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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 15, 13, 7, 14. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 12,2
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 10, 16, 14, 10. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 10, 10, 14, 16, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 14
    3. Spannweite = 17 − 10 = 7
    Ergebnis:
    Median 14; Spannweite 7

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Lea will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 30, 21, 27, 33, 27, 35, 21, 16, 5, 36, 43, 5, 9, 27, 12. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Schritt für Schritt
  1. 0 bis unter 10 min: 3
  2. 10 bis unter 20 min: 2
  3. 20 bis unter 30 min: 5
  4. 30 bis unter 40 min: 4
  5. 40 bis unter 50 min: 1
  6. Probe: 3 + 2 + 5 + 4 + 1 = 15
  1. 0 bis unter 10 min: 3
  2. 10 bis unter 20 min: 2
  3. 20 bis unter 30 min: 5
  4. 30 bis unter 40 min: 4
  5. 40 bis unter 50 min: 1
  6. Probe: 3 + 2 + 5 + 4 + 1 = 15
Ergebnis:
0 bis unter 10: 3; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 5; 30 bis unter 40: 4; 40 bis unter 50: 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 319, 357, 369, 348, 342, 334, 326, 303, 367, 392, 299, 284, 348, 345, 336. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    So fängst du an:
    250 bis unter 300 cm: 2
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 2
    2. 300 bis unter 350 cm: 9
    3. 350 bis unter 400 cm: 4
    4. Probe: 2 + 9 + 4 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 9; 350 bis unter 400: 4
  2. ●5
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 28, 32, 25, 16, 22, 13, 19, 20, 9, 36, 34, 19, 28, 27, 13. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 5
    3. 20 bis unter 30 min: 6
    4. 30 bis unter 40 min: 3
    5. Probe: 1 + 5 + 6 + 3 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 3
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 69, 155, 69, 105, 61, 100, 120, 89, 79, 57, 84, 145, 101, 68, 121, 139, 88, 99, 160, 55. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 8
    3. 90 bis unter 120 min: 4
    4. 120 bis unter 150 min: 4
    5. 150 bis unter 180 min: 2
    6. Probe: 2 + 8 + 4 + 4 + 2 = 20
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 8; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910140150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 9, 3, 1
  2. Summe: 1 + 6 + 9 + 3 + 1 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 9, 3, 1
  2. Summe: 1 + 6 + 9 + 3 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    01234567306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 60: 3
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 60: 3
    2. Nur eine Säule: 3
    Ergebnis:
    3 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 150 min?
    012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 150: 4, 2, 7, 6
    2. 4 + 2 + 7 + 6 = 19
    Ergebnis:
    19 Werte
  3. ★9
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    02468101214161020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 20 bis 30
    2. Höhe 16
    Ergebnis:
    20 bis unter 30 min: 16

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 29 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Tore012345Anzahl872741
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
  2. 29 Werte, Median ist der 15. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 15
  4. Median: 1
  1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
  2. 29 Werte, Median ist der 15. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 15
  4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 1

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 26 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl66581
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 3 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
    2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 12, bis 2: 17
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 2
  2. ●11
    Mila schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 13 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl81301
    Lösung zeigen
    1. 13 Werte: Median ist der 7. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 8
    3. Median: 0
    Ergebnis:
    Median 0
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 39 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl73611102
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (11-mal)
    2. 39 Werte, Median ist der 20. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 7, bis 2: 10, bis 3: 16, bis 4: 27
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Tore012345Anzahl604125
Schritt für Schritt
  1. 0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 4 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 5 = 44
  2. Anzahl aller Werte: 18
  3. 44 : 18 ≈ 2,44
  1. 0 · 6 + 1 · 0 + 2 · 4 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 5 = 44
  2. Anzahl aller Werte: 18
  3. 44 : 18 ≈ 2,44
Ergebnis:
2,44

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 20 Antworten).
    Note123456Anzahl181217
    So fängst du an:
    1 · 1 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 1 + 6 · 7 = 75
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 2 + 5 · 1 + 6 · 7 = 75
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 75 : 20 = 3,75
    Ergebnis:
    3,75
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 22 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl45715
    Lösung zeigen
    1. 0 · 4 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 5 = 42
    2. Anzahl aller Werte: 22
    3. 42 : 22 ≈ 1,91
    Ergebnis:
    1,91
  3. ★15
    Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm4160 bis unter 170 cm12170 bis unter 180 cm9
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 155, 165, 175
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4175
    3. 4175 : 25 = 167
    Ergebnis:
    etwa 167 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 324, 388, 301, 410, 416, 310. Gruppe Süd: 344, 286, 289, 390, 372, 357. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2149 : 6 ≈ 358,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2038 : 6 ≈ 339,67
  3. Spannweite: 115 gegen 104
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2149 : 6 ≈ 358,17
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2038 : 6 ≈ 339,67
  3. Spannweite: 115 gegen 104
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 317, 336, 296, 301, 389, 346. Gruppe Süd: 420, 399, 307, 356, 320, 368. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 1985 : 6 ≈ 330,83
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 1985 : 6 ≈ 330,83
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2170 : 6 ≈ 361,67
    3. Spannweite: 93 gegen 113
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 16, 13, 17, 13, 21, 10. 8b: 23, 19, 16, 5, 8, 9. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 90 : 6 = 15
    2. Mittelwert 8b: 80 : 6 ≈ 13,33
    3. Spannweite: 11 gegen 18
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 15, 15, 16, 15, 13, 16, 14. Staffel B: 19, 14, 17, 16, 17, 17, 19, 16. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 123 : 8 ≈ 15,38
    2. Mittelwert Staffel B: 135 : 8 ≈ 16,88
    3. Spannweite: 6 gegen 5
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 81, 61, 134, 99, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 915 : 5 = 183, Median 99
  2. Ohne: Mittelwert 375 : 4 = 93,75, Median 90
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 915 : 5 = 183, Median 99
  2. Ohne: Mittelwert 375 : 4 = 93,75, Median 90
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 183 statt 93,75; Median 99 statt 90

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 24, 33, 27, 15, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    So fängst du an:
    Mit 200: Mittelwert 299 : 5 = 59,8, Median 27
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 299 : 5 = 59,8, Median 27
    2. Ohne: Mittelwert 99 : 4 = 24,75, Median 25,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 59,8 statt 24,75; Median 27 statt 25,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 107, 76, 67, 64, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 794 : 5 = 158,8, Median 76
    2. Ohne: Mittelwert 314 : 4 = 78,5, Median 71,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 158,8 statt 78,5; Median 76 statt 71,5
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 4, 3, 2, 8, 2, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 61 : 7 ≈ 8,71, Median 4
    2. Ohne: Mittelwert 26 : 6 ≈ 4,33, Median 3,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 8,71 statt 4,33; Median 4 statt 3,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 43 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht39 %43 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 43 − 39 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 39 · 100 ≈ 10,26 %
  1. Unterschied: 43 − 39 = 4 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 4 : 39 · 100 ≈ 10,26 %
Ergebnis:
ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 10,26 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht70 Prozent10 Kinder?
    So fängst du an:
    7 von 10 sind 70 %
    Lösung zeigen
    1. 7 von 10 sind 70 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 69 %, Chat-App 37 %, Spiele 38 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht69 %37 %38 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 69 + 37 + 38 = 144
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 12 % auf 18 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht12 %18 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 18 − 12 = 6 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 6 : 12 · 100 = 50 %
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 50 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Lukas will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“: A befragt 45 Personen, nämlich die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen. B lost 45 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht45 Personen45 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 160, 170, 166, 168, 181, 172, 168, 181, 178, 177, 171, 177, 151, 170, 149. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 140. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 140 bis unter 150 cm: 1
    2. 150 bis unter 160 cm: 1
    3. 160 bis unter 170 cm: 4
    4. 170 bis unter 180 cm: 7
    5. 180 bis unter 190 cm: 2
    6. Probe: 1 + 1 + 4 + 7 + 2 = 15
    Ergebnis:
    140 bis unter 150: 1; 150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 4; 170 bis unter 180: 7; 180 bis unter 190: 2
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Wie viele haben mindestens 160 cm?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm4160 bis unter 170 cm11170 bis unter 180 cm7180 bis unter 190 cm3
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 160: 11, 7, 3
    2. 11 + 7 + 3 = 21
    Ergebnis:
    21 Personen
  5. ●29
    Tim zeichnet für Schulweg die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Tim für die Klassen von 0 bis 50 min?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (50 − 0) : 10 = 5
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 5 Säulen
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 25 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl237805
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    2. 25 Werte, Median ist der 13. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 5, bis 3: 12, bis 4: 20
    4. Median: 4
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 4

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Ben will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 159, 175, 169, 174, 159, 170, 169, 171, 170, 166, 154, 181, 167, 176, 167. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 5; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 160 cm?
    02468101214150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 17 Antworten.
    Note123456Anzahl612530
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 23 Antworten).
    Note123456Anzahl167342
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,39

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 333, 412, 326, 307, 410, 370. Gruppe Süd: 417, 283, 326, 337, 415, 349. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 135, 85, 113, 101, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 182,8 statt 108,5; Median 113 statt 107

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 32 % auf 38 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht32 %38 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 18,75 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 250 bis unter 300: 2; 300 bis unter 350: 9; 350 bis unter 400: 4
  5. 0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 3
  6. 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 8; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 4; 150 bis unter 180: 2
  7. 3 Werte
  8. 19 Werte
  9. 20 bis unter 30 min: 16
  10. Modalwert 3, Median 2
  11. Median 0
  12. Modalwert 4, Median 4
  13. 3,75
  14. 1,91
  15. etwa 167 cm
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  19. Mittelwert 59,8 statt 24,75; Median 27 statt 25,5
  20. Mittelwert 158,8 statt 78,5; Median 76 statt 71,5
  21. Mittelwert 8,71 statt 4,33; Median 4 statt 3,5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 50 % mehr
  25. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  26. B
  27. 140 bis unter 150: 1; 150 bis unter 160: 1; 160 bis unter 170: 4; 170 bis unter 180: 7; 180 bis unter 190: 2
  28. 21 Personen
  29. ohne Lücken, 5 Säulen
  30. Modalwert 4, Median 4
  31. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  32. 150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 5; 170 bis unter 180: 6; 180 bis unter 190: 1
  33. 1 Werte
  34. Modalwert 1, Median 3
  35. 3,39
  36. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  37. Mittelwert 182,8 statt 108,5; Median 113 statt 107
  38. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 18,75 % mehr
  39. x̄ = 12,2
  40. Median 14; Spannweite 7