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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 14, 4, 11, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 6,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 2, 18, 16, 14. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 14, 16, 16, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Tim will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
  2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
  2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
Ergebnis:
nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Aylin will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
    Lösung zeigen
    1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
    2. Besser: Wunschgericht
    Ergebnis:
    nein, besser: Wunschgericht
  2. ●2
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen.
    2. Zahlen kann man ordnen: Median und Spannweite gehen.
    3. Zahlen kann man addieren: auch der Mittelwert geht.
    Ergebnis:
    alle: Mittelwert, Median, Spannweite, häufigster Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 157, 167, 167, 175, 178, 165, 174, 164, 161, 173, 157, 157, 171, 166, 165. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
Schritt für Schritt
  1. 150 bis unter 160 cm: 3
  2. 160 bis unter 170 cm: 7
  3. 170 bis unter 180 cm: 5
  4. Probe: 3 + 7 + 5 = 15
  1. 150 bis unter 160 cm: 3
  2. 160 bis unter 170 cm: 7
  3. 170 bis unter 180 cm: 5
  4. Probe: 3 + 7 + 5 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 7; 170 bis unter 180: 5

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 90, 113, 142, 110, 69, 150, 37, 133, 102, 112, 31, 72, 67, 136, 95. Wie viele Werte liegen in der Klasse 60 bis unter 90 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 60 und alles bis kurz vor 90
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 60 und alles bis kurz vor 90
    2. Gezählt: 69, 72, 67
    3. Das sind 3
    Ergebnis:
    3 Werte
  2. ●5
    15 Werte (Schulweg in min): 13, 27, 16, 20, 41, 22, 25, 22, 32, 32, 16, 25, 26, 25, 42. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 3
    2. 20 bis unter 30 min: 8
    3. 30 bis unter 40 min: 2
    4. 40 bis unter 50 min: 2
    5. Probe: 3 + 8 + 2 + 2 = 15
    Ergebnis:
    3, 8, 2, 2
  3. ★6
    20 Werte (Körpergröße in cm): 171, 158, 171, 184, 157, 178, 168, 173, 175, 170, 169, 177, 163, 167, 167, 169, 173, 166, 161, 164. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 2
    2. 160 bis unter 170 cm: 9
    3. 170 bis unter 180 cm: 8
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 2 + 9 + 8 + 1 = 20
    Ergebnis:
    2, 9, 8, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 8, 6, 3
  2. Summe: 3 + 8 + 6 + 3 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 8, 6, 3
  2. Summe: 3 + 8 + 6 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 400: 3, 7, 4
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 3, 7, 4
    2. 3 + 7 + 4 = 14
    Ergebnis:
    14 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    01234567891001020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 1, 6, 9
    2. 1 + 6 + 9 = 16
    Ergebnis:
    16 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
    0246810121416010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 10: 3
    2. Nur eine Säule: 3
    Ergebnis:
    3 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 17 Antworten.
Anzahl01234Anzahl64520
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 0 (6-mal)
  2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 10
  4. Median: 1
  1. Häufigster Wert: 0 (6-mal)
  2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 10
  4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 1

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 16 Antworten.
    Tore012345Anzahl081421
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 1 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
    2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 8, bis 2: 9
    4. Median: 1,5
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 1,5
  2. ●11
    Mila schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl228450
    Lösung zeigen
    1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 4, bis 2: 12
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 41 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl6647810
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 6 (10-mal)
    2. 41 Werte, Median ist der 21. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 12, bis 3: 16, bis 4: 23
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 6, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 31 Antworten).
Tore012345Anzahl864274
Schritt für Schritt
  1. 0 · 8 + 1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 2 + 4 · 7 + 5 · 4 = 68
  2. Anzahl aller Werte: 31
  3. 68 : 31 ≈ 2,19
  1. 0 · 8 + 1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 2 + 4 · 7 + 5 · 4 = 68
  2. Anzahl aller Werte: 31
  3. 68 : 31 ≈ 2,19
Ergebnis:
2,19

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 31 Antworten).
    Note123456Anzahl644674
    So fängst du an:
    1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 + 5 · 7 + 6 · 4 = 109
    Lösung zeigen
    1. 1 · 6 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 + 5 · 7 + 6 · 4 = 109
    2. Anzahl aller Werte: 31
    3. 109 : 31 ≈ 3,52
    Ergebnis:
    3,52
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 21 Antworten).
    Bücher01234Anzahl47631
    Lösung zeigen
    1. 0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 3 + 4 · 1 = 32
    2. Anzahl aller Werte: 21
    3. 32 : 21 ≈ 1,52
    Ergebnis:
    1,52
  3. ★15
    Von Sprungweite kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm2300 bis unter 350 cm10350 bis unter 400 cm11400 bis unter 450 cm2
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 275, 325, 375, 425
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 8775
    3. 8775 : 25 = 351
    Ergebnis:
    etwa 351 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 6, 20, 18, 22, 8, 24. 8b: 20, 20, 16, 14, 22, 5. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 98 : 6 ≈ 16,33
  2. Mittelwert 8b: 97 : 6 ≈ 16,17
  3. Spannweite: 18 gegen 17
  1. Mittelwert 8a: 98 : 6 ≈ 16,33
  2. Mittelwert 8b: 97 : 6 ≈ 16,17
  3. Spannweite: 18 gegen 17
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 307, 284, 353, 404, 321, 298. Gruppe Süd: 336, 378, 382, 295, 312, 380. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 1967 : 6 ≈ 327,83
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 1967 : 6 ≈ 327,83
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2083 : 6 ≈ 347,17
    3. Spannweite: 120 gegen 87
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 15, 17, 13, 19, 13. Staffel B: 17, 17, 15, 16, 19, 16. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 94 : 6 ≈ 15,67
    2. Mittelwert Staffel B: 100 : 6 ≈ 16,67
    3. Spannweite: 6 gegen 4
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 16, 17, 16, 15, 17, 15, 13. Staffel B: 13, 19, 18, 14, 17, 18, 13, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 122 : 8 = 15,25
    2. Mittelwert Staffel B: 127 : 8 ≈ 15,88
    3. Spannweite: 4 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 138, 106, 106, 100, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 930 : 5 = 186, Median 106
  2. Ohne: Mittelwert 450 : 4 = 112,5, Median 106
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 930 : 5 = 186, Median 106
  2. Ohne: Mittelwert 450 : 4 = 112,5, Median 106
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 186 statt 112,5; Median 106 statt 106

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 6, 6, 2, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 35: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 6
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 17 : 4 = 4,25, Median 4,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 10,4 statt 4,25; Median 6 statt 4,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 31, 20, 34, 17, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 252 : 5 = 50,4, Median 31
    2. Ohne: Mittelwert 102 : 4 = 25,5, Median 25,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 50,4 statt 25,5; Median 31 statt 25,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 40, 15, 27, 31, 18, 18, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 349 : 7 ≈ 49,86, Median 27
    2. Ohne: Mittelwert 149 : 6 ≈ 24,83, Median 22,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 49,86 statt 24,83; Median 27 statt 22,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    So fängst du an:
    Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 17 % auf 21 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht17 %21 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 21 − 17 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 17 · 100 ≈ 23,53 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 23,53 % mehr
  3. ★24
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 66 %, Chat-App 51 %, Spiele 44 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht66 %51 %44 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 66 + 51 + 44 = 161
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“: A befragt 25 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. B lost 25 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht25 Personen25 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Die Werte (Körpergröße in cm): 163, 167, 162, 177, 178, 168, 182, 164, 173, 180, 155, 169, 171, 166, 173. Wie viele Werte liegen in der Klasse 160 bis unter 170 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 160 und alles bis kurz vor 170
    2. Gezählt: 163, 167, 162, 168, 164, 169, 166
    3. Das sind 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Welcher Anteil liegt unter 170 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm2160 bis unter 170 cm12170 bis unter 180 cm9180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Unter 170: 2 + 12 = 14
    2. Anteil: 14 : 25 · 100 = 56
    Ergebnis:
    56 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 20 min?
    01234567891011010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 20: 1, 3
    2. 1 + 3 = 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  6. ●30
    Noah zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Noah für die Klassen von 250 bis 450 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (450 − 250) : 50 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Verkehrsmittel, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Schulweg in min): 29, 27, 29, 29, 32, 20, 19, 33, 19, 22, 21, 11, 20, 25, 10. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4, 9, 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567891001020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Mira schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 16 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl325024
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 17 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl02654
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,65

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 323, 338, 286, 318, 326, 378. Gruppe Süd: 377, 346, 321, 387, 349, 420. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 108, 64, 90, 116, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 171,6 statt 94,5; Median 108 statt 99

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „88 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht88 Prozent8 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Wunschgericht
  2. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. alle: Mittelwert, Median, Spannweite, häufigster Wert
  4. 3 Werte
  5. 3, 8, 2, 2
  6. 2, 9, 8, 1
  7. 14 Werte
  8. 16 Werte
  9. 3 Werte
  10. Modalwert 1, Median 1,5
  11. Median 2
  12. Modalwert 6, Median 4
  13. 3,52
  14. 1,52
  15. etwa 351 cm
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 10,4 statt 4,25; Median 6 statt 4,5
  20. Mittelwert 50,4 statt 25,5; Median 31 statt 25,5
  21. Mittelwert 49,86 statt 24,83; Median 27 statt 22,5
  22. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  23. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 23,53 % mehr
  24. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  25. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  26. B
  27. 7 Werte
  28. 56 %
  29. 4 Werte
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. Verkehrsmittel, Kategorien
  32. 4, 9, 2
  33. 20 Personen
  34. Median 3
  35. 2,65
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  37. Mittelwert 171,6 statt 94,5; Median 108 statt 99
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 6,4
  40. Median 16; Spannweite 16