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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 13, 5, 14, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 20, 10, 8, 11, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 10, 11, 12, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 20 − 8 = 12
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Ben will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 171, 154, 170, 151, 178, 165, 159, 169, 172, 160, 157, 153, 176, 160, 173. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
Schritt für Schritt
  1. 150 bis unter 160 cm: 5
  2. 160 bis unter 170 cm: 4
  3. 170 bis unter 180 cm: 6
  4. Probe: 5 + 4 + 6 = 15
  1. 150 bis unter 160 cm: 5
  2. 160 bis unter 170 cm: 4
  3. 170 bis unter 180 cm: 6
  4. Probe: 5 + 4 + 6 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 4; 170 bis unter 180: 6

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Schulweg in min): 36, 25, 16, 23, 20, 24, 32, 21, 9, 13, 33, 25, 16, 36, 12. Wie viele Werte liegen in der Klasse 0 bis unter 10 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
    2. Gezählt: 9
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  2. ●5
    Die Werte (Schulweg in min): 23, 23, 22, 14, 28, 23, 12, 23, 27, 37, 25, 31, 13, 26, 22. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 10 und alles bis kurz vor 20
    2. Gezählt: 14, 12, 13
    3. Das sind 3
    Ergebnis:
    3 Werte
  3. ★6
    Schulweg von 20 Kindern der 8b in min: 35, 11, 34, 18, 21, 16, 30, 9, 14, 29, 20, 27, 16, 8, 8, 18, 21, 26, 30, 11. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 3
    2. 10 bis unter 20 min: 7
    3. 20 bis unter 30 min: 6
    4. 30 bis unter 40 min: 4
    5. Probe: 3 + 7 + 6 + 4 = 20
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 3; 10 bis unter 20: 7; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 4

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
02468101214150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 170: 2, 14
  2. 2 + 14 = 16
  1. Säulen links von 170: 2, 14
  2. 2 + 14 = 16
Ergebnis:
16 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 5, 9, 4, 2
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 5, 9, 4, 2
    2. Summe: 5 + 9 + 4 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 9, 8, 3
    2. Summe: 9 + 8 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 150 min?
    02468101214306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 150: 3, 6, 13, 7
    2. 3 + 6 + 13 + 7 = 29
    Ergebnis:
    29 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Noah schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 19 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Bücher01234Anzahl33517
Schritt für Schritt
  1. 19 Werte: Median ist der 10. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 11
  3. Median: 2
  1. 19 Werte: Median ist der 10. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 11
  3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 24 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl11877
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 2, bis 2: 10, bis 3: 17
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 3
  2. ●11
    Tim schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 26 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl67508
    Lösung zeigen
    1. 26 Werte: Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 13, bis 2: 18
    3. Median: 1,5
    Ergebnis:
    Median 1,5
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 31 Antworten.
    Tore012345Anzahl1117183
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (11-mal)
    2. 31 Werte, Median ist der 16. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 12, bis 2: 19
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 32 Antworten).
Tore012345Anzahl778613
Schritt für Schritt
  1. 0 · 7 + 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 6 + 4 · 1 + 5 · 3 = 60
  2. Anzahl aller Werte: 32
  3. 60 : 32 ≈ 1,88
  1. 0 · 7 + 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 6 + 4 · 1 + 5 · 3 = 60
  2. Anzahl aller Werte: 32
  3. 60 : 32 ≈ 1,88
Ergebnis:
1,88

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl86361
    So fängst du an:
    0 · 8 + 1 · 6 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 1 = 34
    Lösung zeigen
    1. 0 · 8 + 1 · 6 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 1 = 34
    2. Anzahl aller Werte: 24
    3. 34 : 24 ≈ 1,42
    Ergebnis:
    1,42
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 17 Antworten).
    Bücher01234Anzahl14057
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 5 + 4 · 7 = 47
    2. Anzahl aller Werte: 17
    3. 47 : 17 ≈ 2,76
    Ergebnis:
    2,76
  3. ★15
    Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min460 bis unter 90 min590 bis unter 120 min9120 bis unter 150 min5150 bis unter 180 min2
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 45, 75, 105, 135, 165
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2505
    3. 2505 : 25 = 100,2
    Ergebnis:
    etwa 100,2 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 350, 403, 327, 316, 411, 413. Gruppe Süd: 329, 375, 280, 348, 338, 338. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2220 : 6 = 370
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2008 : 6 ≈ 334,67
  3. Spannweite: 97 gegen 95
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2220 : 6 = 370
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2008 : 6 ≈ 334,67
  3. Spannweite: 97 gegen 95
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 19, 11, 8, 6, 10, 9. 8b: 17, 16, 7, 6, 9, 21. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 63 : 6 = 10,5
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 63 : 6 = 10,5
    2. Mittelwert 8b: 76 : 6 ≈ 12,67
    3. Spannweite: 13 gegen 15
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 328, 376, 334, 340, 319, 352. Gruppe Süd: 307, 356, 388, 358, 306, 401. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2049 : 6 = 341,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2116 : 6 ≈ 352,67
    3. Spannweite: 57 gegen 95
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 15, 16, 13, 15, 16, 14, 19. Staffel B: 17, 18, 15, 13, 15, 17, 15, 16. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 121 : 8 ≈ 15,13
    2. Mittelwert Staffel B: 126 : 8 = 15,75
    3. Spannweite: 6 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 17, 24, 27, 40, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
Schritt für Schritt
  1. Mit 250: Mittelwert 358 : 5 = 71,6, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 25,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 250: Mittelwert 358 : 5 = 71,6, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 25,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 71,6 statt 27; Median 27 statt 25,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 25, 34, 38, 37, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    So fängst du an:
    Mit 200: Mittelwert 334 : 5 = 66,8, Median 37
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 334 : 5 = 66,8, Median 37
    2. Ohne: Mittelwert 134 : 4 = 33,5, Median 35,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 66,8 statt 33,5; Median 37 statt 35,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 74, 90, 86, 62, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 912 : 5 = 182,4, Median 86
    2. Ohne: Mittelwert 312 : 4 = 78, Median 80
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 182,4 statt 78; Median 86 statt 80
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 23, 26, 31, 21, 40, 25, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 316 : 7 ≈ 45,14, Median 26
    2. Ohne: Mittelwert 166 : 6 ≈ 27,67, Median 25,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 45,14 statt 27,67; Median 26 statt 25,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 17 % auf 22 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht17 %22 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 22 − 17 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 17 · 100 ≈ 29,41 %
  1. Unterschied: 22 − 17 = 5 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 5 : 17 · 100 ≈ 29,41 %
Ergebnis:
ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 29,41 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 38 % auf 44 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht38 %44 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 44 − 38 = 6 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 44 − 38 = 6 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 6 : 38 · 100 ≈ 15,79 %
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 15,79 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 43 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht39 %43 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 43 − 39 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 39 · 100 ≈ 10,26 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10,26 % mehr
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „90 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht90 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 18 von 20 sind 90 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lea will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“: A befragt 45 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. B lost 45 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht45 Personen45 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 91, 63, 69, 150, 80, 111, 85, 77, 38, 81, 135, 61, 57, 95, 105. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 7
    3. 90 bis unter 120 min: 4
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 2 + 7 + 4 + 1 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 7, 4, 1, 1
  4. ●28
    In der Tabelle (Körpergröße) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm9160 bis unter 170 cm10170 bis unter 180 cm6
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 9 + 10 + 6 = 25
    2. Größte Anzahl: 10
    Ergebnis:
    25; 160 bis unter 170 cm
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 3, 10, 4
    2. 3 + 10 + 4 = 17
    Ergebnis:
    17 Werte
  6. ●30
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 4, 10, 4, 2 für die Klassen ab 250 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 4, 10, 4, 2 vergleichen
    2. Die Säule 250 bis unter 300 ist 6 hoch
    3. Richtig ist 4
    Ergebnis:
    250 bis unter 300 cm: 4 statt 6

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Mila will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Körpergröße in cm): 183, 174, 161, 164, 160, 178, 155, 175, 168, 167, 159, 165, 152, 172, 154. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4, 6, 4, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    150 bis unter 160 cm: 8

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 21 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl14655
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 27 Antworten).
    Bücher01234Anzahl54675
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,11

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 14, 13, 13, 19, 19. Staffel B: 18, 19, 16, 18, 17, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 30, 15, 40, 26, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 72,2 statt 27,75; Median 30 statt 28

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 68 %, Chat-App 36 %, Spiele 35 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht68 %36 %35 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  4. 1 Werte
  5. 3 Werte
  6. 0 bis unter 10: 3; 10 bis unter 20: 7; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 4
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 29 Werte
  10. Modalwert 2, Median 3
  11. Median 1,5
  12. Modalwert 1, Median 2
  13. 1,42
  14. 2,76
  15. etwa 100,2 min
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  19. Mittelwert 66,8 statt 33,5; Median 37 statt 35,5
  20. Mittelwert 182,4 statt 78; Median 86 statt 80
  21. Mittelwert 45,14 statt 27,67; Median 26 statt 25,5
  22. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 15,79 % mehr
  23. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10,26 % mehr
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  26. B
  27. 2, 7, 4, 1, 1
  28. 25; 160 bis unter 170 cm
  29. 17 Werte
  30. 250 bis unter 300 cm: 4 statt 6
  31. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  32. 4, 6, 4, 1
  33. 150 bis unter 160 cm: 8
  34. Modalwert 2, Median 2
  35. 2,11
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 72,2 statt 27,75; Median 30 statt 28
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 8
  40. Median 11; Spannweite 12