Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 11, 7, 12, 11, 6. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 9,4
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 2, 3, 19, 15, 11. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 3, 11, 15, 19
2. Median = mittlerer Wert = 11
3. Spannweite = 19 − 2 = 17
Ergebnis:
Median 11; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Jonas will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Ergebnis:

nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
So fängst du an:
Die Antworten sind Kategorien
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●2
Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
★3
Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien.
2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
Ergebnis:
nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 334, 287, 353, 420, 386, 353, 392, 334, 325, 317, 341, 278, 286, 301, 344. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.

Schritt für Schritt

250 bis unter 300 cm: 3
300 bis unter 350 cm: 7
350 bis unter 400 cm: 4
400 bis unter 450 cm: 1
Probe: 3 + 7 + 4 + 1 = 15

250 bis unter 300 cm: 3
300 bis unter 350 cm: 7
350 bis unter 400 cm: 4
400 bis unter 450 cm: 1
Probe: 3 + 7 + 4 + 1 = 15

Ergebnis:

250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Sprungweite in cm): 285, 331, 364, 316, 315, 356, 344, 300, 362, 357, 395, 400, 422, 376, 385. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
2. Gezählt: 364, 356, 362, 357, 395, 376, 385
3. Das sind 7
Ergebnis:
7 Werte
●5
Die Werte (Sprungweite in cm): 325, 356, 333, 359, 353, 391, 378, 332, 263, 335, 422, 317, 322, 395, 416. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
2. Gezählt: 422, 416
3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte
★6
Die Werte (Körpergröße in cm): 172, 151, 165, 184, 176, 170, 161, 168, 168, 166, 172, 184, 161, 170, 160, 172, 163, 160, 178, 166. Wie viele Werte liegen in der Klasse 170 bis unter 180 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 170 und alles bis kurz vor 180
2. Gezählt: 172, 176, 170, 172, 170, 172, 178
3. Das sind 7
Ergebnis:
7 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?

Schritt für Schritt

Säulen links von 400: 1, 6, 9
1 + 6 + 9 = 16

Säulen links von 400: 1, 6, 9
1 + 6 + 9 = 16

Ergebnis:

16 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
So fängst du an:
Säulen links von 170: 1, 10
Lösung zeigen
1. Säulen links von 170: 1, 10
2. 1 + 10 = 11
Ergebnis:
11 Werte
●8
Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
Lösung zeigen
1. Höchste Säule: über 90 bis 120
2. Höhe 10
Ergebnis:
90 bis unter 120 min: 10
★9
Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 40 min?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 40: 2, 10, 6, 10
2. 2 + 10 + 6 + 10 = 28
Ergebnis:
28 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 28 Antworten.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 5 (8-mal)
28 Werte, Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 9, bis 2: 9, bis 3: 16
Median: 3

Häufigster Wert: 5 (8-mal)
28 Werte, Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 9, bis 2: 9, bis 3: 16
Median: 3

Ergebnis:

Modalwert 5, Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Noah schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 24 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
So fängst du an:
24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
Lösung zeigen
1. 24 Werte: Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 6, bis 2: 12, bis 3: 19
3. Median: 2,5
Ergebnis:
Median 2,5
●11
Ben schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
2. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 4, bis 3: 8, bis 4: 12
3. Median: 4
Ergebnis:
Median 4
★12
Aylin schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 36 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 36 Werte: Median ist das Mittel aus dem 18. und 19. Wert
2. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 6, bis 3: 16, bis 4: 27
3. Median: 4
Ergebnis:
Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

0 · 1 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 1 = 20
Anzahl aller Werte: 13
20 : 13 ≈ 1,54

0 · 1 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 1 = 20
Anzahl aller Werte: 13
20 : 13 ≈ 1,54

Ergebnis:

1,54

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 19 Antworten).
So fängst du an:
0 · 3 + 1 · 1 + 2 · 8 + 3 · 0 + 4 · 7 = 45
Lösung zeigen
1. 0 · 3 + 1 · 1 + 2 · 8 + 3 · 0 + 4 · 7 = 45
2. Anzahl aller Werte: 19
3. 45 : 19 ≈ 2,37
Ergebnis:
2,37
●14
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 5 + 1 · 6 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 5 = 45
2. Anzahl aller Werte: 25
3. 45 : 25 = 1,8
Ergebnis:
1,8
★15
Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 15, 45, 75, 105, 135, 165
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2475
3. 2475 : 25 = 99
Ergebnis:
etwa 99 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 23, 21, 11, 20, 21, 19. 8b: 16, 20, 24, 5, 9, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.

Schritt für Schritt

Mittelwert 8a: 115 : 6 ≈ 19,17
Mittelwert 8b: 93 : 6 = 15,5
Spannweite: 12 gegen 19

Mittelwert 8a: 115 : 6 ≈ 19,17
Mittelwert 8b: 93 : 6 = 15,5
Spannweite: 12 gegen 19

Ergebnis:

im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 414, 352, 307, 393, 359, 373. Gruppe Süd: 341, 418, 386, 413, 304, 330. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Gruppe Nord: 2198 : 6 ≈ 366,33
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2198 : 6 ≈ 366,33
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2192 : 6 ≈ 365,33
3. Spannweite: 107 gegen 114
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
●17
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 415, 346, 350, 313, 372, 417. Gruppe Süd: 414, 376, 300, 281, 327, 359. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2213 : 6 ≈ 368,83
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2057 : 6 ≈ 342,83
3. Spannweite: 104 gegen 133
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
★18
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 398, 373, 341, 352, 311, 341, 334, 333. Gruppe Süd: 387, 382, 369, 316, 281, 302, 326, 409. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2783 : 8 ≈ 347,88
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2772 : 8 = 346,5
3. Spannweite: 87 gegen 128
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 2, 7, 2, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?

Schritt für Schritt

Mit 35: Mittelwert 53 : 5 = 10,6, Median 7
Ohne: Mittelwert 18 : 4 = 4,5, Median 4,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 35: Mittelwert 53 : 5 = 10,6, Median 7
Ohne: Mittelwert 18 : 4 = 4,5, Median 4,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 10,6 statt 4,5; Median 7 statt 4,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Taschengeld im Monat in Euro: 17, 25, 30, 31, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 250: Mittelwert 353 : 5 = 70,6, Median 30
Lösung zeigen
1. Mit 250: Mittelwert 353 : 5 = 70,6, Median 30
2. Ohne: Mittelwert 103 : 4 = 25,75, Median 27,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 70,6 statt 25,75; Median 30 statt 27,5
●20
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 3, 3, 5, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 35: Mittelwert 50 : 5 = 10, Median 4
2. Ohne: Mittelwert 15 : 4 = 3,75, Median 3,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10 statt 3,75; Median 4 statt 3,5
★21
Taschengeld im Monat in Euro: 19, 29, 34, 29, 31, 33, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 325 : 7 ≈ 46,43, Median 31
2. Ohne: Mittelwert 175 : 6 ≈ 29,17, Median 30
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 46,43 statt 29,17; Median 31 statt 30

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 52 %, Chat-App 60 %, Spiele 37 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?

Schritt für Schritt

52 + 60 + 37 = 149
Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
Dann ist eine Summe über 100 % möglich

52 + 60 + 37 = 149
Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
Dann ist eine Summe über 100 % möglich

Ergebnis:

nicht falsch: Mehrfachnennungen

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „65 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
13 von 20 sind 65 %
Lösung zeigen
1. 13 von 20 sind 65 %
2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 52 %, Chat-App 42 %, Spiele 30 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 52 + 42 + 30 = 124
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen
★24
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 45 %, Chat-App 42 %, Spiele 21 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 45 + 42 + 21 = 108
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Emre befragt für die Frage „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“ aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste – insgesamt 45 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
Lösung zeigen
1. Kein Problem: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
Ergebnis:
kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
●26
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 355, 431, 364, 411, 399, 351, 357, 339, 281, 392, 405, 365, 271, 386, 411. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 2
2. 300 bis unter 350 cm: 1
3. 350 bis unter 400 cm: 8
4. 400 bis unter 450 cm: 4
5. Probe: 2 + 1 + 8 + 4 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 1; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 4
●27
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Wie viele haben mindestens 20 min?
Lösung zeigen
1. Klassen ab 20: 9, 4
2. 9 + 4 = 13
Ergebnis:
13 Personen
●28
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 1, 7, 9, 2, 1
2. Summe: 1 + 7 + 9 + 2 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●29
Mira zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Mira für die Klassen von 250 bis 450 cm?
Lösung zeigen
1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
2. (450 − 250) : 50 = 4
Ergebnis:
ohne Lücken, 4 Säulen
●30
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 6 (8-mal)
2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 0, bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 11
4. Median: 4
Ergebnis:
Modalwert 6, Median 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 168, 168, 169, 162, 167, 158, 167, 172, 171, 168, 161, 170, 156, 168, 168. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 15 Antworten.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 0
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,08
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Punkte im Test. 8a: 5, 22, 6, 6, 7, 18. 8b: 11, 19, 8, 21, 21, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Taschengeld im Monat in Euro: 22, 26, 18, 23, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 57,8 statt 22,25; Median 23 statt 22,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 25 % auf 29 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 16 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
nur den häufigsten Wert
7 Werte
2 Werte
7 Werte
11 Werte
90 bis unter 120 min: 10
28 Werte
Median 2,5
Median 4
Median 4
2,37
1,8
etwa 99 min
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
Mittelwert 70,6 statt 25,75; Median 30 statt 27,5
Mittelwert 10 statt 3,75; Median 4 statt 3,5
Mittelwert 46,43 statt 29,17; Median 31 statt 30
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nicht falsch: Mehrfachnennungen
kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 1; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 4
13 Personen
20 Personen
ohne Lücken, 4 Säulen
Modalwert 6, Median 4
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3
4 Werte
Modalwert 0, Median 0
3,08
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
Mittelwert 57,8 statt 22,25; Median 23 statt 22,5
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 16 % mehr
x̄ = 9,4
Median 11; Spannweite 17