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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 3, 13, 5, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8,2
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 15, 7, 3, 13, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 7, 11, 13, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 15 − 3 = 12
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Schlafdauer in Stunden, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Wunschgericht, Kategorien
  3. ★3
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 423, 348, 345, 279, 418, 341, 402, 354, 281, 357, 387, 291, 333, 340, 386. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
gegebengesucht15 Kindern50 cm?
Schritt für Schritt
  1. 250 bis unter 300 cm: 3
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 4
  4. 400 bis unter 450 cm: 3
  5. Probe: 3 + 5 + 4 + 3 = 15
  1. 250 bis unter 300 cm: 3
  2. 300 bis unter 350 cm: 5
  3. 350 bis unter 400 cm: 4
  4. 400 bis unter 450 cm: 3
  5. Probe: 3 + 5 + 4 + 3 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 3

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 45, 103, 107, 111, 163, 112, 137, 48, 62, 83, 86, 86, 106, 75, 61. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    So fängst du an:
    30 bis unter 60 min: 2
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 6
    3. 90 bis unter 120 min: 5
    4. 120 bis unter 150 min: 1
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 2 + 6 + 5 + 1 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 6, 5, 1, 1
  2. ●5
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 405, 392, 293, 370, 368, 334, 365, 316, 329, 317, 357, 349, 356, 359, 397. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 1
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 8
    4. 400 bis unter 450 cm: 1
    5. Probe: 1 + 5 + 8 + 1 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 1
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 86, 130, 145, 35, 61, 61, 70, 90, 70, 34, 151, 144, 120, 62, 80, 26, 72, 97, 88, 122. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 2
    3. 60 bis unter 90 min: 9
    4. 90 bis unter 120 min: 2
    5. 120 bis unter 150 min: 5
    6. 150 bis unter 180 min: 1
    7. Probe: 1 + 2 + 9 + 2 + 5 + 1 = 20
    Ergebnis:
    0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 9; 90 bis unter 120: 2; 120 bis unter 150: 5; 150 bis unter 180: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 9, 2
  2. Summe: 2 + 7 + 9 + 2 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 9, 2
  2. Summe: 2 + 7 + 9 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
    0123456789306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 120: 2, 4, 6
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 120: 2, 4, 6
    2. 2 + 4 + 6 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789101112250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 300 bis 350
    2. Höhe 11
    Ergebnis:
    300 bis unter 350 cm: 11
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    01234567891011306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 90: 4, 8
    2. 4 + 8 = 12
    Ergebnis:
    12 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Noah schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Anzahl01234Anzahl84055
Schritt für Schritt
  1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 12
  3. Median: 1
  1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 12
  3. Median: 1
Ergebnis:
Median 1

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 18 Antworten.
    Tore012345Anzahl645210
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 0 (6-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (6-mal)
    2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 10
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 22 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl23863
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 5, bis 2: 13
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  3. ★12
    Lea schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 33 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl9154113
    Lösung zeigen
    1. 33 Werte: Median ist der 17. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 9, bis 2: 10, bis 3: 15, bis 4: 19
    3. Median: 4
    Ergebnis:
    Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Note123456Anzahl433604
Schritt für Schritt
  1. 1 · 4 + 2 · 3 + 3 · 3 + 4 · 6 + 5 · 0 + 6 · 4 = 67
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 67 : 20 = 3,35
  1. 1 · 4 + 2 · 3 + 3 · 3 + 4 · 6 + 5 · 0 + 6 · 4 = 67
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 67 : 20 = 3,35
Ergebnis:
3,35

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 29 Antworten).
    Note123456Anzahl163487
    So fängst du an:
    1 · 1 + 2 · 6 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 8 + 6 · 7 = 120
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 6 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 8 + 6 · 7 = 120
    2. Anzahl aller Werte: 29
    3. 120 : 29 ≈ 4,14
    Ergebnis:
    4,14
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl15332
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 5 + 2 · 3 + 3 · 3 + 4 · 2 = 28
    2. Anzahl aller Werte: 14
    3. 28 : 14 = 2
    Ergebnis:
    2
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl11558110
    Lösung zeigen
    1. 0 · 11 + 1 · 5 + 2 · 5 + 3 · 8 + 4 · 1 + 5 · 10 = 93
    2. Anzahl aller Werte: 40
    3. 93 : 40 ≈ 2,33
    Ergebnis:
    2,33

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 19, 15, 16, 15, 19. Staffel B: 13, 18, 16, 13, 18, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
  2. Mittelwert Staffel B: 95 : 6 ≈ 15,83
  3. Spannweite: 4 gegen 5
  1. Mittelwert Staffel A: 101 : 6 ≈ 16,83
  2. Mittelwert Staffel B: 95 : 6 ≈ 15,83
  3. Spannweite: 4 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 409, 326, 308, 324, 363, 311. Gruppe Süd: 287, 403, 390, 304, 357, 414. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2041 : 6 ≈ 340,17
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2041 : 6 ≈ 340,17
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2155 : 6 ≈ 359,17
    3. Spannweite: 101 gegen 127
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 17, 23, 18, 8, 7, 7. 8b: 13, 9, 4, 12, 17, 11. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 80 : 6 ≈ 13,33
    2. Mittelwert 8b: 66 : 6 = 11
    3. Spannweite: 16 gegen 13
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 9, 6, 19, 22, 4, 4, 23, 10. 8b: 18, 14, 13, 21, 11, 22, 17, 20. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 97 : 8 ≈ 12,13
    2. Mittelwert 8b: 136 : 8 = 17
    3. Spannweite: 19 gegen 11
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 22, 39, 27, 20, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 200: Mittelwert 308 : 5 = 61,6, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 24,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 200: Mittelwert 308 : 5 = 61,6, Median 27
  2. Ohne: Mittelwert 108 : 4 = 27, Median 24,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 61,6 statt 27; Median 27 statt 24,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 21, 35, 24, 22, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 250: Mittelwert 352 : 5 = 70,4, Median 24
    Lösung zeigen
    1. Mit 250: Mittelwert 352 : 5 = 70,4, Median 24
    2. Ohne: Mittelwert 102 : 4 = 25,5, Median 23
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 70,4 statt 25,5; Median 24 statt 23
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 6, 9, 5, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 58 : 5 = 11,6, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 23 : 4 = 5,75, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,6 statt 5,75; Median 6 statt 5,5
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 70, 70, 94, 102, 86, 62, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 964 : 7 ≈ 137,71, Median 86
    2. Ohne: Mittelwert 484 : 6 ≈ 80,67, Median 78
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 137,71 statt 80,67; Median 86 statt 78

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 14 % auf 22 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht14 %22 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 22 − 14 = 8 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 8 : 14 · 100 ≈ 57,14 %
  1. Unterschied: 22 − 14 = 8 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 8 : 14 · 100 ≈ 57,14 %
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 57,14 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    So fängst du an:
    Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „73 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht73 Prozent15 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 11 von 15 sind 73,33 %
    2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „95 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht95 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 19 von 20 sind 95 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●26
    Frage: „Welcher Sport ist an unserer Schule beliebt?“ Befragt werden 30 Personen, nämlich die Mitglieder der Fußball-AG. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer in der Fußball-AG ist, mag Fußball – das verzerrt
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 359, 351, 373, 330, 394, 419, 389, 366, 388, 324, 370, 385, 346, 315, 304. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 300. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 300 bis unter 350 cm: 5
    2. 350 bis unter 400 cm: 9
    3. 400 bis unter 450 cm: 1
    4. Probe: 5 + 9 + 1 = 15
    Ergebnis:
    300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 9; 400 bis unter 450: 1
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele haben mindestens 120 min?
    KlasseAnzahl0 bis unter 30 min130 bis unter 60 min560 bis unter 90 min790 bis unter 120 min7120 bis unter 150 min5
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 120: 5
    2. Nur eine Klasse: 5
    Ergebnis:
    5 Personen
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 1, 9, 9
    2. 1 + 9 + 9 = 19
    Ergebnis:
    19 Werte
  6. ●30
    Aylin zeichnet für Sprungweite die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Aylin für die Klassen von 250 bis 450 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (450 − 250) : 50 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Sprungweite in cm): 378, 415, 331, 406, 260, 421, 345, 359, 388, 385, 323, 287, 336, 321, 338. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2, 6, 4, 3

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 21 Antworten.
    Tore012345Anzahl304680
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 22 Antworten).
    Note123456Anzahl237163
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,68

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 17, 23, 21, 9, 17, 10. 8b: 20, 10, 10, 15, 12, 10. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 30, 39, 25, 30, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 54,8 statt 31; Median 30 statt 30

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 64 %, Chat-App 60 %, Spiele 38 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht64 %60 %38 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. Wunschgericht, Kategorien
  3. ja, die Antworten sind Zahlen
  4. 2, 6, 5, 1, 1
  5. 250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 8; 400 bis unter 450: 1
  6. 0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 9; 90 bis unter 120: 2; 120 bis unter 150: 5; 150 bis unter 180: 1
  7. 12 Werte
  8. 300 bis unter 350 cm: 11
  9. 12 Werte
  10. Modalwert 0, Median 1
  11. Modalwert 2, Median 2
  12. Median 4
  13. 4,14
  14. 2
  15. 2,33
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 70,4 statt 25,5; Median 24 statt 23
  20. Mittelwert 11,6 statt 5,75; Median 6 statt 5,5
  21. Mittelwert 137,71 statt 80,67; Median 86 statt 78
  22. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. ja, die Antworten sind Zahlen
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 9; 400 bis unter 450: 1
  28. 5 Personen
  29. 19 Werte
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  32. 2, 6, 4, 3
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 4, Median 3
  35. 3,68
  36. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  37. Mittelwert 54,8 statt 31; Median 30 statt 30
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 8,2
  40. Median 11; Spannweite 12