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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 3, 14, 4, 5, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 9, 2, 3, 19, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 3, 9, 11, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 9
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 9; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingssportart, Kategorien
  3. ★3
    Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 27, 19, 20, 28, 16, 26, 16, 28, 41, 20, 27, 27, 21, 21, 31. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
Schritt für Schritt
  1. 10 bis unter 20 min: 3
  2. 20 bis unter 30 min: 10
  3. 30 bis unter 40 min: 1
  4. 40 bis unter 50 min: 1
  5. Probe: 3 + 10 + 1 + 1 = 15
  1. 10 bis unter 20 min: 3
  2. 20 bis unter 30 min: 10
  3. 30 bis unter 40 min: 1
  4. 40 bis unter 50 min: 1
  5. Probe: 3 + 10 + 1 + 1 = 15
Ergebnis:
3, 10, 1, 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 74, 75, 129, 107, 116, 101, 33, 143, 80, 37, 130, 136, 86, 154, 62. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    30 bis unter 60 min: 2
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 5
    3. 90 bis unter 120 min: 3
    4. 120 bis unter 150 min: 4
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 2 + 5 + 3 + 4 + 1 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 1
  2. ●5
    15 Werte (Schulweg in min): 12, 26, 31, 19, 22, 18, 24, 11, 10, 26, 36, 19, 21, 22, 20. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 6
    2. 20 bis unter 30 min: 7
    3. 30 bis unter 40 min: 2
    4. Probe: 6 + 7 + 2 = 15
    Ergebnis:
    6, 7, 2
  3. ★6
    Die Werte (Sprungweite in cm): 357, 312, 334, 371, 266, 368, 299, 367, 312, 384, 415, 365, 350, 372, 341, 324, 348, 367, 298, 326. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
    2. Gezählt: 357, 371, 368, 367, 384, 365, 350, 372, 367
    3. Das sind 9
    Ergebnis:
    9 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910110306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 3, 10, 3
  2. Summe: 1 + 3 + 3 + 10 + 3 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 3, 10, 3
  2. Summe: 1 + 3 + 3 + 10 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Höchste Säule: über 170 bis 180
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 170 bis 180
    2. Höhe 10
    Ergebnis:
    170 bis unter 180 cm: 10
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 8, 3
    2. Summe: 2 + 7 + 8 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 180 cm?
    02468101214150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 180: 3, 14, 11
    2. 3 + 14 + 11 = 28
    Ergebnis:
    28 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 22 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl33682
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
  2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 12
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
  2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 6, bis 2: 12
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 16 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl12058
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 3, bis 2: 3, bis 3: 8, bis 4: 16
    4. Median: 3,5
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3,5
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 30 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl653583
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    2. 30 Werte, Median ist das Mittel aus dem 15. und 16. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 11, bis 2: 14, bis 3: 19
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 40 Antworten.
    Note123456Anzahl7611592
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (11-mal)
    2. 40 Werte, Median ist das Mittel aus dem 20. und 21. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 7, bis 2: 13, bis 3: 24
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Tore012345Anzahl457686
Schritt für Schritt
  1. 0 · 4 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 6 = 99
  2. Anzahl aller Werte: 36
  3. 99 : 36 = 2,75
  1. 0 · 4 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 6 = 99
  2. Anzahl aller Werte: 36
  3. 99 : 36 = 2,75
Ergebnis:
2,75

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl03812
    So fängst du an:
    0 · 0 + 1 · 3 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 2 = 30
    Lösung zeigen
    1. 0 · 0 + 1 · 3 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 2 = 30
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 30 : 14 ≈ 2,14
    Ergebnis:
    2,14
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl07132
    Lösung zeigen
    1. 0 · 0 + 1 · 7 + 2 · 1 + 3 · 3 + 4 · 2 = 26
    2. Anzahl aller Werte: 13
    3. 26 : 13 = 2
    Ergebnis:
    2
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 46 Antworten).
    Note123456Anzahl99116110
    Lösung zeigen
    1. 1 · 9 + 2 · 9 + 3 · 11 + 4 · 6 + 5 · 1 + 6 · 10 = 149
    2. Anzahl aller Werte: 46
    3. 149 : 46 ≈ 3,24
    Ergebnis:
    3,24

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 300, 333, 285, 377, 409, 311. Gruppe Süd: 309, 375, 349, 363, 380, 397. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2015 : 6 ≈ 335,83
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2173 : 6 ≈ 362,17
  3. Spannweite: 124 gegen 88
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2015 : 6 ≈ 335,83
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2173 : 6 ≈ 362,17
  3. Spannweite: 124 gegen 88
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 16, 12, 17, 13, 24, 10. 8b: 6, 7, 12, 17, 24, 13. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 92 : 6 ≈ 15,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 92 : 6 ≈ 15,33
    2. Mittelwert 8b: 79 : 6 ≈ 13,17
    3. Spannweite: 14 gegen 18
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 24, 22, 13, 5, 5, 15. 8b: 7, 10, 22, 13, 6, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
    2. Mittelwert 8b: 73 : 6 ≈ 12,17
    3. Spannweite: 19 gegen 16
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 327, 396, 375, 314, 299, 314, 293, 281. Gruppe Süd: 372, 298, 405, 369, 364, 395, 379, 358. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2599 : 8 ≈ 324,88
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2940 : 8 = 367,5
    3. Spannweite: 115 gegen 107
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 139, 125, 71, 123, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 998 : 5 = 199,6, Median 125
  2. Ohne: Mittelwert 458 : 4 = 114,5, Median 124
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 998 : 5 = 199,6, Median 125
  2. Ohne: Mittelwert 458 : 4 = 114,5, Median 124
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 199,6 statt 114,5; Median 125 statt 124

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 31, 27, 33, 38, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 250: Mittelwert 379 : 5 = 75,8, Median 33
    Lösung zeigen
    1. Mit 250: Mittelwert 379 : 5 = 75,8, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 129 : 4 = 32,25, Median 32
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 75,8 statt 32,25; Median 33 statt 32
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 117, 106, 126, 87, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 976 : 5 = 195,2, Median 117
    2. Ohne: Mittelwert 436 : 4 = 109, Median 111,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 195,2 statt 109; Median 117 statt 111,5
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 85, 61, 127, 60, 115, 99, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 1147 : 7 ≈ 163,86, Median 99
    2. Ohne: Mittelwert 547 : 6 ≈ 91,17, Median 92
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 163,86 statt 91,17; Median 99 statt 92

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 24 % auf 28 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht24 %28 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 28 − 24 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 24 · 100 ≈ 16,67 %
  1. Unterschied: 28 − 24 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 24 · 100 ≈ 16,67 %
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 50 %, Chat-App 47 %, Spiele 38 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht50 %47 %38 %100 %?
    So fängst du an:
    50 + 47 + 38 = 135
    Lösung zeigen
    1. 50 + 47 + 38 = 135
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 65 %, Chat-App 46 %, Spiele 24 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht65 %46 %24 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 65 + 46 + 24 = 135
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „83 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht83 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 10 von 12 sind 83,33 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“: A befragt 40 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder. B lost 40 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht40 Personen40 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    beide brauchbar, B am sichersten
  3. ●27
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 13, 23, 29, 36, 25, 23, 5, 30, 27, 25, 15, 30, 5, 22, 22. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 2
    2. 10 bis unter 20 min: 2
    3. 20 bis unter 30 min: 8
    4. 30 bis unter 40 min: 3
    5. Probe: 2 + 2 + 8 + 3 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 3
  4. ●28
    In der Tabelle (Handyzeit am Tag) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min560 bis unter 90 min1190 bis unter 120 min4120 bis unter 150 min5
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 5 + 11 + 4 + 5 = 25
    2. Größte Anzahl: 11
    Ergebnis:
    25; 60 bis unter 90 min
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 8, 9, 2
    2. Summe: 1 + 8 + 9 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  6. ●30
    Ben zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Ben für die Klassen von 250 bis 450 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (450 − 250) : 50 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Emre will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 371, 312, 367, 391, 392, 259, 288, 320, 377, 314, 352, 290, 391, 420, 436. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 3; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678901020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 bis unter 30 min: 8

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 22 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl16618
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 17 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl07181
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,18

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 15, 17, 13, 13, 18. Staffel B: 17, 16, 15, 14, 15, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 5, 2, 5, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 12 statt 5; Median 5 statt 5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 12 % auf 14 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht12 %14 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. Lieblingssportart, Kategorien
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 3; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 1
  5. 6, 7, 2
  6. 9 Werte
  7. 170 bis unter 180 cm: 10
  8. 20 Personen
  9. 28 Werte
  10. Modalwert 4, Median 3,5
  11. Modalwert 4, Median 3
  12. Modalwert 3, Median 3
  13. 2,14
  14. 2
  15. 3,24
  16. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 75,8 statt 32,25; Median 33 statt 32
  20. Mittelwert 195,2 statt 109; Median 117 statt 111,5
  21. Mittelwert 163,86 statt 91,17; Median 99 statt 92
  22. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. ja, die Antworten sind Zahlen
  26. beide brauchbar, B am sichersten
  27. 0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 3
  28. 25; 60 bis unter 90 min
  29. 20 Personen
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  32. 250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 3; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  33. 20 bis unter 30 min: 8
  34. Modalwert 4, Median 2
  35. 2,18
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 12 statt 5; Median 5 statt 5
  38. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr
  39. x̄ = 7,6
  40. Median 9; Spannweite 17