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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 10, 5, 7, 12, 5. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 15, 8, 4, 4, 6. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 4, 6, 8, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 6
    3. Spannweite = 15 − 4 = 11
    Ergebnis:
    Median 6; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Verkehrsmittel, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. ●2
    Mila will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: der Preis sagt nicht, was gewünscht wird
    2. Besser: Wunschgericht
    Ergebnis:
    nein, besser: Wunschgericht
  3. ★3
    Ben will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
    2. Besser: Lieblingssportart
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingssportart

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 373, 268, 367, 393, 328, 403, 372, 430, 321, 371, 388, 298, 301, 289, 328. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 3
  2. 300 bis unter 350 cm: 4
  3. 350 bis unter 400 cm: 6
  4. 400 bis unter 450 cm: 2
  5. Probe: 3 + 4 + 6 + 2 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 3
  2. 300 bis unter 350 cm: 4
  3. 350 bis unter 400 cm: 6
  4. 400 bis unter 450 cm: 2
  5. Probe: 3 + 4 + 6 + 2 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 4; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 86, 96, 85, 159, 156, 115, 146, 157, 60, 117, 144, 77, 145, 128, 152. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    So fängst du an:
    60 bis unter 90 min: 4
    Lösung zeigen
    1. 60 bis unter 90 min: 4
    2. 90 bis unter 120 min: 3
    3. 120 bis unter 150 min: 4
    4. 150 bis unter 180 min: 4
    5. Probe: 4 + 3 + 4 + 4 = 15
    Ergebnis:
    4, 3, 4, 4
  2. ●5
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 97, 97, 83, 80, 73, 35, 111, 119, 80, 42, 83, 84, 95, 132, 113. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 6
    3. 90 bis unter 120 min: 6
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. Probe: 2 + 6 + 6 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 6, 6, 1
  3. ★6
    Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 164, 167, 169, 167, 182, 163, 160, 170, 157, 161, 173, 175, 155, 154, 176, 171, 162, 178, 152, 154. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 5
    2. 160 bis unter 170 cm: 8
    3. 170 bis unter 180 cm: 6
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 5 + 8 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
01234567891001020304050Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 6, 9, 1
  2. Summe: 1 + 3 + 6 + 9 + 1 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 6, 9, 1
  2. Summe: 1 + 3 + 6 + 9 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 40 min?
    0123456701020304050Schulweg in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 40: 2, 4, 6, 6
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 40: 2, 4, 6, 6
    2. 2 + 4 + 6 + 6 = 18
    Ergebnis:
    18 Werte
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 300 bis 350
    2. Höhe 8
    Ergebnis:
    300 bis unter 350 cm: 8
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    02468101214250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 5, 7, 13, 5
    2. Summe: 5 + 7 + 13 + 5 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 27 Antworten.
Note123456Anzahl504783
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
  2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 5, bis 3: 9, bis 4: 16
  4. Median: 4
  1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
  2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 5, bis 3: 9, bis 4: 16
  4. Median: 4
Ergebnis:
Modalwert 5, Median 4

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mila schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 23 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl246245
    So fängst du an:
    23 Werte: Median ist der 12. Wert
    Lösung zeigen
    1. 23 Werte: Median ist der 12. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 6, bis 3: 12
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  2. ●11
    Sara schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 31 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl37678
    Lösung zeigen
    1. 31 Werte: Median ist der 16. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 10, bis 2: 16
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 29 Antworten.
    Bücher01234Anzahl636113
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (11-mal)
    2. 29 Werte, Median ist der 15. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 9, bis 2: 15
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Tore012345Anzahl730200
Schritt für Schritt
  1. 0 · 7 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 0 + 5 · 0 = 9
  2. Anzahl aller Werte: 12
  3. 9 : 12 = 0,75
  1. 0 · 7 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 0 + 5 · 0 = 9
  2. Anzahl aller Werte: 12
  3. 9 : 12 = 0,75
Ergebnis:
0,75

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 15 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl16314
    So fängst du an:
    0 · 1 + 1 · 6 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 4 = 31
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 6 + 2 · 3 + 3 · 1 + 4 · 4 = 31
    2. Anzahl aller Werte: 15
    3. 31 : 15 ≈ 2,07
    Ergebnis:
    2,07
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 23 Antworten).
    Note123456Anzahl270815
    Lösung zeigen
    1. 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 0 + 4 · 8 + 5 · 1 + 6 · 5 = 83
    2. Anzahl aller Werte: 23
    3. 83 : 23 ≈ 3,61
    Ergebnis:
    3,61
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 40 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl10211710
    Lösung zeigen
    1. 0 · 10 + 1 · 2 + 2 · 11 + 3 · 7 + 4 · 10 = 85
    2. Anzahl aller Werte: 40
    3. 85 : 40 ≈ 2,13
    Ergebnis:
    2,13

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 359, 321, 390, 388, 385, 417. Gruppe Süd: 346, 329, 384, 389, 350, 306. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2260 : 6 ≈ 376,67
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2104 : 6 ≈ 350,67
  3. Spannweite: 96 gegen 83
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2260 : 6 ≈ 376,67
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2104 : 6 ≈ 350,67
  3. Spannweite: 96 gegen 83
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 354, 383, 415, 293, 357, 322. Gruppe Süd: 385, 304, 367, 416, 355, 282. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2124 : 6 = 354
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2124 : 6 = 354
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2109 : 6 = 351,5
    3. Spannweite: 122 gegen 134
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 15, 14, 17, 18, 16. Staffel B: 13, 16, 15, 15, 19, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 93 : 6 = 15,5
    2. Mittelwert Staffel B: 95 : 6 ≈ 15,83
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 19, 19, 15, 19, 17, 18, 17. Staffel B: 19, 18, 16, 13, 17, 16, 16, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 138 : 8 = 17,25
    2. Mittelwert Staffel B: 129 : 8 ≈ 16,13
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 101, 126, 134, 128, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 1029 : 5 = 205,8, Median 128
  2. Ohne: Mittelwert 489 : 4 = 122,25, Median 127
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 1029 : 5 = 205,8, Median 128
  2. Ohne: Mittelwert 489 : 4 = 122,25, Median 127
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 205,8 statt 122,25; Median 128 statt 127

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 5, 5, 9, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    So fängst du an:
    Mit 40: Mittelwert 63 : 5 = 12,6, Median 5
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 63 : 5 = 12,6, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 23 : 4 = 5,75, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 5 statt 5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 139, 114, 125, 121, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 979 : 5 = 195,8, Median 125
    2. Ohne: Mittelwert 499 : 4 = 124,75, Median 123
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 195,8 statt 124,75; Median 125 statt 123
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 24, 34, 30, 39, 33, 21, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 381 : 7 ≈ 54,43, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 181 : 6 ≈ 30,17, Median 31,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 54,43 statt 30,17; Median 33 statt 31,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 54 %, Chat-App 38 %, Spiele 32 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
gegebengesucht54 %38 %32 %100 %?
Schritt für Schritt
  1. 54 + 38 + 32 = 124
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
  1. 54 + 38 + 32 = 124
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    So fängst du an:
    Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,6 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,6 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 54 %, Chat-App 57 %, Spiele 40 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht54 %57 %40 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 54 + 57 + 40 = 151
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Sara will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  2. ●26
    Jonas befragt für die Frage „Wie viele Kinder unserer Schule haben ein Haustier?“ alle Kinder, deren Nachname mit A bis C beginnt – insgesamt 35 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Kein Problem: der Anfangsbuchstabe hängt nicht mit Haustieren zusammen
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  3. ●27
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 329, 342, 400, 436, 388, 402, 305, 328, 375, 310, 405, 395, 394, 312, 369. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 300. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 300 bis unter 350 cm: 6
    2. 350 bis unter 400 cm: 5
    3. 400 bis unter 450 cm: 4
    4. Probe: 6 + 5 + 4 = 15
    Ergebnis:
    300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 4
  4. ●28
    In der Tabelle (Sprungweite) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm4300 bis unter 350 cm10350 bis unter 400 cm9400 bis unter 450 cm2
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 4 + 10 + 9 + 2 = 25
    2. Größte Anzahl: 10
    Ergebnis:
    25; 300 bis unter 350 cm
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    024681012150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 12, 6, 1
    2. Summe: 1 + 12 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  6. ●30
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 4, 11, 8, 4, 3 für die Klassen ab 30 min. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    0123456789101112306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 4, 11, 8, 4, 3 vergleichen
    2. Die Säule 150 bis unter 180 ist 4 hoch
    3. Richtig ist 3
    Ergebnis:
    150 bis unter 180 min: 3 statt 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Sprungweite in cm): 338, 433, 299, 291, 259, 284, 347, 359, 398, 332, 352, 309, 417, 317, 333. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    350 bis unter 400 cm: 8

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Lea schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 12 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl02712
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl022353
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    4,33

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 325, 293, 327, 343, 333, 414. Gruppe Süd: 336, 327, 283, 362, 409, 359. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 9, 4, 2, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 10,6 statt 4,5; Median 4 statt 3,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent8 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. nein, besser: Wunschgericht
  3. nein, besser: Lieblingssportart
  4. 4, 3, 4, 4
  5. 2, 6, 6, 1
  6. 150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1
  7. 18 Werte
  8. 300 bis unter 350 cm: 8
  9. 30 Personen
  10. Median 3
  11. Median 2
  12. Modalwert 3, Median 2
  13. 2,07
  14. 3,61
  15. 2,13
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 5 statt 5
  20. Mittelwert 195,8 statt 124,75; Median 125 statt 123
  21. Mittelwert 54,43 statt 30,17; Median 33 statt 31,5
  22. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  25. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  26. kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  27. 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 5; 400 bis unter 450: 4
  28. 25; 300 bis unter 350 cm
  29. 20 Personen
  30. 150 bis unter 180 min: 3 statt 4
  31. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  32. 3 Werte
  33. 350 bis unter 400 cm: 8
  34. Median 2
  35. 4,33
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  37. Mittelwert 10,6 statt 4,5; Median 4 statt 3,5
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 7,8
  40. Median 6; Spannweite 11