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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 6, 4, 2, 15, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,2
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 19, 10, 9, 13. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 9, 10, 11, 13, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 19 − 9 = 10
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Tim will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
  2. Besser: Schlafdauer in Stunden
  1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
  2. Besser: Schlafdauer in Stunden
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  3. ★3
    Aylin will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Sprungweite in cm): 319, 330, 325, 351, 343, 309, 379, 357, 370, 397, 274, 339, 322, 325, 395. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
  2. Gezählt: 319, 330, 325, 343, 309, 339, 322, 325
  3. Das sind 8
  1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
  2. Gezählt: 319, 330, 325, 343, 309, 339, 322, 325
  3. Das sind 8
Ergebnis:
8 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 16, 26, 18, 26, 20, 19, 16, 25, 19, 12, 28, 9, 24, 38, 25. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    So fängst du an:
    0 bis unter 10 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 6
    3. 20 bis unter 30 min: 7
    4. 30 bis unter 40 min: 1
    5. Probe: 1 + 6 + 7 + 1 = 15
    Ergebnis:
    1, 6, 7, 1
  2. ●5
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 100, 29, 42, 98, 124, 70, 63, 65, 114, 120, 51, 55, 97, 119, 65. Wie viele Werte liegen in der Klasse 60 bis unter 90 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 60 und alles bis kurz vor 90
    2. Gezählt: 70, 63, 65, 65
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  3. ★6
    Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 165, 162, 153, 161, 156, 162, 167, 169, 163, 168, 173, 170, 180, 171, 181, 183, 168, 154, 164, 181. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 10
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 4
    5. Probe: 3 + 10 + 3 + 4 = 20
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 4

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 180 cm?
012345678150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 180: 5, 7, 7
  2. 5 + 7 + 7 = 19
  1. Säulen links von 180: 5, 7, 7
  2. 5 + 7 + 7 = 19
Ergebnis:
19 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    0123456789101020304050Schulweg in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 30: 6, 4
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 6, 4
    2. 6 + 4 = 10
    Ergebnis:
    10 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    01234567250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 5, 6, 6
    2. 5 + 6 + 6 = 17
    Ergebnis:
    17 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 6, 9, 11, 3, 1
    2. Summe: 6 + 9 + 11 + 3 + 1 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 27 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl46836
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 10, bis 2: 18
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 10, bis 2: 18
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Lukas schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 13 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl360004
    So fängst du an:
    13 Werte: Median ist der 7. Wert
    Lösung zeigen
    1. 13 Werte: Median ist der 7. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 9
    3. Median: 1
    Ergebnis:
    Median 1
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl52265
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
    2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 7, bis 2: 9, bis 3: 15
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 33 Antworten.
    Tore012345Anzahl6311166
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (11-mal)
    2. 33 Werte, Median ist der 17. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 9, bis 2: 10, bis 3: 21
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 28 Antworten).
Tore012345Anzahl281764
Schritt für Schritt
  1. 0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 7 + 4 · 6 + 5 · 4 = 75
  2. Anzahl aller Werte: 28
  3. 75 : 28 ≈ 2,68
  1. 0 · 2 + 1 · 8 + 2 · 1 + 3 · 7 + 4 · 6 + 5 · 4 = 75
  2. Anzahl aller Werte: 28
  3. 75 : 28 ≈ 2,68
Ergebnis:
2,68

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl68367
    So fängst du an:
    0 · 6 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 7 = 60
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 8 + 2 · 3 + 3 · 6 + 4 · 7 = 60
    2. Anzahl aller Werte: 30
    3. 60 : 30 = 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 22 Antworten).
    Note123456Anzahl163480
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 6 + 3 · 3 + 4 · 4 + 5 · 8 + 6 · 0 = 78
    2. Anzahl aller Werte: 22
    3. 78 : 22 ≈ 3,55
    Ergebnis:
    3,55
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl523249
    Lösung zeigen
    1. 1 · 5 + 2 · 2 + 3 · 3 + 4 · 2 + 5 · 4 + 6 · 9 = 100
    2. Anzahl aller Werte: 25
    3. 100 : 25 = 4
    Ergebnis:
    4

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 418, 408, 295, 413, 323, 316. Gruppe Süd: 286, 294, 352, 346, 328, 358. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2173 : 6 ≈ 362,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 1964 : 6 ≈ 327,33
  3. Spannweite: 123 gegen 72
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2173 : 6 ≈ 362,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 1964 : 6 ≈ 327,33
  3. Spannweite: 123 gegen 72
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 13, 15, 6, 24, 24, 16. 8b: 8, 8, 13, 8, 11, 20. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 98 : 6 ≈ 16,33
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 98 : 6 ≈ 16,33
    2. Mittelwert 8b: 68 : 6 ≈ 11,33
    3. Spannweite: 18 gegen 12
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 19, 19, 18, 16, 15. Staffel B: 18, 16, 13, 15, 14, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 105 : 6 = 17,5
    2. Mittelwert Staffel B: 90 : 6 = 15
    3. Spannweite: 4 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 343, 399, 420, 296, 316, 318, 296, 382. Gruppe Süd: 349, 401, 349, 341, 395, 414, 311, 380. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2770 : 8 = 346,25
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2940 : 8 = 367,5
    3. Spannweite: 124 gegen 103
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 121, 99, 125, 132, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 957 : 5 = 191,4, Median 125
  2. Ohne: Mittelwert 477 : 4 = 119,25, Median 123
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 957 : 5 = 191,4, Median 125
  2. Ohne: Mittelwert 477 : 4 = 119,25, Median 123
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 191,4 statt 119,25; Median 125 statt 123

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 5, 3, 7, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    So fängst du an:
    Mit 40: Mittelwert 58 : 5 = 11,6, Median 5
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 58 : 5 = 11,6, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 18 : 4 = 4,5, Median 4
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,6 statt 4,5; Median 5 statt 4
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 8, 2, 5, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 63 : 5 = 12,6, Median 8
    2. Ohne: Mittelwert 23 : 4 = 5,75, Median 6,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 8 statt 6,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 29, 35, 33, 33, 17, 33, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 330 : 7 ≈ 47,14, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 180 : 6 = 30, Median 33
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 47,14 statt 30; Median 33 statt 33

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht80 Prozent15 Kinder?
    So fängst du an:
    12 von 15 sind 80 %
    Lösung zeigen
    1. 12 von 15 sind 80 %
    2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht80 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 8 von 10 sind 80 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 33 % auf 41 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht33 %41 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 41 − 33 = 8 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 8 : 33 · 100 ≈ 24,24 %
    Ergebnis:
    ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 24,24 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“: A befragt 60 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste. B lost 60 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht60 Personen60 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    beide brauchbar, B am sichersten
  3. ●27
    15 Werte (Sprungweite in cm): 358, 343, 378, 382, 393, 277, 399, 321, 349, 360, 346, 297, 317, 386, 406. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 2
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 7
    4. 400 bis unter 450 cm: 1
    5. Probe: 2 + 5 + 7 + 1 = 15
    Ergebnis:
    2, 5, 7, 1
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von 25 Kindern beim Sportfest. Wie viele haben mindestens 300 cm?
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm5300 bis unter 350 cm12350 bis unter 400 cm7400 bis unter 450 cm1
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 300: 12, 7, 1
    2. 12 + 7 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  5. ●29
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 170 bis 180
    2. Höhe 9
    Ergebnis:
    170 bis unter 180 cm: 9
  6. ●30
    Aylin zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Aylin für die Klassen von 150 bis 190 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (190 − 150) : 10 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Körpergröße in cm): 160, 153, 176, 183, 159, 173, 168, 158, 167, 154, 175, 161, 158, 168, 162. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5, 6, 3, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    012345670306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Aylin schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 33 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl427587
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 4

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl67014
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,44

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 16, 18, 16, 13, 14. Staffel B: 16, 17, 15, 15, 16, 14. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 16, 20, 23, 16, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 65 statt 18,75; Median 20 statt 18

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  3. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  4. 1, 6, 7, 1
  5. 4 Werte
  6. 150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 4
  7. 10 Werte
  8. 17 Werte
  9. 30 Personen
  10. Median 1
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Modalwert 3, Median 3
  13. 2
  14. 3,55
  15. 4
  16. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  17. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 11,6 statt 4,5; Median 5 statt 4
  20. Mittelwert 12,6 statt 5,75; Median 8 statt 6,5
  21. Mittelwert 47,14 statt 30; Median 33 statt 33
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 24,24 % mehr
  25. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  26. beide brauchbar, B am sichersten
  27. 2, 5, 7, 1
  28. 20 Personen
  29. 170 bis unter 180 cm: 9
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. ja, die Antworten sind Zahlen
  32. 5, 6, 3, 1
  33. 20 Personen
  34. Median 4
  35. 1,44
  36. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 65 statt 18,75; Median 20 statt 18
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 7,2
  40. Median 11; Spannweite 10