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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 13, 6, 8, 9, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 15, 13, 2, 9, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 9, 10, 13, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 10
    3. Spannweite = 15 − 2 = 13
    Ergebnis:
    Median 10; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Tim will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 318, 362, 400, 358, 384, 363, 283, 326, 338, 311, 335, 329, 293, 361, 411. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 6
  3. 350 bis unter 400 cm: 5
  4. 400 bis unter 450 cm: 2
  5. Probe: 2 + 6 + 5 + 2 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 6
  3. 350 bis unter 400 cm: 5
  4. 400 bis unter 450 cm: 2
  5. Probe: 2 + 6 + 5 + 2 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 43, 115, 88, 122, 79, 135, 97, 78, 101, 152, 80, 76, 97, 59, 110. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    So fängst du an:
    30 bis unter 60 min: 2
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 5
    3. 90 bis unter 120 min: 5
    4. 120 bis unter 150 min: 2
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 2 + 5 + 5 + 2 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 5, 5, 2, 1
  2. ●5
    15 Werte (Körpergröße in cm): 161, 161, 164, 160, 157, 160, 160, 168, 173, 167, 164, 152, 165, 167, 166. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 2
    2. 160 bis unter 170 cm: 12
    3. 170 bis unter 180 cm: 1
    4. Probe: 2 + 12 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 12, 1
  3. ★6
    20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 63, 99, 103, 111, 48, 109, 113, 46, 71, 39, 84, 57, 64, 81, 106, 91, 39, 132, 138, 118. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 5
    2. 60 bis unter 90 min: 5
    3. 90 bis unter 120 min: 8
    4. 120 bis unter 150 min: 2
    5. Probe: 5 + 5 + 8 + 2 = 20
    Ergebnis:
    5, 5, 8, 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 60 bis 90
  2. Höhe 7
  1. Höchste Säule: über 60 bis 90
  2. Höhe 7
Ergebnis:
60 bis unter 90 min: 7

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    012345670306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 30: 2
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 2
    2. Nur eine Säule: 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 180 cm?
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 180: 4, 9, 3
    2. 4 + 9 + 3 = 16
    Ergebnis:
    16 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    02468101214150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 7, 13
    2. 7 + 13 = 20
    Ergebnis:
    20 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Zeynep schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 24 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Tore012345Anzahl384423
Schritt für Schritt
  1. 24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 11, bis 2: 15
  3. Median: 2
  1. 24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 11, bis 2: 15
  3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 14 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl301406
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 5 (6-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (6-mal)
    2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 3, bis 2: 4, bis 3: 8
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 3
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 26 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl43856
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 7, bis 2: 15
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 38 Antworten.
    Note123456Anzahl617978
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (9-mal)
    2. 38 Werte, Median ist das Mittel aus dem 19. und 20. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 7, bis 3: 14, bis 4: 23
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 24 Antworten).
Note123456Anzahl428442
Schritt für Schritt
  1. 1 · 4 + 2 · 2 + 3 · 8 + 4 · 4 + 5 · 4 + 6 · 2 = 80
  2. Anzahl aller Werte: 24
  3. 80 : 24 ≈ 3,33
  1. 1 · 4 + 2 · 2 + 3 · 8 + 4 · 4 + 5 · 4 + 6 · 2 = 80
  2. Anzahl aller Werte: 24
  3. 80 : 24 ≈ 3,33
Ergebnis:
3,33

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl60787
    So fängst du an:
    0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 7 = 66
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 7 = 66
    2. Anzahl aller Werte: 28
    3. 66 : 28 ≈ 2,36
    Ergebnis:
    2,36
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl081326
    Lösung zeigen
    1. 0 · 0 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 3 + 4 · 2 + 5 · 6 = 57
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 57 : 20 = 2,85
    Ergebnis:
    2,85
  3. ★15
    Von Schulweg kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min210 bis unter 20 min1020 bis unter 30 min730 bis unter 40 min6
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 5, 15, 25, 35
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 545
    3. 545 : 25 = 21,8
    Ergebnis:
    etwa 21,8 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 7, 6, 14, 16, 20, 24. 8b: 12, 20, 22, 24, 22, 23. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 87 : 6 = 14,5
  2. Mittelwert 8b: 123 : 6 = 20,5
  3. Spannweite: 18 gegen 12
  1. Mittelwert 8a: 87 : 6 = 14,5
  2. Mittelwert 8b: 123 : 6 = 20,5
  3. Spannweite: 18 gegen 12
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 303, 323, 348, 305, 394, 403. Gruppe Süd: 357, 363, 350, 352, 380, 361. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2076 : 6 = 346
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2076 : 6 = 346
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2163 : 6 = 360,5
    3. Spannweite: 100 gegen 30
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 386, 325, 401, 304, 317, 408. Gruppe Süd: 326, 414, 289, 295, 352, 381. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2141 : 6 ≈ 356,83
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2057 : 6 ≈ 342,83
    3. Spannweite: 104 gegen 125
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 19, 16, 13, 18, 19, 16, 17. Staffel B: 15, 15, 15, 14, 18, 17, 19, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 133 : 8 ≈ 16,63
    2. Mittelwert Staffel B: 128 : 8 = 16
    3. Spannweite: 6 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 132, 117, 94, 81, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 964 : 5 = 192,8, Median 117
  2. Ohne: Mittelwert 424 : 4 = 106, Median 105,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 964 : 5 = 192,8, Median 117
  2. Ohne: Mittelwert 424 : 4 = 106, Median 105,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 192,8 statt 106; Median 117 statt 105,5

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 5, 4, 7, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 45: Mittelwert 66 : 5 = 13,2, Median 5
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 66 : 5 = 13,2, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 21 : 4 = 5,25, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13,2 statt 5,25; Median 5 statt 5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 37, 27, 25, 22, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 261 : 5 = 52,2, Median 27
    2. Ohne: Mittelwert 111 : 4 = 27,75, Median 26
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 52,2 statt 27,75; Median 27 statt 26
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 8, 6, 5, 8, 4, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 80 : 7 ≈ 11,43, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 35 : 6 ≈ 5,83, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,43 statt 5,83; Median 6 statt 5,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 43 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht39 %43 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 43 − 39 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 39 · 100 ≈ 10,26 %
  1. Unterschied: 43 − 39 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 39 · 100 ≈ 10,26 %
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10,26 % mehr

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 18 % auf 20 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht18 %20 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 20 − 18 = 2 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 20 − 18 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 18 · 100 ≈ 11,11 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 11,11 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 37 % auf 47 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht37 %47 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 47 − 37 = 10 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 10 : 37 · 100 ≈ 27,03 %
    Ergebnis:
    ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 27,03 % mehr
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht67 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 8 von 12 sind 66,67 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●26
    Frage: „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“ Befragt werden 35 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Die Werte (Körpergröße in cm): 172, 185, 164, 169, 163, 169, 169, 160, 166, 159, 167, 182, 152, 166, 165. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 160 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 160
    2. Gezählt: 159, 152
    3. Das sind 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 10 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min110 bis unter 20 min420 bis unter 30 min1330 bis unter 40 min7
    Lösung zeigen
    1. Unter 10: nur die erste Klasse, 1
    2. Anteil: 1 : 25 · 100 = 4
    Ergebnis:
    4 %
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 7, 17, 14, 2 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    024681012141618150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 7, 17, 14, 2 vergleichen
    2. Die Säule 170 bis unter 180 ist 16 hoch
    3. Richtig ist 14
    Ergebnis:
    170 bis unter 180 cm: 14 statt 16
  6. ●30
    Ben schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 28 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl873352
    Lösung zeigen
    1. 28 Werte: Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 15
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Schulweg in min): 18, 19, 15, 25, 17, 35, 22, 6, 20, 26, 26, 29, 17, 26, 21. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 29 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl545627
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 6, Median 4

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 26 Antworten).
    Bücher01234Anzahl82565
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,92

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 324, 342, 370, 315, 296, 313. Gruppe Süd: 382, 412, 406, 334, 362, 377. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 5, 2, 3, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 10,2 statt 4; Median 5 statt 4

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  2. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 2, 5, 5, 2, 1
  5. 2, 12, 1
  6. 5, 5, 8, 2
  7. 2 Werte
  8. 16 Werte
  9. 20 Werte
  10. Modalwert 5, Median 3
  11. Modalwert 2, Median 2
  12. Modalwert 4, Median 4
  13. 2,36
  14. 2,85
  15. etwa 21,8 min
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  19. Mittelwert 13,2 statt 5,25; Median 5 statt 5
  20. Mittelwert 52,2 statt 27,75; Median 27 statt 26
  21. Mittelwert 11,43 statt 5,83; Median 6 statt 5,5
  22. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 11,11 % mehr
  23. ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 27,03 % mehr
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 2 Werte
  28. 4 %
  29. 170 bis unter 180 cm: 14 statt 16
  30. Median 2
  31. Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  32. 5 Werte
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 6, Median 4
  35. 1,92
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  37. Mittelwert 10,2 statt 4; Median 5 statt 4
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 10
  40. Median 10; Spannweite 13