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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 15, 13, 15, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 13, 5, 16, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 5, 7, 13, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 16 − 4 = 12
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Mila will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen.
    2. Zahlen kann man ordnen: Median und Spannweite gehen.
    3. Zahlen kann man addieren: auch der Mittelwert geht.
    Ergebnis:
    alle: Mittelwert, Median, Spannweite, häufigster Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 348, 317, 353, 346, 336, 313, 289, 314, 368, 323, 320, 342, 314, 274, 335. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 11
  3. 350 bis unter 400 cm: 2
  4. Probe: 2 + 11 + 2 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 2
  2. 300 bis unter 350 cm: 11
  3. 350 bis unter 400 cm: 2
  4. Probe: 2 + 11 + 2 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 11; 350 bis unter 400: 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 146, 84, 135, 117, 49, 106, 55, 115, 114, 75, 148, 138, 44, 122, 28. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 30?30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
    So fängst du an:
    0 bis unter 30 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 3
    3. 60 bis unter 90 min: 2
    4. 90 bis unter 120 min: 4
    5. 120 bis unter 150 min: 5
    6. Probe: 1 + 3 + 2 + 4 + 5 = 15
    Ergebnis:
    1, 3, 2, 4, 5
  2. ●5
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 113, 112, 116, 31, 76, 105, 112, 101, 117, 84, 97, 124, 93, 102, 99. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 1
    2. 60 bis unter 90 min: 2
    3. 90 bis unter 120 min: 11
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. Probe: 1 + 2 + 11 + 1 = 15
    Ergebnis:
    1, 2, 11, 1
  3. ★6
    Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 275, 303, 339, 392, 328, 317, 351, 370, 364, 310, 378, 322, 397, 340, 305, 419, 430, 286, 340, 281. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 3
    2. 300 bis unter 350 cm: 9
    3. 350 bis unter 400 cm: 6
    4. 400 bis unter 450 cm: 2
    5. Probe: 3 + 9 + 6 + 2 = 20
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 9; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 5, 2
  2. Summe: 3 + 10 + 5 + 2 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 3, 10, 5, 2
  2. Summe: 3 + 10 + 5 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
    01234567891011300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 350: 7
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 350: 7
    2. Nur eine Säule: 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101101020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 10, 5, 1
    2. Summe: 1 + 3 + 10 + 5 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 400 cm oder darüber?
    02468101214250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 400: 4
    2. Gesamt: 30
    3. 4 : 30 · 100 ≈ 13,33
    Ergebnis:
    13,33 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 18 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Anzahl01234Anzahl22824
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 4, bis 2: 12
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 4, bis 2: 12
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 28 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl652438
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 6 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 6 (8-mal)
    2. 28 Werte, Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 11, bis 3: 13, bis 4: 17
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 6, Median 4
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 24 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl245751
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (7-mal)
    2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 6, bis 2: 11, bis 3: 18
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Ben schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 38 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl11110835
    Lösung zeigen
    1. 38 Werte: Median ist das Mittel aus dem 19. und 20. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 11, bis 2: 12, bis 3: 22
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 16 Antworten).
Tore012345Anzahl722311
Schritt für Schritt
  1. 0 · 7 + 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 1 + 5 · 1 = 24
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 24 : 16 = 1,5
  1. 0 · 7 + 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 1 + 5 · 1 = 24
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 24 : 16 = 1,5
Ergebnis:
1,5

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 22 Antworten).
    Bücher01234Anzahl55372
    So fängst du an:
    0 · 5 + 1 · 5 + 2 · 3 + 3 · 7 + 4 · 2 = 40
    Lösung zeigen
    1. 0 · 5 + 1 · 5 + 2 · 3 + 3 · 7 + 4 · 2 = 40
    2. Anzahl aller Werte: 22
    3. 40 : 22 ≈ 1,82
    Ergebnis:
    1,82
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl32846
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 2 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 6 = 54
    2. Anzahl aller Werte: 23
    3. 54 : 23 ≈ 2,35
    Ergebnis:
    2,35
  3. ★15
    Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min460 bis unter 90 min1090 bis unter 120 min6120 bis unter 150 min4150 bis unter 180 min1
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 45, 75, 105, 135, 165
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2265
    3. 2265 : 25 = 90,6
    Ergebnis:
    etwa 90,6 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 6, 17, 10, 10, 21, 4. 8b: 10, 10, 10, 20, 19, 9. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
  2. Mittelwert 8b: 78 : 6 = 13
  3. Spannweite: 17 gegen 11
  1. Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
  2. Mittelwert 8b: 78 : 6 = 13
  3. Spannweite: 17 gegen 11
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 372, 397, 394, 401, 286, 396. Gruppe Süd: 311, 298, 359, 315, 388, 295. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2246 : 6 ≈ 374,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2246 : 6 ≈ 374,33
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 1966 : 6 ≈ 327,67
    3. Spannweite: 115 gegen 93
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 302, 381, 354, 399, 317, 312. Gruppe Süd: 321, 308, 403, 303, 353, 307. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2065 : 6 ≈ 344,17
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 1995 : 6 = 332,5
    3. Spannweite: 97 gegen 100
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 331, 386, 347, 292, 309, 374, 379, 280. Gruppe Süd: 396, 420, 361, 357, 347, 400, 297, 293. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2698 : 8 = 337,25
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2871 : 8 ≈ 358,88
    3. Spannweite: 106 gegen 127
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 3, 5, 2, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 45: Mittelwert 64 : 5 = 12,8, Median 5
  2. Ohne: Mittelwert 19 : 4 = 4,75, Median 4
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 45: Mittelwert 64 : 5 = 12,8, Median 5
  2. Ohne: Mittelwert 19 : 4 = 4,75, Median 4
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12,8 statt 4,75; Median 5 statt 4

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 94, 67, 97, 133, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    So fängst du an:
    Mit 540: Mittelwert 931 : 5 = 186,2, Median 97
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 931 : 5 = 186,2, Median 97
    2. Ohne: Mittelwert 391 : 4 = 97,75, Median 95,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 186,2 statt 97,75; Median 97 statt 95,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 92, 96, 130, 94, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 952 : 5 = 190,4, Median 96
    2. Ohne: Mittelwert 412 : 4 = 103, Median 95
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 190,4 statt 103; Median 96 statt 95
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 131, 100, 95, 120, 66, 123, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 1175 : 7 ≈ 167,86, Median 120
    2. Ohne: Mittelwert 635 : 6 ≈ 105,83, Median 110
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 167,86 statt 105,83; Median 120 statt 110

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „90 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht90 Prozent10 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 9 von 10 sind 90 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 9 von 10 sind 90 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    So fängst du an:
    Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 9 von 12 sind 75 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“: A befragt 15 Personen, nämlich die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen. B lost 15 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht15 Personen15 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  2. ●26
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 82, 80, 95, 108, 71, 111, 50, 54, 136, 104, 73, 72, 107, 80, 137. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 6
    3. 90 bis unter 120 min: 5
    4. 120 bis unter 150 min: 2
    5. Probe: 2 + 6 + 5 + 2 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 2
  3. ●27
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Welcher Anteil liegt unter 120 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min260 bis unter 90 min890 bis unter 120 min11120 bis unter 150 min3150 bis unter 180 min1
    Lösung zeigen
    1. Unter 120: 2 + 8 + 11 = 21
    2. Anteil: 21 : 25 · 100 = 84
    Ergebnis:
    84 %
  4. ●28
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    0123456780306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 60: 2, 3
    2. 2 + 3 = 5
    Ergebnis:
    5 Werte
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 7, 9, 4 für die Klassen ab 300 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    012345678910300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 7, 9, 4 vergleichen
    2. Die Säule 400 bis unter 450 ist 6 hoch
    3. Richtig ist 4
    Ergebnis:
    400 bis unter 450 cm: 4 statt 6
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 23 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl242546
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 6 (6-mal)
    2. 23 Werte, Median ist der 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 6, bis 3: 8, bis 4: 13
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 6, Median 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Mira will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 53, 136, 36, 38, 85, 59, 101, 113, 117, 102, 48, 81, 44, 147, 72. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 6; 60 bis unter 90: 3; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    300 bis unter 350 cm: 7

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 28 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl276526
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 31 Antworten).
    Note123456Anzahl057685
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,03

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 19, 19, 17, 16, 14. Staffel B: 17, 17, 13, 13, 16, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 36, 34, 29, 36, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 57 statt 33,75; Median 36 statt 35

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. alle: Mittelwert, Median, Spannweite, häufigster Wert
  4. 1, 3, 2, 4, 5
  5. 1, 2, 11, 1
  6. 250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 9; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 2
  7. 7 Werte
  8. 20 Personen
  9. 13,33 %
  10. Modalwert 6, Median 4
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Median 3
  13. 1,82
  14. 2,35
  15. etwa 90,6 min
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  19. Mittelwert 186,2 statt 97,75; Median 97 statt 95,5
  20. Mittelwert 190,4 statt 103; Median 96 statt 95
  21. Mittelwert 167,86 statt 105,83; Median 120 statt 110
  22. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. B
  26. 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 2
  27. 84 %
  28. 5 Werte
  29. 400 bis unter 450 cm: 4 statt 6
  30. Modalwert 6, Median 4
  31. nein, besser: Verkehrsmittel
  32. 30 bis unter 60: 6; 60 bis unter 90: 3; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 2
  33. 300 bis unter 350 cm: 7
  34. Modalwert 1, Median 2
  35. 4,03
  36. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  37. Mittelwert 57 statt 33,75; Median 36 statt 35
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 7; Spannweite 12