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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 11, 8, 5, 2, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 2, 18, 16, 2. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 2, 7, 16, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 18 − 2 = 16
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 110, 74, 134, 122, 141, 66, 77, 91, 145, 65, 63, 118, 118, 118, 134. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
Schritt für Schritt
  1. 60 bis unter 90 min: 5
  2. 90 bis unter 120 min: 5
  3. 120 bis unter 150 min: 5
  4. Probe: 5 + 5 + 5 = 15
  1. 60 bis unter 90 min: 5
  2. 90 bis unter 120 min: 5
  3. 120 bis unter 150 min: 5
  4. Probe: 5 + 5 + 5 = 15
Ergebnis:
5, 5, 5

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 7, 23, 9, 8, 29, 25, 30, 33, 42, 16, 40, 10, 14, 26, 22. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    So fängst du an:
    0 bis unter 10 min: 3
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 3
    2. 10 bis unter 20 min: 3
    3. 20 bis unter 30 min: 5
    4. 30 bis unter 40 min: 2
    5. 40 bis unter 50 min: 2
    6. Probe: 3 + 3 + 5 + 2 + 2 = 15
    Ergebnis:
    3, 3, 5, 2, 2
  2. ●5
    Die Werte (Körpergröße in cm): 165, 162, 163, 176, 160, 158, 168, 155, 170, 153, 161, 173, 174, 170, 172. Wie viele Werte liegen in der Klasse 160 bis unter 170 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 160 und alles bis kurz vor 170
    2. Gezählt: 165, 162, 163, 160, 168, 161
    3. Das sind 6
    Ergebnis:
    6 Werte
  3. ★6
    Die Werte (Sprungweite in cm): 374, 308, 389, 299, 390, 401, 404, 365, 356, 395, 290, 334, 415, 412, 374, 380, 382, 363, 377, 333. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
    2. Gezählt: 401, 404, 415, 412
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
0123456789101112150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 11
  1. Höchste Säule: über 160 bis 170
  2. Höhe 11
Ergebnis:
160 bis unter 170 cm: 11

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910203040Schulweg in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 5, 8, 7
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 5, 8, 7
    2. Summe: 5 + 8 + 7 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 6, 5
    2. Summe: 3 + 6 + 6 + 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 120 min oder darüber?
    024681012306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 120: 8 + 3 = 11
    2. Gesamt: 30
    3. 11 : 30 · 100 ≈ 36,67
    Ergebnis:
    36,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Lukas schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 14 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Bücher01234Anzahl60431
Schritt für Schritt
  1. 14 Werte: Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 6, bis 2: 10
  3. Median: 2
  1. 14 Werte: Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 6, bis 2: 10
  3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 18 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl16740
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (7-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (7-mal)
    2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 7, bis 2: 14
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  2. ●11
    Sara schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 19 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl04528
    Lösung zeigen
    1. 19 Werte: Median ist der 10. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 4, bis 2: 9, bis 3: 11
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 29 Antworten.
    Tore012345Anzahl831197
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (9-mal)
    2. 29 Werte, Median ist der 15. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 11, bis 2: 12, bis 3: 13, bis 4: 22
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Note123456Anzahl286644
Schritt für Schritt
  1. 1 · 2 + 2 · 8 + 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 4 + 6 · 4 = 104
  2. Anzahl aller Werte: 30
  3. 104 : 30 ≈ 3,47
  1. 1 · 2 + 2 · 8 + 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 4 + 6 · 4 = 104
  2. Anzahl aller Werte: 30
  3. 104 : 30 ≈ 3,47
Ergebnis:
3,47

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl545174
    So fängst du an:
    0 · 5 + 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 7 + 5 · 4 = 65
    Lösung zeigen
    1. 0 · 5 + 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 7 + 5 · 4 = 65
    2. Anzahl aller Werte: 26
    3. 65 : 26 = 2,5
    Ergebnis:
    2,5
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 18 Antworten).
    Tore012345Anzahl305226
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 0 + 2 · 5 + 3 · 2 + 4 · 2 + 5 · 6 = 54
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 54 : 18 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 26 Antworten).
    Note123456Anzahl5311142
    Lösung zeigen
    1. 1 · 5 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 11 + 5 · 4 + 6 · 2 = 90
    2. Anzahl aller Werte: 26
    3. 90 : 26 ≈ 3,46
    Ergebnis:
    3,46

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 13, 16, 14, 15, 16. Staffel B: 19, 18, 14, 19, 14, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 87 : 6 = 14,5
  2. Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
  3. Spannweite: 3 gegen 5
  1. Mittelwert Staffel A: 87 : 6 = 14,5
  2. Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
  3. Spannweite: 3 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 14, 18, 13, 16, 13. Staffel B: 17, 18, 13, 19, 17, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Staffel A: 91 : 6 ≈ 15,17
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 91 : 6 ≈ 15,17
    2. Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 14, 18, 18, 14, 15. Staffel B: 17, 16, 14, 15, 14, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 92 : 6 ≈ 15,33
    2. Mittelwert Staffel B: 89 : 6 ≈ 14,83
    3. Spannweite: 5 gegen 4
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 21, 9, 16, 18, 7, 8, 11, 8. 8b: 24, 10, 12, 11, 19, 16, 12, 7. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 98 : 8 = 12,25
    2. Mittelwert 8b: 111 : 8 ≈ 13,88
    3. Spannweite: 14 gegen 17
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 3, 4, 2, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 40: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 3
  2. Ohne: Mittelwert 12 : 4 = 3, Median 3
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 40: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 3
  2. Ohne: Mittelwert 12 : 4 = 3, Median 3
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10,4 statt 3; Median 3 statt 3

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 132, 89, 116, 98, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 540: Mittelwert 975 : 5 = 195, Median 116
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 975 : 5 = 195, Median 116
    2. Ohne: Mittelwert 435 : 4 = 108,75, Median 107
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 195 statt 108,75; Median 116 statt 107
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 25, 21, 32, 20, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
    Lösung zeigen
    1. Mit 250: Mittelwert 348 : 5 = 69,6, Median 25
    2. Ohne: Mittelwert 98 : 4 = 24,5, Median 23
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 69,6 statt 24,5; Median 25 statt 23
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 120, 113, 127, 137, 131, 117, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 1225 : 7 = 175, Median 127
    2. Ohne: Mittelwert 745 : 6 ≈ 124,17, Median 123,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 175 statt 124,17; Median 127 statt 123,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 17 % auf 22 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht17 %22 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 22 − 17 = 5 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 22 − 17 = 5 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 5 : 17 · 100 ≈ 29,41 %
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 29,41 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 27 % auf 31 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht27 %31 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 31 − 27 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 27 · 100 ≈ 14,81 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 14,81 % mehr
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 66 auf 69 Punkte. Aylin sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Aylin will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    2. Besser: Verkehrsmittel
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel
  2. ●26
    Frage: „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“ Befragt werden 55 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Die Werte (Sprungweite in cm): 310, 355, 315, 335, 314, 379, 318, 269, 330, 334, 395, 268, 359, 341, 414. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
    2. Gezählt: 310, 315, 335, 314, 318, 330, 334, 341
    3. Das sind 8
    Ergebnis:
    8 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Wie viele haben mindestens 30 min?
    KlasseAnzahl10 bis unter 20 min820 bis unter 30 min930 bis unter 40 min640 bis unter 50 min2
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 30: 6, 2
    2. 6 + 2 = 8
    Ergebnis:
    8 Personen
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 4, 9, 10, 1 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 4, 9, 10, 1 vergleichen
    2. Die Säule 160 bis unter 170 ist 10 hoch
    3. Richtig ist 9
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 9 statt 10
  6. ●30
    Jonas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl85225
    Lösung zeigen
    1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 13
    3. Median: 1
    Ergebnis:
    Median 1

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 117, 116, 79, 109, 55, 89, 156, 99, 172, 116, 85, 68, 123, 92, 84. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 5, 6, 1, 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 20 min?
    0123456789101101020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Aylin schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 29 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl475283
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl482107
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,27

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 16, 17, 15, 13, 13. Staffel B: 14, 16, 18, 14, 19, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 22, 31, 22, 16, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 58,2 statt 22,75; Median 22 statt 22

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 13 % auf 19 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht13 %19 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 46,15 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ja, die Antworten sind Zahlen
  4. 3, 3, 5, 2, 2
  5. 6 Werte
  6. 4 Werte
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 36,67 %
  10. Modalwert 2, Median 2
  11. Median 3
  12. Modalwert 4, Median 4
  13. 2,5
  14. 3
  15. 3,46
  16. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  17. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  19. Mittelwert 195 statt 108,75; Median 116 statt 107
  20. Mittelwert 69,6 statt 24,5; Median 25 statt 23
  21. Mittelwert 175 statt 124,17; Median 127 statt 123,5
  22. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 29,41 % mehr
  23. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 14,81 % mehr
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. nein, besser: Verkehrsmittel
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 8 Werte
  28. 8 Personen
  29. 160 bis unter 170 cm: 9 statt 10
  30. Median 1
  31. ja, die Antworten sind Zahlen
  32. 1, 5, 6, 1, 2
  33. 4 Werte
  34. Median 3
  35. 3,27
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  37. Mittelwert 58,2 statt 22,75; Median 22 statt 22
  38. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 46,15 % mehr
  39. x̄ = 7
  40. Median 7; Spannweite 16