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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 14, 6, 15, 7, 12. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 8, 17, 7, 16. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 7, 8, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 17 − 5 = 12
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Emre will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    2. Besser: Verkehrsmittel
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel
  2. ●2
    Noah will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
    2. Besser: Wunschgericht
    Ergebnis:
    nein, besser: Wunschgericht
  3. ★3
    Mila will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 76, 89, 77, 79, 113, 39, 48, 108, 75, 126, 74, 121, 132, 63, 64. Wie viele Werte liegen in der Klasse 90 bis unter 120 min? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
  2. Gezählt: 113, 108
  3. Das sind 2
  1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
  2. Gezählt: 113, 108
  3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 27, 141, 93, 106, 63, 96, 57, 28, 89, 60, 37, 105, 143, 74, 119. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    0 bis unter 30 min: 2
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 2
    2. 30 bis unter 60 min: 2
    3. 60 bis unter 90 min: 4
    4. 90 bis unter 120 min: 5
    5. 120 bis unter 150 min: 2
    6. Probe: 2 + 2 + 4 + 5 + 2 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 30: 2; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 2
  2. ●5
    15 Werte (Schulweg in min): 43, 38, 34, 34, 24, 34, 34, 16, 24, 21, 20, 20, 19, 18, 26. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 3
    2. 20 bis unter 30 min: 6
    3. 30 bis unter 40 min: 5
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 3 + 6 + 5 + 1 = 15
    Ergebnis:
    3, 6, 5, 1
  3. ★6
    20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 59, 101, 128, 46, 134, 49, 110, 124, 99, 155, 144, 149, 54, 148, 25, 30, 119, 97, 88, 35. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 30?30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 6
    3. 60 bis unter 90 min: 1
    4. 90 bis unter 120 min: 5
    5. 120 bis unter 150 min: 6
    6. 150 bis unter 180 min: 1
    7. Probe: 1 + 6 + 1 + 5 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    1, 6, 1, 5, 6, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 7, 3, 3
  2. Summe: 2 + 5 + 7 + 3 + 3 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 7, 3, 3
  2. Summe: 2 + 5 + 7 + 3 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678910306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Höchste Säule: über 90 bis 120
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 90 bis 120
    2. Höhe 9
    Ergebnis:
    90 bis unter 120 min: 9
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 20 min?
    0123456789010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 20: 2, 8
    2. 2 + 8 = 10
    Ergebnis:
    10 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    012345678910306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 90: 8, 7
    2. 8 + 7 = 15
    Ergebnis:
    15 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 16 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Anzahl01234Anzahl53206
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 4 (6-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 8, bis 2: 10
  4. Median: 1,5
  1. Häufigster Wert: 4 (6-mal)
  2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 8, bis 2: 10
  4. Median: 1,5
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 1,5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 16 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl41524
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (5-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (5-mal)
    2. 16 Werte, Median ist das Mittel aus dem 8. und 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 5, bis 2: 10
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  2. ●11
    Aylin schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 30 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl83676
    Lösung zeigen
    1. 30 Werte: Median ist das Mittel aus dem 15. und 16. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 11, bis 2: 17
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Jonas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 14 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl21524
    Lösung zeigen
    1. 14 Werte: Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 8
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 25 Antworten).
Tore012345Anzahl083572
Schritt für Schritt
  1. 0 · 0 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 7 + 5 · 2 = 67
  2. Anzahl aller Werte: 25
  3. 67 : 25 = 2,68
  1. 0 · 0 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 7 + 5 · 2 = 67
  2. Anzahl aller Werte: 25
  3. 67 : 25 = 2,68
Ergebnis:
2,68

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl136122
    So fängst du an:
    0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 6 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 2 = 36
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 6 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 2 = 36
    2. Anzahl aller Werte: 15
    3. 36 : 15 = 2,4
    Ergebnis:
    2,4
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 20 Antworten).
    Note123456Anzahl471233
    Lösung zeigen
    1. 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 3 + 6 · 3 = 62
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 62 : 20 = 3,1
    Ergebnis:
    3,1
  3. ★15
    Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm6160 bis unter 170 cm16170 bis unter 180 cm3
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 155, 165, 175
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4095
    3. 4095 : 25 = 163,8
    Ergebnis:
    etwa 163,8 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 19, 15, 17, 17, 16. Staffel B: 14, 17, 14, 14, 16, 15. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert Staffel B: 90 : 6 = 15
  3. Spannweite: 4 gegen 3
  1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert Staffel B: 90 : 6 = 15
  3. Spannweite: 4 gegen 3
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 297, 302, 290, 389, 321, 377. Gruppe Süd: 352, 329, 299, 414, 319, 305. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 1976 : 6 ≈ 329,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 1976 : 6 ≈ 329,33
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2018 : 6 ≈ 336,33
    3. Spannweite: 99 gegen 115
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 410, 392, 295, 326, 367, 302. Gruppe Süd: 393, 333, 324, 373, 354, 284. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2092 : 6 ≈ 348,67
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2061 : 6 = 343,5
    3. Spannweite: 115 gegen 109
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 286, 329, 352, 401, 349, 297, 382, 340. Gruppe Süd: 298, 339, 283, 301, 407, 364, 296, 346. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2736 : 8 = 342
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2634 : 8 = 329,25
    3. Spannweite: 115 gegen 124
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 17, 27, 40, 17, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
Schritt für Schritt
  1. Mit 150: Mittelwert 251 : 5 = 50,2, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 101 : 4 = 25,25, Median 22
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 150: Mittelwert 251 : 5 = 50,2, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 101 : 4 = 25,25, Median 22
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 50,2 statt 25,25; Median 27 statt 22

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 21, 37, 16, 34, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 200: Mittelwert 308 : 5 = 61,6, Median 34
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 308 : 5 = 61,6, Median 34
    2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 27,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 61,6 statt 27; Median 34 statt 27,5
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 3, 9, 3, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 60 : 5 = 12, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 4
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12 statt 5; Median 5 statt 4
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 101, 62, 118, 124, 92, 65, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 1042 : 7 ≈ 148,86, Median 101
    2. Ohne: Mittelwert 562 : 6 ≈ 93,67, Median 96,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 148,86 statt 93,67; Median 101 statt 96,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 14 % auf 18 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht14 %18 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 18 − 14 = 4 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 18 − 14 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 14 · 100 ≈ 28,57 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 28,57 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 20 % auf 28 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht20 %28 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 28 − 20 = 8 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 8 : 20 · 100 = 40 %
    Ergebnis:
    ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 40 % mehr
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „63 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht63 Prozent8 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 5 von 8 sind 62,5 %
    2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“: A befragt 40 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder. B lost 40 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht40 Personen40 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    beide brauchbar, B am sichersten
  3. ●27
    Die Werte (Schulweg in min): 34, 22, 26, 17, 15, 6, 28, 15, 24, 23, 26, 23, 33, 27, 25. Wie viele Werte liegen in der Klasse 0 bis unter 10 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 0 und alles bis kurz vor 10
    2. Gezählt: 6
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Wie viele haben mindestens 180 cm?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm6160 bis unter 170 cm10170 bis unter 180 cm8180 bis unter 190 cm1
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 180: 1
    2. Nur eine Klasse: 1
    Ergebnis:
    1 Personen
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 3, 8, 5
    2. 3 + 8 + 5 = 16
    Ergebnis:
    16 Werte
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm5160 bis unter 170 cm14170 bis unter 180 cm3180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 2,5, 7, 1,5, 1 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    2,5, 7, 1,5, 1 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Lieblingsmusikrichtung, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Schulweg in min): 33, 13, 18, 7, 25, 25, 21, 20, 16, 24, 13, 15, 23, 19, 12. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1, 7, 6, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 6

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 29 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl811757
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 4

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 22 Antworten).
    Note123456Anzahl276502
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 18, 13, 16, 14, 13. Staffel B: 18, 14, 18, 15, 14, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 9, 6, 5, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 6 statt 5,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Verkehrsmittel
  2. nein, besser: Wunschgericht
  3. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  4. 0 bis unter 30: 2; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 2
  5. 3, 6, 5, 1
  6. 1, 6, 1, 5, 6, 1
  7. 90 bis unter 120 min: 9
  8. 10 Werte
  9. 15 Werte
  10. Modalwert 2, Median 2
  11. Median 2
  12. Median 2
  13. 2,4
  14. 3,1
  15. etwa 163,8 cm
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  19. Mittelwert 61,6 statt 27; Median 34 statt 27,5
  20. Mittelwert 12 statt 5; Median 5 statt 4
  21. Mittelwert 148,86 statt 93,67; Median 101 statt 96,5
  22. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 28,57 % mehr
  23. ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 40 % mehr
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  26. beide brauchbar, B am sichersten
  27. 1 Werte
  28. 1 Personen
  29. 16 Werte
  30. 2,5, 7, 1,5, 1 Kästchen
  31. Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  32. 1, 7, 6, 1
  33. 60 bis unter 90 min: 6
  34. Modalwert 1, Median 4
  35. 3
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 6 statt 5,5
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 10,8
  40. Median 8; Spannweite 12