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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 15, 7, 12, 10, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11,2
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 18, 18, 11, 6, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 11, 16, 18, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 16
    3. Spannweite = 18 − 6 = 12
    Ergebnis:
    Median 16; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Lukas will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
  2. Besser: Lieblingssportart
  1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
  2. Besser: Lieblingssportart
Ergebnis:
nein, besser: Lieblingssportart

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Aylin will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Schulweg in min): 23, 22, 17, 26, 26, 28, 18, 10, 23, 5, 18, 8, 22, 18, 26. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
  2. Gezählt: 23, 22, 26, 26, 28, 23, 22, 26
  3. Das sind 8
  1. Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
  2. Gezählt: 23, 22, 26, 26, 28, 23, 22, 26
  3. Das sind 8
Ergebnis:
8 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Körpergröße in cm): 181, 163, 161, 165, 165, 164, 171, 167, 167, 164, 152, 154, 164, 179, 159. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    So fängst du an:
    150 bis unter 160 cm: 3
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 9
    3. 170 bis unter 180 cm: 2
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 3 + 9 + 2 + 1 = 15
    Ergebnis:
    3, 9, 2, 1
  2. ●5
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 101, 98, 34, 135, 164, 104, 93, 130, 114, 53, 146, 91, 164, 147, 95. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 0
    3. 90 bis unter 120 min: 7
    4. 120 bis unter 150 min: 4
    5. 150 bis unter 180 min: 2
    6. Probe: 2 + 0 + 7 + 4 + 2 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 0; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 2
  3. ★6
    20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 56, 123, 51, 95, 89, 95, 109, 74, 49, 119, 150, 143, 131, 105, 71, 91, 64, 106, 67, 98. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 3
    2. 60 bis unter 90 min: 5
    3. 90 bis unter 120 min: 8
    4. 120 bis unter 150 min: 3
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 3 + 5 + 8 + 3 + 1 = 20
    Ergebnis:
    3, 5, 8, 3, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 5, 9, 3
  2. Summe: 3 + 5 + 9 + 3 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 5, 9, 3
  2. Summe: 3 + 5 + 9 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    01234567801020304050Schulweg in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 30: 1, 5, 6
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 1, 5, 6
    2. 1 + 5 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
    012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 350: 2, 7
    2. 2 + 7 = 9
    Ergebnis:
    9 Werte
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 180 cm oder darüber?
    0246810121416150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 180: 5
    2. Gesamt: 30
    3. 5 : 30 · 100 ≈ 16,67
    Ergebnis:
    16,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 19 Antworten.
Tore012345Anzahl276031
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 9, bis 2: 15
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 9, bis 2: 15
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 21 Antworten.
    Tore012345Anzahl064551
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 1 (6-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (6-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 6, bis 2: 10, bis 3: 15
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 3
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 31 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl657481
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    2. 31 Werte, Median ist der 16. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 11, bis 3: 18
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 33 Antworten.
    Tore012345Anzahl359475
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (9-mal)
    2. 33 Werte, Median ist der 17. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 8, bis 2: 17
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 33 Antworten).
Tore012345Anzahl576258
Schritt für Schritt
  1. 0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 2 + 4 · 5 + 5 · 8 = 85
  2. Anzahl aller Werte: 33
  3. 85 : 33 ≈ 2,58
  1. 0 · 5 + 1 · 7 + 2 · 6 + 3 · 2 + 4 · 5 + 5 · 8 = 85
  2. Anzahl aller Werte: 33
  3. 85 : 33 ≈ 2,58
Ergebnis:
2,58

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl625410
    So fängst du an:
    1 · 6 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 4 + 5 · 1 + 6 · 0 = 46
    Lösung zeigen
    1. 1 · 6 + 2 · 2 + 3 · 5 + 4 · 4 + 5 · 1 + 6 · 0 = 46
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 46 : 18 ≈ 2,56
    Ergebnis:
    2,56
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 20 Antworten).
    Tore012345Anzahl244064
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 0 + 4 · 6 + 5 · 4 = 56
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 56 : 20 = 2,8
    Ergebnis:
    2,8
  3. ★15
    Von Sprungweite kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm2300 bis unter 350 cm12350 bis unter 400 cm7400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 275, 325, 375, 425
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 8775
    3. 8775 : 25 = 351
    Ergebnis:
    etwa 351 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 19, 10, 15, 17, 19, 6. 8b: 8, 8, 9, 6, 8, 10. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 86 : 6 ≈ 14,33
  2. Mittelwert 8b: 49 : 6 ≈ 8,17
  3. Spannweite: 13 gegen 4
  1. Mittelwert 8a: 86 : 6 ≈ 14,33
  2. Mittelwert 8b: 49 : 6 ≈ 8,17
  3. Spannweite: 13 gegen 4
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 4, 19, 17, 19, 19, 12. 8b: 11, 18, 15, 7, 16, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 90 : 6 = 15
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 90 : 6 = 15
    2. Mittelwert 8b: 84 : 6 = 14
    3. Spannweite: 15 gegen 11
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 6, 20, 8, 12, 24, 15. 8b: 11, 19, 16, 13, 14, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 85 : 6 ≈ 14,17
    2. Mittelwert 8b: 92 : 6 ≈ 15,33
    3. Spannweite: 18 gegen 8
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 19, 17, 19, 14, 16, 17, 17. Staffel B: 16, 16, 17, 15, 15, 19, 13, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 137 : 8 ≈ 17,13
    2. Mittelwert Staffel B: 128 : 8 = 16
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 138, 94, 111, 113, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 936 : 5 = 187,2, Median 113
  2. Ohne: Mittelwert 456 : 4 = 114, Median 112
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 936 : 5 = 187,2, Median 113
  2. Ohne: Mittelwert 456 : 4 = 114, Median 112
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 187,2 statt 114; Median 113 statt 112

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 30, 36, 32, 20, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 268 : 5 = 53,6, Median 32
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 268 : 5 = 53,6, Median 32
    2. Ohne: Mittelwert 118 : 4 = 29,5, Median 31
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 53,6 statt 29,5; Median 32 statt 31
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 5, 7, 4, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 68 : 5 = 13,6, Median 7
    2. Ohne: Mittelwert 23 : 4 = 5,75, Median 6
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13,6 statt 5,75; Median 7 statt 6
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 38, 23, 36, 17, 40, 32, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 336 : 7 = 48, Median 36
    2. Ohne: Mittelwert 186 : 6 = 31, Median 34
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 48 statt 31; Median 36 statt 34

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 31 % auf 35 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht31 %35 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 35 − 31 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 31 · 100 ≈ 12,9 %
  1. Unterschied: 35 − 31 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 31 · 100 ≈ 12,9 %
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 12,9 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent20 Kinder?
    So fängst du an:
    15 von 20 sind 75 %
    Lösung zeigen
    1. 15 von 20 sind 75 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht60 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 6 von 10 sind 60 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Noah will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  2. ●26
    Aylin befragt für die Frage „Wie viele Kinder unserer Schule haben ein Haustier?“ alle Kinder, deren Nachname mit A bis C beginnt – insgesamt 20 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Kein Problem: der Anfangsbuchstabe hängt nicht mit Haustieren zusammen
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  3. ●27
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 109, 117, 80, 168, 35, 136, 113, 114, 104, 111, 135, 80, 88, 67, 126. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 1
    2. 60 bis unter 90 min: 4
    3. 90 bis unter 120 min: 6
    4. 120 bis unter 150 min: 3
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 1 + 4 + 6 + 3 + 1 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 3; 150 bis unter 180: 1
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 30 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20 min920 bis unter 30 min1030 bis unter 40 min440 bis unter 50 min2
    Lösung zeigen
    1. Unter 30: 9 + 10 = 19
    2. Anteil: 19 : 25 · 100 = 76
    Ergebnis:
    76 %
  5. ●29
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678910150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 160 bis 170
    2. Höhe 9
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 9
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für einen Wert. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min210 bis unter 20 min420 bis unter 30 min730 bis unter 40 min540 bis unter 50 min2
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 1
    2. 2, 4, 7, 5, 2 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    2, 4, 7, 5, 2 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 329, 342, 374, 313, 308, 364, 289, 283, 355, 343, 401, 354, 355, 319, 349. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    01234567891011010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 23 Antworten.
    Tore012345Anzahl226670
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 14 Antworten).
    Bücher01234Anzahl70520
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,14

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 5, 7, 16, 7, 13, 10. 8b: 8, 17, 13, 14, 20, 12. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 102, 122, 68, 131, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 192,6 statt 105,75; Median 122 statt 112

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  3. ja, die Antworten sind Zahlen
  4. 3, 9, 2, 1
  5. 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 0; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 2
  6. 3, 5, 8, 3, 1
  7. 12 Werte
  8. 9 Werte
  9. 16,67 %
  10. Modalwert 1, Median 3
  11. Modalwert 5, Median 3
  12. Modalwert 2, Median 2
  13. 2,56
  14. 2,8
  15. etwa 351 cm
  16. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 53,6 statt 29,5; Median 32 statt 31
  20. Mittelwert 13,6 statt 5,75; Median 7 statt 6
  21. Mittelwert 48 statt 31; Median 36 statt 34
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  26. kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  27. 30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 3; 150 bis unter 180: 1
  28. 76 %
  29. 160 bis unter 170 cm: 9
  30. 2, 4, 7, 5, 2 Kästchen
  31. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  32. 250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 1
  33. 15 Werte
  34. Modalwert 4, Median 3
  35. 1,14
  36. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  37. Mittelwert 192,6 statt 105,75; Median 122 statt 112
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 11,2
  40. Median 16; Spannweite 12