Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 4, 2, 14, 10, 14. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 8,8
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 8, 13, 11, 9. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 8, 9, 11, 13, 16
2. Median = mittlerer Wert = 11
3. Spannweite = 16 − 8 = 8
Ergebnis:
Median 11; Spannweite 8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?

Schritt für Schritt

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen

Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen

Ergebnis:

Schlafdauer in Stunden, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Mira will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
So fängst du an:
Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
Lösung zeigen
1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
Ergebnis:
nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
●2
Mila will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
2. Besser: Wunschgericht
Ergebnis:
nein, besser: Wunschgericht
★3
Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 63, 81, 122, 107, 80, 163, 120, 65, 143, 99, 89, 174, 100, 91, 138. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.

Schritt für Schritt

60 bis unter 90 min: 5
90 bis unter 120 min: 4
120 bis unter 150 min: 4
150 bis unter 180 min: 2
Probe: 5 + 4 + 4 + 2 = 15

60 bis unter 90 min: 5
90 bis unter 120 min: 4
120 bis unter 150 min: 4
150 bis unter 180 min: 2
Probe: 5 + 4 + 4 + 2 = 15

Ergebnis:

5, 4, 4, 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Schulweg in min): 29, 29, 23, 30, 16, 18, 18, 28, 19, 28, 27, 37, 27, 26, 41. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 40 min? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
2. Gezählt: 30, 37
3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte
●5
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 335, 363, 354, 316, 337, 330, 366, 362, 368, 340, 429, 348, 400, 426, 322. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 300. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 300 bis unter 350 cm: 7
2. 350 bis unter 400 cm: 5
3. 400 bis unter 450 cm: 3
4. Probe: 7 + 5 + 3 = 15
Ergebnis:
300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 3
★6
20 Werte (Sprungweite in cm): 267, 385, 380, 403, 294, 424, 384, 361, 393, 316, 321, 376, 368, 309, 328, 440, 397, 347, 364, 380. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 2
2. 300 bis unter 350 cm: 5
3. 350 bis unter 400 cm: 10
4. 400 bis unter 450 cm: 3
5. Probe: 2 + 5 + 10 + 3 = 20
Ergebnis:
2, 5, 10, 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Höchste Säule: über 170 bis 180
Höhe 9

Höchste Säule: über 170 bis 180
Höhe 9

Ergebnis:

170 bis unter 180 cm: 9

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
So fängst du an:
Säulen links von 30: 1
Lösung zeigen
1. Säulen links von 30: 1
2. Nur eine Säule: 1
Ergebnis:
1 Werte
●8
Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 400: 3, 7, 9
2. 3 + 7 + 9 = 19
Ergebnis:
19 Werte
★9
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 4, 10, 13, 3
2. Summe: 4 + 10 + 13 + 3 = 30
Ergebnis:
30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 14 Antworten.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 1 (7-mal)
14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 7, bis 2: 10
Median: 1,5

Häufigster Wert: 1 (7-mal)
14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 7, bis 2: 10
Median: 1,5

Ergebnis:

Modalwert 1, Median 1,5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 13 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 3 (6-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
2. 13 Werte, Median ist der 7. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 7
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 2
●11
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 19 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 14
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
★12
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 23 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 5, bis 2: 13
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 27 Antworten).

Schritt für Schritt

0 · 5 + 1 · 8 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 = 52
Anzahl aller Werte: 27
52 : 27 ≈ 1,93

0 · 5 + 1 · 8 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 = 52
Anzahl aller Werte: 27
52 : 27 ≈ 1,93

Ergebnis:

1,93

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 23 Antworten).
So fängst du an:
1 · 4 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 1 + 6 · 8 = 88
Lösung zeigen
1. 1 · 4 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 3 + 5 · 1 + 6 · 8 = 88
2. Anzahl aller Werte: 23
3. 88 : 23 ≈ 3,83
Ergebnis:
3,83
●14
Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 3 + 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 4 = 49
2. Anzahl aller Werte: 21
3. 49 : 21 ≈ 2,33
Ergebnis:
2,33
★15
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 4 + 1 · 11 + 2 · 6 + 3 · 9 + 4 · 4 = 66
2. Anzahl aller Werte: 34
3. 66 : 34 ≈ 1,94
Ergebnis:
1,94

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 17, 18, 15, 16, 13. Staffel B: 17, 18, 16, 16, 13, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert Staffel A: 97 : 6 ≈ 16,17
Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
Spannweite: 5 gegen 6

Mittelwert Staffel A: 97 : 6 ≈ 16,17
Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
Spannweite: 5 gegen 6

Ergebnis:

im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 381, 282, 320, 393, 301, 398. Gruppe Süd: 334, 383, 395, 389, 394, 371. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
So fängst du an:
Mittelwert Gruppe Nord: 2075 : 6 ≈ 345,83
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2075 : 6 ≈ 345,83
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2266 : 6 ≈ 377,67
3. Spannweite: 116 gegen 61
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
●17
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 19, 19, 15, 16, 19. Staffel B: 17, 17, 19, 13, 16, 18. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 102 : 6 = 17
2. Mittelwert Staffel B: 100 : 6 ≈ 16,67
3. Spannweite: 5 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
★18
Punkte im Test. 8a: 12, 20, 12, 4, 16, 13, 14, 7. 8b: 21, 8, 13, 18, 24, 20, 5, 23. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 98 : 8 = 12,25
2. Mittelwert 8b: 132 : 8 = 16,5
3. Spannweite: 16 gegen 19
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 6, 7, 6, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.

Schritt für Schritt

Mit 45: Mittelwert 67 : 5 = 13,4, Median 6
Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 6
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 45: Mittelwert 67 : 5 = 13,4, Median 6
Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 6
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 13,4 statt 5,5; Median 6 statt 6

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 2, 3, 6, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 45: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 5
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 5
2. Ohne: Mittelwert 16 : 4 = 4, Median 4
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12,2 statt 4; Median 5 statt 4
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 124, 140, 140, 85, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 540: Mittelwert 1029 : 5 = 205,8, Median 140
2. Ohne: Mittelwert 489 : 4 = 122,25, Median 132
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 205,8 statt 122,25; Median 140 statt 132
★21
Taschengeld im Monat in Euro: 37, 32, 38, 23, 25, 32, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 337 : 7 ≈ 48,14, Median 32
2. Ohne: Mittelwert 187 : 6 ≈ 31,17, Median 32
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 48,14 statt 31,17; Median 32 statt 32

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?

Schritt für Schritt

Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
„Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert

Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
„Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert

Ergebnis:

Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
So fängst du an:
Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
Lösung zeigen
1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
●23
Schlagzeile der Schülerzeitung: „67 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
1. 8 von 12 sind 66,67 %
2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
★24
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 20 % auf 26 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 26 − 20 = 6 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 6 : 20 · 100 = 30 %
Ergebnis:
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 30 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien
2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
●26
Zwei Vorschläge für die Frage „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“: A befragt 55 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste. B lost 55 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
Lösung zeigen
1. A: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis:
beide brauchbar, B am sichersten
●27
Die Werte (Sprungweite in cm): 338, 356, 315, 326, 357, 342, 351, 324, 320, 340, 360, 365, 326, 359, 329. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
2. Gezählt: 356, 357, 351, 360, 365, 359
3. Das sind 6
Ergebnis:
6 Werte
●28
Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele haben mindestens 90 min?
Lösung zeigen
1. Klassen ab 90: 13, 3
2. 13 + 3 = 16
Ergebnis:
16 Personen
●29
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 160: 4
2. Nur eine Säule: 4
Ergebnis:
4 Werte
●30
Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für einen Wert. Wie hoch wird jede Säule?
Lösung zeigen
1. Höhe = Anzahl : 1
2. 3, 8, 7, 5, 1 Kästchen
3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
Ergebnis:
3, 8, 7, 5, 1 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Zeynep will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
15 Werte (Sprungweite in cm): 316, 322, 406, 422, 325, 383, 392, 303, 359, 304, 401, 383, 401, 379, 298. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
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Ergebnis:
1, 5, 5, 4
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Lukas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Median 1,5
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 13, 17, 15, 18, 16. Staffel B: 19, 14, 16, 18, 17, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 8, 2, 7, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 12,8 statt 4,75; Median 7 statt 4,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 21 % auf 29 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 38,1 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
nein, besser: Wunschgericht
ja, die Antworten sind Zahlen
2 Werte
300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 3
2, 5, 10, 3
1 Werte
19 Werte
30 Personen
Modalwert 3, Median 2
Modalwert 1, Median 1
Modalwert 2, Median 2
3,83
2,33
1,94
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 12,2 statt 4; Median 5 statt 4
Mittelwert 205,8 statt 122,25; Median 140 statt 132
Mittelwert 48,14 statt 31,17; Median 32 statt 32
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 30 % mehr
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
beide brauchbar, B am sichersten
6 Werte
16 Personen
4 Werte
3, 8, 7, 5, 1 Kästchen
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
1, 5, 5, 4
1 Werte
Median 1,5
3
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
Mittelwert 12,8 statt 4,75; Median 7 statt 4,5
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 38,1 % mehr
x̄ = 8,8
Median 11; Spannweite 8