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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 7, 6, 6, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,2
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 18, 11, 8, 17. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 8, 11, 17, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 18 − 7 = 11
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingssportart, Kategorien
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Mila will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
    2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    Ergebnis:
    nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 33, 7, 17, 26, 18, 19, 11, 21, 37, 20, 14, 28, 31, 19, 18. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
Schritt für Schritt
  1. 0 bis unter 10 min: 1
  2. 10 bis unter 20 min: 7
  3. 20 bis unter 30 min: 4
  4. 30 bis unter 40 min: 3
  5. Probe: 1 + 7 + 4 + 3 = 15
  1. 0 bis unter 10 min: 1
  2. 10 bis unter 20 min: 7
  3. 20 bis unter 30 min: 4
  4. 30 bis unter 40 min: 3
  5. Probe: 1 + 7 + 4 + 3 = 15
Ergebnis:
1, 7, 4, 3

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 347, 353, 313, 302, 420, 334, 344, 355, 411, 346, 372, 335, 368, 325, 279. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    So fängst du an:
    250 bis unter 300 cm: 1
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 1
    2. 300 bis unter 350 cm: 8
    3. 350 bis unter 400 cm: 4
    4. 400 bis unter 450 cm: 2
    5. Probe: 1 + 8 + 4 + 2 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 8; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 2
  2. ●5
    15 Werte (Sprungweite in cm): 315, 308, 424, 344, 363, 263, 321, 385, 387, 351, 348, 367, 348, 381, 343. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 1
    2. 300 bis unter 350 cm: 7
    3. 350 bis unter 400 cm: 6
    4. 400 bis unter 450 cm: 1
    5. Probe: 1 + 7 + 6 + 1 = 15
    Ergebnis:
    1, 7, 6, 1
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 146, 89, 127, 51, 75, 121, 60, 150, 53, 56, 84, 89, 91, 107, 96, 58, 88, 51, 38, 128. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 6
    2. 60 bis unter 90 min: 6
    3. 90 bis unter 120 min: 3
    4. 120 bis unter 150 min: 4
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 6 + 6 + 3 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 6; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
0123456789150160170180Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 8
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 8
Ergebnis:
160 bis unter 170 cm: 8

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 4, 11, 5
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 11, 5
    2. Summe: 4 + 11 + 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    0123456789101112300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 11, 6
    2. 11 + 6 = 17
    Ergebnis:
    17 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    012345678910110306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 90: 1, 4, 10
    2. 1 + 4 + 10 = 15
    Ergebnis:
    15 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 16 Antworten.
Anzahl01234Anzahl34270
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 3 (7-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 7, bis 2: 9
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 3 (7-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 7, bis 2: 9
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 15 Antworten.
    Bücher01234Anzahl47112
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 1 (7-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
    2. 15 Werte, Median ist der 8. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 11
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 1
  2. ●11
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 19 Antworten.
    Bücher01234Anzahl14743
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (7-mal)
    2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 5, bis 2: 12
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 18 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl65313
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (6-mal)
    2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 11
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 27 Antworten).
Note123456Anzahl246843
Schritt für Schritt
  1. 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 4 + 6 · 3 = 98
  2. Anzahl aller Werte: 27
  3. 98 : 27 ≈ 3,63
  1. 1 · 2 + 2 · 4 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 4 + 6 · 3 = 98
  2. Anzahl aller Werte: 27
  3. 98 : 27 ≈ 3,63
Ergebnis:
3,63

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl343607
    So fängst du an:
    0 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 0 + 5 · 7 = 63
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 4 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 0 + 5 · 7 = 63
    2. Anzahl aller Werte: 23
    3. 63 : 23 ≈ 2,74
    Ergebnis:
    2,74
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl27621
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 2 + 4 · 1 = 29
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 29 : 18 ≈ 1,61
    Ergebnis:
    1,61
  3. ★15
    Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm1160 bis unter 170 cm11170 bis unter 180 cm12180 bis unter 190 cm1
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 155, 165, 175, 185
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4255
    3. 4255 : 25 = 170,2
    Ergebnis:
    etwa 170,2 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 7, 12, 16, 16, 23, 10. 8b: 6, 23, 11, 5, 21, 21. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
  2. Mittelwert 8b: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 16 gegen 18
  1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
  2. Mittelwert 8b: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 16 gegen 18
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 13, 17, 16, 18, 14. Staffel B: 17, 17, 17, 14, 14, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
    2. Mittelwert Staffel B: 93 : 6 = 15,5
    3. Spannweite: 5 gegen 3
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 24, 9, 15, 6, 14, 13. 8b: 20, 5, 4, 5, 10, 20. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 81 : 6 = 13,5
    2. Mittelwert 8b: 64 : 6 ≈ 10,67
    3. Spannweite: 18 gegen 16
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 410, 406, 416, 308, 405, 369, 347, 367. Gruppe Süd: 402, 349, 385, 364, 340, 365, 320, 372. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 3028 : 8 = 378,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2897 : 8 ≈ 362,13
    3. Spannweite: 108 gegen 82
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 128, 67, 93, 68, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 836 : 5 = 167,2, Median 93
  2. Ohne: Mittelwert 356 : 4 = 89, Median 80,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 836 : 5 = 167,2, Median 93
  2. Ohne: Mittelwert 356 : 4 = 89, Median 80,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 167,2 statt 89; Median 93 statt 80,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 68, 120, 91, 99, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    So fängst du an:
    Mit 480: Mittelwert 858 : 5 = 171,6, Median 99
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 858 : 5 = 171,6, Median 99
    2. Ohne: Mittelwert 378 : 4 = 94,5, Median 95
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 171,6 statt 94,5; Median 99 statt 95
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 16, 40, 20, 34, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 260 : 5 = 52, Median 34
    2. Ohne: Mittelwert 110 : 4 = 27,5, Median 27
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 52 statt 27,5; Median 34 statt 27
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 3, 9, 4, 6, 3, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 69 : 7 ≈ 9,86, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 34 : 6 ≈ 5,67, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 9,86 statt 5,67; Median 6 statt 5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „95 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht95 Prozent20 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 19 von 20 sind 95 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 19 von 20 sind 95 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „65 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht65 Prozent20 Kinder?
    So fängst du an:
    13 von 20 sind 65 %
    Lösung zeigen
    1. 13 von 20 sind 65 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht60 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 6 von 10 sind 60 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●26
    Emre befragt für die Frage „Wie viele Kinder unserer Schule haben ein Haustier?“ alle Kinder, deren Nachname mit A bis C beginnt – insgesamt 25 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Kein Problem: der Anfangsbuchstabe hängt nicht mit Haustieren zusammen
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  3. ●27
    15 Werte (Körpergröße in cm): 170, 174, 166, 154, 161, 167, 172, 169, 151, 173, 166, 180, 154, 174, 177. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 5
    3. 170 bis unter 180 cm: 6
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 3 + 5 + 6 + 1 = 15
    Ergebnis:
    3, 5, 6, 1
  4. ●28
    In der Tabelle (Sprungweite) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm4300 bis unter 350 cm11350 bis unter 400 cm6400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 4 + 11 + 6 + 4 = 25
    2. Größte Anzahl: 11
    Ergebnis:
    25; 300 bis unter 350 cm
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567891001020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 5, 9, 4, 1
    2. Summe: 1 + 5 + 9 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  6. ●30
    Lukas zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Lukas für die Klassen von 250 bis 400 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (400 − 250) : 50 = 3
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 3 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Aylin will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Schulweg in min): 14, 24, 32, 10, 24, 27, 20, 40, 22, 14, 17, 31, 26, 11, 22. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5, 7, 2, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456786090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 28 Antworten.
    Tore012345Anzahl716266
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 2,5

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl414454
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,77

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 16, 16, 14, 7, 5, 8. 8b: 12, 20, 18, 5, 21, 7. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 72, 120, 89, 124, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 177 statt 101,25; Median 120 statt 104,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „73 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht73 Prozent15 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Lieblingssportart, Kategorien
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  4. 250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 8; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 2
  5. 1, 7, 6, 1
  6. 30 bis unter 60: 6; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 1
  7. 20 Personen
  8. 17 Werte
  9. 15 Werte
  10. Modalwert 1, Median 1
  11. Modalwert 2, Median 2
  12. Modalwert 0, Median 1
  13. 2,74
  14. 1,61
  15. etwa 170,2 cm
  16. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  17. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 171,6 statt 94,5; Median 99 statt 95
  20. Mittelwert 52 statt 27,5; Median 34 statt 27
  21. Mittelwert 9,86 statt 5,67; Median 6 statt 5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. ja, die Antworten sind Zahlen
  26. kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  27. 3, 5, 6, 1
  28. 25; 300 bis unter 350 cm
  29. 20 Personen
  30. ohne Lücken, 3 Säulen
  31. nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  32. 5, 7, 2, 1
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 0, Median 2,5
  35. 3,77
  36. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  37. Mittelwert 177 statt 101,25; Median 120 statt 104,5
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 7,2
  40. Median 11; Spannweite 11