Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 7, 6, 11, 9, 9. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 8,4
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 14, 6, 14, 5, 10. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 5, 6, 10, 14, 14
2. Median = mittlerer Wert = 10
3. Spannweite = 14 − 5 = 9
Ergebnis:
Median 10; Spannweite 9

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Jonas will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Ergebnis:

nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
So fängst du an:
Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Verkehrsmittel, Kategorien
●2
Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Wunschgericht, Kategorien
★3
Zeynep will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
2. Besser: Schlafdauer in Stunden
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 153, 172, 165, 168, 168, 167, 176, 173, 156, 167, 167, 183, 165, 155, 177. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.

Schritt für Schritt

150 bis unter 160 cm: 3
160 bis unter 170 cm: 7
170 bis unter 180 cm: 4
180 bis unter 190 cm: 1
Probe: 3 + 7 + 4 + 1 = 15

150 bis unter 160 cm: 3
160 bis unter 170 cm: 7
170 bis unter 180 cm: 4
180 bis unter 190 cm: 1
Probe: 3 + 7 + 4 + 1 = 15

Ergebnis:

150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 7; 170 bis unter 180: 4; 180 bis unter 190: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 61, 122, 91, 86, 111, 104, 119, 101, 34, 86, 129, 115, 74, 90, 42. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
So fängst du an:
30 bis unter 60 min: 2
Lösung zeigen
1. 30 bis unter 60 min: 2
2. 60 bis unter 90 min: 4
3. 90 bis unter 120 min: 7
4. 120 bis unter 150 min: 2
5. Probe: 2 + 4 + 7 + 2 = 15
Ergebnis:
2, 4, 7, 2
●5
Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 22, 17, 33, 28, 19, 24, 37, 32, 24, 24, 19, 20, 36, 10, 23. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 10 bis unter 20 min: 4
2. 20 bis unter 30 min: 7
3. 30 bis unter 40 min: 4
4. Probe: 4 + 7 + 4 = 15
Ergebnis:
10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 4
★6
Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 81, 93, 68, 32, 141, 82, 56, 116, 88, 67, 115, 95, 109, 167, 121, 39, 105, 158, 106, 79. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 30 bis unter 60 min: 3
2. 60 bis unter 90 min: 6
3. 90 bis unter 120 min: 7
4. 120 bis unter 150 min: 2
5. 150 bis unter 180 min: 2
6. Probe: 3 + 6 + 7 + 2 + 2 = 20
Ergebnis:
30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?

Schritt für Schritt

Säulen links von 30: 8, 7
8 + 7 = 15

Säulen links von 30: 8, 7
8 + 7 = 15

Ergebnis:

15 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
So fängst du an:
Höchste Säule: über 120 bis 150
Lösung zeigen
1. Höchste Säule: über 120 bis 150
2. Höhe 7
Ergebnis:
120 bis unter 150 min: 7
●8
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 90: 4, 7
2. 4 + 7 = 11
Ergebnis:
11 Werte
★9
Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 160 cm oder darüber?
Lösung zeigen
1. Ab 160: 14 + 10 + 3 = 27
2. Gesamt: 30
3. 27 : 30 · 100 = 90
Ergebnis:
90 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Sara schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 28 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.

Schritt für Schritt

28 Werte: Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 12, bis 3: 19
Median: 3

28 Werte: Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
Aufsummiert: bis 1: 4, bis 2: 12, bis 3: 19
Median: 3

Ergebnis:

Median 3

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 22 Antworten.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 0 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 13
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 1
●11
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 17 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 5 (7-mal)
2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
3. Aufsummiert: bis 2: 5, bis 3: 5, bis 4: 6, bis 5: 13
4. Median: 5
Ergebnis:
Modalwert 5, Median 5
★12
Emre schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 35 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 35 Werte: Median ist der 18. Wert
2. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 17, bis 3: 22
3. Median: 3
Ergebnis:
Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

0 · 3 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 7 + 4 · 6 = 48
Anzahl aller Werte: 19
48 : 19 ≈ 2,53

0 · 3 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 7 + 4 · 6 = 48
Anzahl aller Werte: 19
48 : 19 ≈ 2,53

Ergebnis:

2,53

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
So fängst du an:
0 · 6 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 0 = 13
Lösung zeigen
1. 0 · 6 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 0 = 13
2. Anzahl aller Werte: 16
3. 13 : 16 ≈ 0,81
Ergebnis:
0,81
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 23 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 8 + 1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 1 + 4 · 3 = 31
2. Anzahl aller Werte: 23
3. 31 : 23 ≈ 1,35
Ergebnis:
1,35
★15
Von Handyzeit am Tag kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 45, 75, 105, 135, 165
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 2235
3. 2235 : 25 = 89,4
Ergebnis:
etwa 89,4 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 17, 13, 19, 18, 16. Staffel B: 14, 16, 18, 18, 18, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
Spannweite: 6 gegen 4

Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
Spannweite: 6 gegen 4

Ergebnis:

im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 393, 336, 334, 364, 288, 293. Gruppe Süd: 326, 298, 291, 349, 405, 381. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Gruppe Nord: 2008 : 6 ≈ 334,67
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2008 : 6 ≈ 334,67
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2050 : 6 ≈ 341,67
3. Spannweite: 105 gegen 114
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
●17
Punkte im Test. 8a: 18, 22, 14, 10, 18, 11. 8b: 20, 14, 8, 19, 7, 18. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 93 : 6 = 15,5
2. Mittelwert 8b: 86 : 6 ≈ 14,33
3. Spannweite: 12 gegen 13
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
★18
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 17, 16, 15, 16, 16, 15, 15. Staffel B: 16, 17, 14, 17, 16, 16, 19, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 129 : 8 ≈ 16,13
2. Mittelwert Staffel B: 128 : 8 = 16
3. Spannweite: 4 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 132, 76, 70, 64, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.

Schritt für Schritt

Mit 600: Mittelwert 942 : 5 = 188,4, Median 76
Ohne: Mittelwert 342 : 4 = 85,5, Median 73
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 600: Mittelwert 942 : 5 = 188,4, Median 76
Ohne: Mittelwert 342 : 4 = 85,5, Median 73
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 188,4 statt 85,5; Median 76 statt 73

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Handyzeit am Tag in Minuten: 132, 111, 136, 73, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 540: Mittelwert 992 : 5 = 198,4, Median 132
Lösung zeigen
1. Mit 540: Mittelwert 992 : 5 = 198,4, Median 132
2. Ohne: Mittelwert 452 : 4 = 113, Median 121,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 198,4 statt 113; Median 132 statt 121,5
●20
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 4, 6, 5, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
Lösung zeigen
1. Mit 40: Mittelwert 62 : 5 = 12,4, Median 6
2. Ohne: Mittelwert 22 : 4 = 5,5, Median 5,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12,4 statt 5,5; Median 6 statt 5,5
★21
Taschengeld im Monat in Euro: 16, 22, 26, 29, 19, 30, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 250: Mittelwert 392 : 7 = 56, Median 26
2. Ohne: Mittelwert 142 : 6 ≈ 23,67, Median 24
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 56 statt 23,67; Median 26 statt 24

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „88 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?

Schritt für Schritt

7 von 8 sind 87,5 %
Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

7 von 8 sind 87,5 %
Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

Ergebnis:

nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
6 von 8 sind 75 %
Lösung zeigen
1. 6 von 8 sind 75 %
2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 68 %, Chat-App 54 %, Spiele 35 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 68 + 54 + 35 = 157
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen
★24
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 45 %, Chat-App 46 %, Spiele 35 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 45 + 46 + 35 = 126
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Emre will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
2. Besser: Wunschgericht
Ergebnis:
nein, besser: Wunschgericht
●26
Ben befragt für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“ die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen – insgesamt 45 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
Lösung zeigen
1. Problem: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
Ergebnis:
verzerrte Auswahl; besser auslosen
●27
Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 15, 38, 29, 17, 27, 38, 27, 38, 34, 20, 20, 21, 31, 32, 24. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 10 bis unter 20 min: 2
2. 20 bis unter 30 min: 7
3. 30 bis unter 40 min: 6
4. Probe: 2 + 7 + 6 = 15
Ergebnis:
10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6
●28
Die Tabelle zeigt Sprungweite von 25 Kindern beim Sportfest. Wie viele haben mindestens 400 cm?
Lösung zeigen
1. Klassen ab 400: 3
2. Nur eine Klasse: 3
Ergebnis:
3 Personen
●29
Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 350: 3, 11
2. 3 + 11 = 14
Ergebnis:
14 Werte
●30
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 2, 3, 6, 7, 5, 1 für die Klassen ab 0 min. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 2, 3, 6, 7, 5, 1 vergleichen
2. Die Säule 90 bis unter 120 ist 8 hoch
3. Richtig ist 7
Ergebnis:
90 bis unter 120 min: 7 statt 8

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Emre will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Verkehrsmittel
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Die Werte (Körpergröße in cm): 162, 174, 164, 169, 167, 152, 168, 171, 178, 171, 181, 165, 168, 175, 184. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 160 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1 Werte
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
Lösung zeigen
Ergebnis:
10 bis unter 20 min: 7
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Emre schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 25 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Median 1
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
3,57
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 344, 327, 309, 355, 286, 355. Gruppe Süd: 338, 387, 365, 405, 359, 285. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Taschengeld im Monat in Euro: 20, 33, 25, 26, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 70,8 statt 26; Median 26 statt 25,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

Verkehrsmittel, Kategorien
Wunschgericht, Kategorien
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
2, 4, 7, 2
10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 4
30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 6; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2
120 bis unter 150 min: 7
11 Werte
90 %
Modalwert 0, Median 1
Modalwert 5, Median 5
Median 3
0,81
1,35
etwa 89,4 min
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
Mittelwert 198,4 statt 113; Median 132 statt 121,5
Mittelwert 12,4 statt 5,5; Median 6 statt 5,5
Mittelwert 56 statt 23,67; Median 26 statt 24
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nein, besser: Wunschgericht
verzerrte Auswahl; besser auslosen
10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 6
3 Personen
14 Werte
90 bis unter 120 min: 7 statt 8
nein, besser: Verkehrsmittel
1 Werte
10 bis unter 20 min: 7
Median 1
3,57
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
Mittelwert 70,8 statt 26; Median 26 statt 25,5
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
x̄ = 8,4
Median 10; Spannweite 9