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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 9, 2, 15, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 2, 20, 11, 3. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 3, 7, 11, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 20 − 2 = 18
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Wunschgericht, Kategorien
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 58, 48, 56, 59, 74, 140, 30, 69, 68, 64, 112, 20, 101, 74, 59. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Schritt für Schritt
  1. 0 bis unter 30 min: 1
  2. 30 bis unter 60 min: 6
  3. 60 bis unter 90 min: 5
  4. 90 bis unter 120 min: 2
  5. 120 bis unter 150 min: 1
  6. Probe: 1 + 6 + 5 + 2 + 1 = 15
  1. 0 bis unter 30 min: 1
  2. 30 bis unter 60 min: 6
  3. 60 bis unter 90 min: 5
  4. 90 bis unter 120 min: 2
  5. 120 bis unter 150 min: 1
  6. Probe: 1 + 6 + 5 + 2 + 1 = 15
Ergebnis:
0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 6; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 2; 120 bis unter 150: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 162, 162, 169, 169, 181, 162, 167, 175, 171, 172, 184, 162, 169, 173, 156. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    So fängst du an:
    150 bis unter 160 cm: 1
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 1
    2. 160 bis unter 170 cm: 8
    3. 170 bis unter 180 cm: 4
    4. 180 bis unter 190 cm: 2
    5. Probe: 1 + 8 + 4 + 2 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 4; 180 bis unter 190: 2
  2. ●5
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 180, 171, 167, 166, 179, 165, 164, 164, 155, 155, 180, 163, 163, 162, 174. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 2
    2. 160 bis unter 170 cm: 8
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 2
    5. Probe: 2 + 8 + 3 + 2 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 2
  3. ★6
    20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 73, 96, 92, 98, 90, 57, 112, 139, 75, 60, 85, 160, 48, 79, 64, 63, 105, 93, 86, 111. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 8
    3. 90 bis unter 120 min: 8
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 2 + 8 + 8 + 1 + 1 = 20
    Ergebnis:
    2, 8, 8, 1, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
012345670306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 60 bis 90
  2. Höhe 6
  1. Höchste Säule: über 60 bis 90
  2. Höhe 6
Ergebnis:
60 bis unter 90 min: 6

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    0123456789306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 60: 6
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 60: 6
    2. Nur eine Säule: 6
    Ergebnis:
    6 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
    024681012140150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 160: 1, 2
    2. 1 + 2 = 3
    Ergebnis:
    3 Werte
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 160 cm oder darüber?
    0123456789101112150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 160: 11 + 10 = 21
    2. Gesamt: 30
    3. 21 : 30 · 100 = 70
    Ergebnis:
    70 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl14851
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 5, bis 2: 13
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 5, bis 2: 13
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 21 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl15816
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 6, bis 2: 14
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  2. ●11
    Tim schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 25 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl28762
    Lösung zeigen
    1. 25 Werte: Median ist der 13. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 10, bis 2: 17
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 18 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl12465
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
    2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 3, bis 2: 7, bis 3: 13
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 29 Antworten).
Note123456Anzahl782156
Schritt für Schritt
  1. 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 2 + 4 · 1 + 5 · 5 + 6 · 6 = 94
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 94 : 29 ≈ 3,24
  1. 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 2 + 4 · 1 + 5 · 5 + 6 · 6 = 94
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 94 : 29 ≈ 3,24
Ergebnis:
3,24

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl08312
    So fängst du an:
    0 · 0 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 2 = 25
    Lösung zeigen
    1. 0 · 0 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 2 = 25
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 25 : 14 ≈ 1,79
    Ergebnis:
    1,79
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl472121
    Lösung zeigen
    1. 0 · 4 + 1 · 7 + 2 · 2 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 1 = 27
    2. Anzahl aller Werte: 17
    3. 27 : 17 ≈ 1,59
    Ergebnis:
    1,59
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 18 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl321210
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 2 + 4 · 10 = 50
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 50 : 18 ≈ 2,78
    Ergebnis:
    2,78

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 18, 15, 18, 15, 17. Staffel B: 17, 13, 15, 16, 17, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 98 : 6 ≈ 16,33
  2. Mittelwert Staffel B: 97 : 6 ≈ 16,17
  3. Spannweite: 3 gegen 6
  1. Mittelwert Staffel A: 98 : 6 ≈ 16,33
  2. Mittelwert Staffel B: 97 : 6 ≈ 16,17
  3. Spannweite: 3 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 334, 420, 280, 327, 302, 283. Gruppe Süd: 303, 337, 310, 320, 390, 351. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 1946 : 6 ≈ 324,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 1946 : 6 ≈ 324,33
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2011 : 6 ≈ 335,17
    3. Spannweite: 140 gegen 87
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 308, 371, 373, 377, 368, 388. Gruppe Süd: 369, 418, 341, 300, 349, 348. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2185 : 6 ≈ 364,17
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2125 : 6 ≈ 354,17
    3. Spannweite: 80 gegen 118
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 9, 23, 22, 6, 21, 23, 5, 7. 8b: 17, 18, 16, 12, 12, 16, 12, 14. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 116 : 8 = 14,5
    2. Mittelwert 8b: 117 : 8 ≈ 14,63
    3. Spannweite: 18 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 126, 87, 99, 74, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 926 : 5 = 185,2, Median 99
  2. Ohne: Mittelwert 386 : 4 = 96,5, Median 93
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 926 : 5 = 185,2, Median 99
  2. Ohne: Mittelwert 386 : 4 = 96,5, Median 93
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 185,2 statt 96,5; Median 99 statt 93

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 5, 7, 3, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 40: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 6
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 21 : 4 = 5,25, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 6 statt 5,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 136, 80, 80, 62, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 898 : 5 = 179,6, Median 80
    2. Ohne: Mittelwert 358 : 4 = 89,5, Median 80
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 179,6 statt 89,5; Median 80 statt 80
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 29, 34, 17, 32, 34, 20, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 250: Mittelwert 416 : 7 ≈ 59,43, Median 32
    2. Ohne: Mittelwert 166 : 6 ≈ 27,67, Median 30,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 59,43 statt 27,67; Median 32 statt 30,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 49 %, Chat-App 42 %, Spiele 44 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
gegebengesucht49 %42 %44 %100 %?
Schritt für Schritt
  1. 49 + 42 + 44 = 135
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
  1. 49 + 42 + 44 = 135
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht80 Prozent10 Kinder?
    So fängst du an:
    8 von 10 sind 80 %
    Lösung zeigen
    1. 8 von 10 sind 80 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 37 % auf 39 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht37 %39 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 39 − 37 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 37 · 100 ≈ 5,41 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,41 % mehr
  3. ★24
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“: A befragt 50 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. B lost 50 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht50 Personen50 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  2. ●26
    Die Werte (Schulweg in min): 20, 22, 21, 15, 24, 13, 22, 19, 25, 24, 26, 11, 33, 10, 16. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
    2. Gezählt: 20, 22, 21, 24, 22, 25, 24, 26
    3. Das sind 8
    Ergebnis:
    8 Werte
  3. ●27
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von 25 Kindern beim Sportfest. Wie viele haben mindestens 400 cm?
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm2300 bis unter 350 cm9350 bis unter 400 cm10400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 400: 4
    2. Nur eine Klasse: 4
    Ergebnis:
    4 Personen
  4. ●28
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 150 min?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 150: 5, 4, 6, 3
    2. 5 + 4 + 6 + 3 = 18
    Ergebnis:
    18 Werte
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 1, 8, 6, 5 für die Klassen ab 250 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 1, 8, 6, 5 vergleichen
    2. Die Säule 400 bis unter 450 ist 7 hoch
    3. Richtig ist 5
    Ergebnis:
    400 bis unter 450 cm: 5 statt 7
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 17 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl07442
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (7-mal)
    2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 7, bis 2: 11
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Noah will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 158, 176, 182, 154, 161, 164, 158, 175, 162, 159, 162, 170, 157, 159, 171. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 6; 160 bis unter 170: 4; 170 bis unter 180: 4; 180 bis unter 190: 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
    012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    17 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Mira schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 23 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl052574
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 4

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl02863
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,53

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 5, 11, 22, 8, 16, 15. 8b: 5, 5, 13, 21, 21, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 97, 81, 64, 134, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 183,2 statt 94; Median 97 statt 89

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Wunschgericht, Kategorien
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 4; 180 bis unter 190: 2
  5. 150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 2
  6. 2, 8, 8, 1, 1
  7. 6 Werte
  8. 3 Werte
  9. 70 %
  10. Modalwert 2, Median 2
  11. Median 2
  12. Modalwert 3, Median 3
  13. 1,79
  14. 1,59
  15. 2,78
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 6 statt 5,5
  20. Mittelwert 179,6 statt 89,5; Median 80 statt 80
  21. Mittelwert 59,43 statt 27,67; Median 32 statt 30,5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,41 % mehr
  24. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  25. B
  26. 8 Werte
  27. 4 Personen
  28. 18 Werte
  29. 400 bis unter 450 cm: 5 statt 7
  30. Modalwert 1, Median 2
  31. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  32. 150 bis unter 160: 6; 160 bis unter 170: 4; 170 bis unter 180: 4; 180 bis unter 190: 1
  33. 17 Werte
  34. Median 4
  35. 2,53
  36. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  37. Mittelwert 183,2 statt 94; Median 97 statt 89
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 9,4
  40. Median 7; Spannweite 18