mit dem Median. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken240260280300320340360380
    So fängst du an:
    Gruppe Adler geordnet: 263, 283, 302, 312, 320, Median 302
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler geordnet: 263, 283, 302, 312, 320, Median 302
    2. Gruppe Falken geordnet: 255, 267, 313, 347, 373, Median 313
    3. 313 ist mehr als 302.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (Median 313 gegen 302)
  2. ●2
    Weitsprung beim Sportfest, in cm. Gruppe Adler: 345, 278, 342, 290, 300. Gruppe Falken: 390, 347, 326, 334, 273. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe springt weiter?
    Gruppe AdlerGruppe Falken260280300320340360380400
    Lösung zeigen
    1. Gruppe Adler: 345 + 278 + 342 + 290 + 300 = 1555, 1555 : 5 = 311
    2. Gruppe Falken: 390 + 347 + 326 + 334 + 273 = 1670, 1670 : 5 = 334
    3. 334 ist mehr als 311.
    Ergebnis:
    Gruppe Falken (334 cm gegen 311 cm)
  3. ★3
    Schritte auf dem Schulweg, in Hundert. Mädchen: 37, 32, 8, 18, 25. Jungen: 13, 33, 6, 36. Berechne für beide Gruppen den Mittelwert. Welche Gruppe geht weiter?
    MädchenJungen510152025303540
    Lösung zeigen
    1. Mädchen: 37 + 32 + 8 + 18 + 25 = 120, 120 : 5 = 24
    2. Jungen: 13 + 33 + 6 + 36 = 88, 88 : 4 = 22
    3. 24 ist mehr als 22.
    Ergebnis:
    Mädchen (24 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)

2Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

EntdeckenFrage

Kann ein einziges Kind den Taschengeld-Durchschnitt einer ganzen Klasse verdoppeln?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. Bekommen 24 Kinder je 5 € und ein Kind 130 €, ist der Mittelwert 250 € : 25 = 10 €, also doppelt so viel wie fast alle bekommen. Der Median bleibt bei 5 €. Ein einziger Ausreißer verändert den Mittelwert stark, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.

Den Median verändert er kaum. Bei Ausreißern beschreibt der Median die Gruppe besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert oder Median?

Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 36, 8, 5, 3, 8. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Fahrgäste besser?
Werte0510152025303540
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 3, 5, 8, 8, 36, Median 8
  3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
  1. Mittelwert: 60 : 5 = 12
  2. Geordnet: 3, 5, 8, 8, 36, Median 8
  3. Der Wert 36 zieht den Mittelwert nach oben.
Ergebnis:
Median (8 statt 12)

AchtungMittelwert trotz Ausreißer gewählt

So nicht
5, 6, 5, 7, 42 → Mittelwert 13 beschreibt die Gruppe
So richtig
5, 6, 5, 7, 42 → Median = 6 beschreibt die Gruppe besser

Liegt ein Wert weit weg von allen anderen, beschreibt der Median die Gruppe besser.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Zeit am Handy an einem Tag, in Minuten: 45, 33, 38, 397, 52. Berechne Mittelwert und Median. Welcher der beiden Werte beschreibt die Kinder besser?
    Werte050100150200250300350400
    So fängst du an:
    Mittelwert: 565 : 5 = 113
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert: 565 : 5 = 113
    2. Geordnet: 33, 38, 45, 52, 397, Median 45
    3. Der Wert 397 zieht den Mittelwert nach oben.
    Ergebnis:
    Median (45 statt 113)
  2. ●5
    Anzahl der Bücher im Kinderzimmer: 10, 20, 217, 16, 22. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte050100150200250
    Lösung zeigen
    1. 217 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 285 : 5 = 57
    3. Ohne ihn: 68 : 4 = 17
    Ergebnis:
    Ausreißer 217, Mittelwert 57 statt 17
  3. ★6
    Wartezeit an der Bushaltestelle, in Minuten: 3, 9, 8, 8, 42, 2. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte051015202530354045
    Lösung zeigen
    1. 42 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 72 : 6 = 12
    3. Ohne ihn: 30 : 5 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 42, Mittelwert 12 statt 6

3Ich bestimme einen fehlenden Wert aus dem Mittelwert.

EntdeckenFrage

Wie kann eine Umfrage mit rund tausend Menschen etwas über ganz Deutschland sagen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenn die Befragten gut ausgewählt sind, spiegeln sie die Bevölkerung im Kleinen. Der Anteil in der Umfrage ist dann eine Schätzung für den Anteil im ganzen Land. Große Umfragen zur Politik fragen deshalb meist nur etwa 1000 bis 1500 Menschen.

MerkenFehlender Wert

Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.

So ist 4 zu 6 dasselbe wie 2 zu 3. Zu 10 = 5 · 2 gehört dann 5 · 3 = 15.

BeispielFehlender Wert aus dem Mittelwert

Tim hat die Ergebnisse von 5 Kopfrechentests notiert. Im Mittel waren es 18 Punkte. 4 Ergebnisse sind noch zu lesen: 14, 17, 21, 12. Welches Ergebnis fehlt?
bisher12141618202224?
Schritt für Schritt
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 14 + 17 + 21 + 12 = 64
  3. 90 − 64 = 26
  1. Summe aller Werte: 5 · 18 = 90
  2. Summe der bekannten: 14 + 17 + 21 + 12 = 64
  3. 90 − 64 = 26
Ergebnis:
26 Punkte

AchtungFehlenden Wert vom Mittelwert statt von der Summe aus gesucht

So nicht
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → der fünfte ist 14
So richtig
Mittelwert 14 bei 5 Tests, bekannt 12, 15, 11, 16 → 5 · 14 = 70, 70 − 54 = 16

Erst Mittelwert mal Anzahl: Das ist die Summe. Dann die bekannten Werte abziehen.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lukas möchte bei 4 Runden Korbwurf im Mittel genau 13 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 11, 10, 17. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher101112131415161718?
    So fängst du an:
    Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 4 · 13 = 52
    2. Summe der bekannten: 11 + 10 + 17 = 38
    3. 52 − 38 = 14
    Ergebnis:
    14 Treffer
  2. ●8
    Aylin möchte bei 5 Weitsprüngen im Mittel genau 321 cm erreichen. Die ersten Ergebnisse: 257, 366, 370, 366. Was braucht Aylin beim letzten Mal?
    bisher240260280300320340360380400?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 321 = 1605
    2. Summe der bekannten: 257 + 366 + 370 + 366 = 1359
    3. 1605 − 1359 = 246
    Ergebnis:
    246 cm
  3. ★9
    Lukas hat in 3 Spielen im Mittel 13 Punkte gemacht. Nach dem nächsten Spiel liegt der Mittelwert bei 15 Punkten. Wie viele Punkte waren es im letzten Spiel?
    Lösung zeigen
    1. Summe vorher: 3 · 13 = 39
    2. Summe nachher: 4 · 15 = 60
    3. 60 − 39 = 21
    Ergebnis:
    21 Punkte

4Ich vergleiche Gruppen unterschiedlicher Größe mit relativen Häufigkeiten.

EntdeckenFrage

Warum zählt man Krankheitsfälle je 100.000 Einwohner und nicht einfach die Fälle?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Eine Großstadt hat natürlich mehr Fälle als ein Dorf, weil dort mehr Menschen leben. Erst wenn man die Fälle durch die Einwohnerzahl teilt, kann man Orte verschiedener Größe fair vergleichen. Das ist eine relative Häufigkeit, nur auf 100.000 Menschen hochgerechnet.

MerkenRelative Häufigkeit

Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.

Zum Beispiel 12 von 40 ergibt 12/40 = 3/10 = 0,3. So kann man verschieden große Gruppen vergleichen.

BeispielVerschieden große Gruppen über Anteile vergleichen

An der Schule am Park sagen 11 von 25 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. An der Schule am See sagen 10 von 20 Befragten, dass sie gern Gemüse essen. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
A11 von 25B10 von 20
Schritt für Schritt
  1. Schule am Park: 1125 = 0,44
  2. Schule am See: 1020 = 0,5
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
  1. Schule am Park: 1125 = 0,44
  2. Schule am See: 1020 = 0,5
  3. 0,5 ist die größte Zahl.
Ergebnis:
Schule am See (0,5)

AchtungAnzahlen statt Anteile verglichen

So nicht
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12 ist mehr, also größerer Anteil
So richtig
12 von 25 gegen 10 von 20 → 12/25 = 0,48 und 10/20 = 0,5, also 0,48 < 0,5

Bei verschieden großen Gruppen die Anzahl durch die Gruppengröße teilen, dann vergleichen.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    In der Klasse 6a kommen 16 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 20 von 40 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A16 von 20B20 von 40
    So fängst du an:
    Klasse 6a: 1620 = 0,8
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1620 = 0,8
    2. Klasse 6b: 2040 = 0,5
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  2. ●11
    In der Theater-AG haben 27 von 50 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 20 von 25 Kindern ein Haustier. Ben sagt: „In der Theater-AG ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A27 von 50B20 von 25
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 2750 = 0,54
    2. Fußball-AG: 2025 = 0,8
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Fußball-AG größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  3. ★12
    In der Theater-AG haben 3 von 10 Kindern ein Haustier. In der Fußball-AG haben 13 von 20 Kindern ein Haustier. Wo ist der Anteil am größten? Vergleiche mit der relativen Häufigkeit.
    A3 von 10B13 von 20
    Lösung zeigen
    1. Theater-AG: 310 = 0,3
    2. Fußball-AG: 1320 = 0,65
    3. 0,65 ist die größte Zahl.
    Ergebnis:
    Fußball-AG (0,65)

5Ich lese und ergänze Tabellen mit zwei Merkmalen.

EntdeckenFrage

Landet eine Reißzwecke öfter auf dem Rücken oder auf der Seite?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Das kann man nicht ausrechnen, sondern nur ausprobieren. Nach zehn Würfen weiß man fast nichts, nach Hunderten von Würfen pendelt sich der Anteil ein. Je nach Form der Reißzwecke kommt etwas anderes heraus, deshalb ist der Versuch selbst die Antwort.

MerkenKreuztabelle

Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.

Jede Zeile und jede Spalte muss ihre Summe ergeben. Das ist die Kontrolle.

BeispielTabelle mit zwei Merkmalen lesen und ergänzen

Bei einer Umfrage machen 37 Kinder mit, davon sind 17 Kinder der Klasse 6a. 9 Kinder der Klasse 6a und 7 Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Rad. Wie viele Kinder der Klasse 6b kommen mit dem Bus? Lege eine Tabelle an.
Schritt für Schritt
  1. Kinder der Klasse 6b: 37 − 17 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 7 = 13
  3. Kontrolle: 9 + 8 + 7 + 13 = 37
  1. Kinder der Klasse 6b: 37 − 17 = 20
  2. Kinder der Klasse 6b, die mit dem Bus kommen: 20 − 7 = 13
  3. Kontrolle: 9 + 8 + 7 + 13 = 37
Ergebnis:
13

AchtungZeile und Spalte der Vierfeldertafel vermischt

So nicht
Zeile 12, daneben 5, Spalte 9 → 9 − 5 = 4
So richtig
Zeile 12, daneben 5 → 12 − 5 = 7

Lies nur in einer Zeile: Zeilensumme minus den anderen Wert der Zeile.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Die Tabelle zeigt eine Umfrage. Wie viele Kinder aus Klasse 6 sind in keiner AG?
    AG jaAG neingesamtKlasse 58715Klasse 610?20gesamt181735
    So fängst du an:
    Zeile Klasse 6: zusammen 20.
    Lösung zeigen
    1. Zeile Klasse 6: zusammen 20.
    2. 20 − 10 = 10
    3. Kontrolle mit der Spalte: 10 + 7 = 17
    Ergebnis:
    10
  2. ●14
    Bei einer Umfrage machen 31 Kinder mit, davon sind 15 Mädchen. 8 Mädchen und 4 Jungen haben gefrühstückt. Wie viele Jungen haben nicht gefrühstückt? Lege eine Tabelle an.
    Lösung zeigen
    1. Jungen: 31 − 15 = 16
    2. Jungen, die nicht gefrühstückt haben: 16 − 4 = 12
    3. Kontrolle: 8 + 7 + 4 + 12 = 31
    Ergebnis:
    12
  3. ★15
    In der Tabelle fehlen Zahlen. Wie viele Kinder wurden insgesamt befragt?
    Frühstückkein FrühstückgesamtMädchen9??Jungen12517gesamt?12?
    Lösung zeigen
    1. Spalte kein Frühstück: 12 − 5 = 7
    2. Zeile Mädchen: 9 + 7 = 16
    3. Insgesamt: 16 + 17 = 33
    Ergebnis:
    33

6Ich beobachte, wie sich relative Häufigkeiten bei vielen Versuchen stabilisieren.

EntdeckenFrage

Hat schon einmal jemand eine Münze 24.000-mal geworfen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja, der Statistiker Karl Pearson um 1900. Er bekam 12.012-mal Kopf, das sind 0,5005 aller Würfe. Schon im 18. Jahrhundert warf der Naturforscher Buffon 4040-mal und bekam 2048-mal Kopf. Je länger die Reihe, desto näher liegt der Anteil bei einhalb.

Ausprobieren: Zufallsversuch: Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Münze, Würfel oder Glücksrad oft werfen – die relative Häufigkeit pendelt sich bei der Wahrscheinlichkeit ein.

MerkenLangfristig stabil

Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.

Bei vielen Versuchen wird sie stabil. Dann ist sie eine gute Schätzung für die Chance.

BeispielRelative Häufigkeiten bei vielen Versuchen

Ein Würfel wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Sechs nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Berechne die relative Häufigkeit nach 100 Würfen.
Würfe1050100500Treffer271983
Schritt für Schritt
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 19 : 100 = 0,19
  1. Treffer geteilt durch Würfe.
  2. 19 : 100 = 0,19
Ergebnis:
0,19

AchtungAus wenigen Versuchen auf die Chance geschlossen

So nicht
3 Sechsen in 10 Würfen → Chance 3 : 10 = 0,3
So richtig
3 Sechsen in 10 Würfen → noch zu wenige; 100 Sechsen in 600 Würfen → 100 : 600 ≈ 0,17

Erst viele Versuche machen die relative Häufigkeit verlässlich.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer41336173
    So fängst du an:
    4 : 10 = 0,4
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 36 : 100 = 0,36
    3. 173 : 500 = 0,346
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,346
  2. ●17
    Ein Legostein wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er auf der Seite landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Welche relative Häufigkeit ist die beste Schätzung für die Chance? Begründe.
    Würfe1050100500Treffer461896
    Lösung zeigen
    1. 4 : 10 = 0,4
    2. 18 : 100 = 0,18
    3. 96 : 500 = 0,192
    4. Nach den meisten Würfen schwankt der Wert am wenigsten.
    Ergebnis:
    0,192
  3. ★18
    Ein Kronkorken wird immer wieder geworfen. Gezählt wird, wie oft er mit der Öffnung nach oben landet. Die Tabelle zeigt die Zwischenstände. Nach 10 Würfen sagt Ida: „Die Chance ist 0,2.“ Hat sie recht?
    Würfe10502001000Treffer21365288
    Lösung zeigen
    1. 2 : 10 = 0,2
    2. 288 : 1000 = 0,288
    3. 10 Würfe sind zu wenige, der Wert schwankt noch stark.
    4. Langfristig stabil ist der Wert bei etwa 0,29.
    Ergebnis:
    Nein, eher 0,288

7Ich bestimme Gewinnchancen durch Auszählen aller Ergebnisse.

EntdeckenFrage

Warum muss man beim Spiel „Die Siedler von Catan“ so oft den Räuber versetzen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Der Räuber kommt bei der Augensumme 7. Von den 36 Ergebnissen zweier Würfel haben 6 die Summe 7, mehr als jede andere Summe. Die 2 und die 12 haben nur je ein Ergebnis. Deshalb sind die Zahlen 6 und 8 auf dem Spielfeld so wertvoll.

MerkenGewinnchancen auszählen

Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3. Wer alle günstigen Ergebnisse zählt, kennt die Chance.

BeispielGewinnchancen durch Auszählen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 7? Gib sie als gekürzten Bruch an.
123456123456?
Schritt für Schritt
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
  1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
  2. Summe 7: 1 und 6; 2 und 5; 3 und 4; 4 und 3; 5 und 2; 6 und 1
  3. 6 von 36, also 636 = 16
Ergebnis:
16

AchtungErgebnisse unvollständig gezählt

So nicht
Augensumme 7: 1 und 6, 2 und 5, 3 und 4 → 3 von 36
So richtig
Augensumme 7: 1 und 6, 6 und 1, 2 und 5, 5 und 2, 3 und 4, 4 und 3 → 6 von 36

Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3 – alle 36 Paare zählen.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Chance auf die Augensumme 8? Gib sie als gekürzten Bruch an.
    123456123456?
    So fängst du an:
    Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    Lösung zeigen
    1. Alle Ergebnisse: 6 · 6 = 36
    2. Summe 8: 2 und 6; 3 und 5; 4 und 4; 5 und 3; 6 und 2
    3. 5 von 36, also 536 = 536
    Ergebnis:
    536
  2. ●20
    Ein roter und ein blauer Würfel werden geworfen. Wie viele der 36 Ergebnisse haben die Augensumme 3?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Rot 3 und Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4 und Blau 3.
    2. Summe 3: 1 und 2; 2 und 1
    3. Das sind 2 Ergebnisse.
    Ergebnis:
    2 Ergebnisse
  3. ★21
    Zwei Würfel werden geworfen. Gewonnen hat, wer genau den Unterschied 3 der beiden Augenzahlen erreicht. Wie viele der 36 Ergebnisse gewinnen?
    123456123456?
    Lösung zeigen
    1. Die Tabelle hat 6 · 6 = 36 Felder, erst Würfel 1, dann Würfel 2.
    2. Unterschied 3: 3 Felder, bei denen Würfel 1 größer ist, genauso viele umgekehrt.
    3. 3 + 3 = 6
    Ergebnis:
    6 Ergebnisse

8Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

EntdeckenFrage

Ist ein Spiel fair, bei dem einer bei geradem und der andere bei ungeradem Augenprodukt gewinnt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Ungerade ist das Produkt nur, wenn beide Würfel ungerade zeigen: 3 · 3 = 9 von 36 Ergebnissen. Gerade ist es bei den übrigen 27. Wer auf gerade setzt, gewinnt also dreimal so oft – obwohl es gerecht aussieht.

MerkenFairness

Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Gefühle täuschen, Zählen nicht.

BeispielIst das Spiel fair?

Mila und Lotta werfen einen Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn eine 1 oder 2 geworfen wird. Lotta bekommt einen Punkt, wenn eine 3, 4, 5 oder 6 geworfen wird. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
Schritt für Schritt
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
  1. Mila: 2 von 6 Ergebnissen
  2. Lotta: 4 von 6 Ergebnissen
  3. 4 ist mehr als 2.
Ergebnis:
nicht fair, Lotta gewinnt öfter (4 zu 2)

AchtungErgebnisse ohne Reihenfolge gezählt

So nicht
Augensumme 7 → 3 Ergebnisse
So richtig
Augensumme 7 → 6 Ergebnisse

Denk an zwei Farben: Rot 3, Blau 4 ist ein anderes Ergebnis als Rot 4, Blau 3.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Jonas und Ben werfen eine Münze und einen Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn Kopf und eine gerade Zahl kommt. Ben bekommt einen Punkt, wenn Zahl und eine ungerade Zahl kommt. Ben meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    So fängst du an:
    Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 3 von 12 Ergebnissen
    2. Ben: 3 von 12 Ergebnissen
    3. Beide haben gleich viele günstige Ergebnisse.
    Ergebnis:
    fair (3 zu 3)
  2. ●23
    Mila und Ben werfen zwei Würfel. Mila bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Ben bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Ist das Spiel fair? Begründe mit den Ergebnissen.
    Lösung zeigen
    1. Mila: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Ben: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  3. ★24
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn das Augenprodukt gerade ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn es ungerade ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    1. Jonas: 27 von 36 Ergebnissen
    2. Lotta: 9 von 36 Ergebnissen
    3. 27 ist mehr als 9.
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Team Nord: 14, 8, 10, 5, 3. Team Süd: 6, 4, 18, 4, 13. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    Team NordTeam Süd24681012141618
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 14 + 8 + 10 + 5 + 3 = 40, 40 : 5 = 8
    2. Team Süd: 6 + 4 + 18 + 4 + 13 = 45, 45 : 5 = 9
    3. 9 − 8 = 1
    Ergebnis:
    Team Süd, um 1 Treffer
  2. ●26
    Punkte im Kopfrechentest (höchstens 30). Team Nord: 16, 15, 14, 13, 27. Team Süd: 17, 15, 19, 15, 19. Berechne für beide Gruppen die Spannweite. Welche Gruppe hat gleichmäßigere Ergebnisse?
    Team NordTeam Süd121416182022242628
    Lösung zeigen
    1. Team Nord: 27 − 13 = 14
    2. Team Süd: 19 − 15 = 4
    3. Die kleinere Spannweite hat Team Süd.
    Ergebnis:
    gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 14)
  3. ●27
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 3, 9, 46, 7. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte01020304050
    Lösung zeigen
    1. 46 ist viel größer als alle anderen Werte.
    2. Mit ihm: 70 : 5 = 14
    3. Ohne ihn: 24 : 4 = 6
    Ergebnis:
    Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  4. ●28
    Lukas möchte bei 5 Runden Korbwurf im Mittel genau 9 Treffer erreichen. Die ersten Ergebnisse: 3, 5, 16, 6. Was braucht Lukas beim letzten Mal?
    bisher24681012141618?
    Lösung zeigen
    1. Summe aller Werte: 5 · 9 = 45
    2. Summe der bekannten: 3 + 5 + 16 + 6 = 30
    3. 45 − 30 = 15
    Ergebnis:
    15 Treffer
  5. ●29
    In der Klasse 6a kommen 12 von 20 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der Klasse 6b kommen 13 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. Ben sagt: „In der Klasse 6b ist der Anteil größer, denn es sind mehr.“ Stimmt das?
    A12 von 20B13 von 25
    Lösung zeigen
    1. Klasse 6a: 1220 = 0,6
    2. Klasse 6b: 1325 = 0,52
    3. Die relative Häufigkeit ist in der Klasse 6a größer.
    Ergebnis:
    Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  6. ●30
    Bei einer Umfrage antworten 10 Kinder. 4 von ihnen sagen, dass sie ein Instrument spielen. Gib die relative Häufigkeit als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl an.
    Lösung zeigen
    1. Relative Häufigkeit: Anzahl geteilt durch alle, 410
    2. Gekürzt: 410 = 25
    3. Als Dezimalzahl: 4 : 10 = 0,4
    Ergebnis:
    25 = 0,4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Datenreihen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man über ihre Kennwerte, nicht über einzelne Werte.
Ausreißer
Ein Wert, der weit von allen anderen liegt, zieht den Mittelwert zu sich.
Fehlender Wert
Erst das Verhältnis kürzen, dann den Faktor suchen.
Relative Häufigkeit
Relative Häufigkeit heißt: Anzahl geteilt durch alle.
Kreuztabelle
Eine Tabelle mit zwei Merkmalen hat Zeilen und Spalten mit Summen.
Langfristig stabil
Bei wenigen Versuchen schwankt die relative Häufigkeit stark.
Gewinnchancen auszählen
Zwei Würfel haben 6 · 6 = 36 Ergebnisse.
Fairness
Ein Spiel ist fair, wenn alle gleich viele günstige Ergebnisse haben.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich vergleiche zwei Datenreihen mit Mittelwert, Median und Spannweite.

    31
    Treffer beim Korbwurf, je 20 Würfe. Mädchen: 18, 18, 17, 4, 8. Jungen: 9, 18, 8, 16, 4. Wie groß ist der Unterschied der beiden Mittelwerte, und welche Gruppe liegt vorn?
    MädchenJungen4681012141618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mädchen, um 2 Treffer

  2. Ich erkenne Ausreißer und entscheide, ob Mittelwert oder Median besser passt.

    32
    Taschengeld in der Woche, in €: 5, 6, 9, 4, 31. Welcher Wert fällt aus der Reihe? Wie ändert sich der Mittelwert, wenn man ihn weglässt?
    Werte05101520253035
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Ausreißer 31, Mittelwert 11 statt 6

  3. Ich prüfe Spiele auf Fairness und begründe.

    33
    Jonas und Lotta werfen zwei Würfel. Jonas bekommt einen Punkt, wenn der Unterschied der Augenzahlen 0, 1 oder 2 ist. Lotta bekommt einen Punkt, wenn er 3, 4 oder 5 ist. Lotta meint: „Das Spiel ist fair.“ Stimmt das? Zähle nach.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Team Nord springt 310, 290, 350, 300 und 300 cm weit. Team Süd springt 280, 380, 270, 300, 290 und 300 cm weit. Welches Team ist besser? Finde eine Antwort, die du begründen kannst.

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Der Mittelwert als faire Vergleichszahl für verschieden große Gruppen, die Spannweite für die Streuung.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Sportergebnisse vergleichen, Umfragen in der Klasse auswerten, Spielregeln auf Fairness prüfen. Beruf: Marktforschung, Qualitätskontrolle in der Produktion, Wetter- und Verkehrsstatistik.

Wörter

Gleichung
zwei Rechnungen, die gleich viel wert sind
Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Summe
was herauskommt, wenn man zusammenzählt

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Brüche und Dezimalzahlen, Systematisch zählen

Darauf baut auf: Daten und Zufall

Lösungen

  1. Gruppe Falken (Median 313 gegen 302)
  2. Gruppe Falken (334 cm gegen 311 cm)
  3. Mädchen (24 Hundert Schritte gegen 22 Hundert Schritte)
  4. Median (45 statt 113)
  5. Ausreißer 217, Mittelwert 57 statt 17
  6. Ausreißer 42, Mittelwert 12 statt 6
  7. 14 Treffer
  8. 246 cm
  9. 21 Punkte
  10. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  11. Nein, in der Fußball-AG ist der Anteil größer
  12. Fußball-AG (0,65)
  13. 10
  14. 12
  15. 33
  16. 0,346
  17. 0,192
  18. Nein, eher 0,288
  19. 536
  20. 2 Ergebnisse
  21. 6 Ergebnisse
  22. fair (3 zu 3)
  23. nicht fair, Mila gewinnt öfter (27 zu 9)
  24. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (27 zu 9)
  25. Team Süd, um 1 Treffer
  26. gleichmäßiger: Team Süd (Spannweite 4 gegen 14)
  27. Ausreißer 46, Mittelwert 14 statt 6
  28. 15 Treffer
  29. Nein, in der Klasse 6a ist der Anteil größer
  30. 25 = 0,4
  31. Mädchen, um 2 Treffer
  32. Ausreißer 31, Mittelwert 11 statt 6
  33. nicht fair, Jonas gewinnt öfter (24 zu 12)
  34. x̄ = 5,6
  35. Median 11; Spannweite 16