Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte
Das lernst du
- Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
- Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
- Ich zeichne und lese Histogramme.
- Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
- Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
- Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
- Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
- Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
Merksätze
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.
Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.
Selbst abfragen
Tippen dreht um, Wischen blättert.Leertaste dreht um, Pfeiltasten blättern.
So geht es – ein Beispiel je Aufgabenart
Die Schülervertretung fragt: „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
- Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Dauer des Schulwegs in Minuten
- Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis: Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
Zwei Vorschläge für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“: A befragt 15 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. B lost 15 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
- A: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
- B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis: B
Die Werte (Schulweg in min): 24, 28, 21, 19, 23, 22, 18, 17, 20, 28, 25, 9, 20, 20, 33. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
- Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
- Gezählt: 24, 28, 21, 23, 22, 20, 28, 25, 20, 20
- Das sind 10
Ergebnis: 10 Werte
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Wie viele haben mindestens 20 min?
- Klassen ab 20: 13, 5
- 13 + 5 = 18
Ergebnis: 18 Personen
Typische Fehler – so sieht es falsch aus, so richtig
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule
Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte
„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1
Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch
Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.
Wo brauchst du das?
Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.
Weiter lesen und ausprobieren – auf fremden Seiten
- Serlo: Erklärungen und Aufgaben zu „Wahrscheinlichkeit“ (CC BY-SA 4.0 – nur verlinkt)
- PhET-Simulation (University of Colorado Boulder): Galtonbrett: Zufall und Verteilung (CC BY-NC 4.0 – nur verlinkt)
- Statistisches Bundesamt: Echte Zahlen für Diagramme und Mittelwerte (Datenlizenz Deutschland 2.0 – nur verlinkt)
- Deutscher Wetterdienst, offene Daten: Wetterdaten je Station – für Mittelwert, Spannweite, Diagramm (GeoNutzV / Datenlizenz Deutschland – nur verlinkt)
- IQB-Beispielaufgaben: Freigegebene VERA-Aufgaben mit Lösungen und Kompetenzstufen (für den Unterricht freigegeben – nur verlinkt)
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