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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 15, 9, 14, 12, 7. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 11,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 19, 17, 18, 2, 7. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 7, 17, 18, 19
    2. Median = mittlerer Wert = 17
    3. Spannweite = 19 − 2 = 17
    Ergebnis:
    Median 17; Spannweite 17

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Noah will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Lieblingsbuch sagt nichts über die Anzahl
    2. Besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    Ergebnis:
    nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  3. ★3
    Tim will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: ohne die Einschlafzeit ist die Dauer unbekannt
    2. Besser: Schlafdauer in Stunden
    Ergebnis:
    nein, besser: Schlafdauer in Stunden

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Sprungweite in cm): 319, 332, 373, 395, 369, 364, 305, 427, 341, 309, 294, 353, 363, 352, 361. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
  2. Gezählt: 373, 395, 369, 364, 353, 363, 352, 361
  3. Das sind 8
  1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
  2. Gezählt: 373, 395, 369, 364, 353, 363, 352, 361
  3. Das sind 8
Ergebnis:
8 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Schulweg in min): 9, 16, 16, 26, 10, 26, 20, 23, 24, 23, 24, 22, 37, 12, 22. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 40 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    2. Gezählt: 37
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  2. ●5
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 28, 21, 23, 8, 30, 20, 30, 30, 37, 9, 10, 38, 29, 31, 20. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 2
    2. 10 bis unter 20 min: 1
    3. 20 bis unter 30 min: 6
    4. 30 bis unter 40 min: 6
    5. Probe: 2 + 1 + 6 + 6 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 6
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 158, 35, 80, 135, 94, 44, 86, 148, 62, 54, 136, 49, 61, 99, 108, 147, 124, 132, 96, 90. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 4
    2. 60 bis unter 90 min: 4
    3. 90 bis unter 120 min: 5
    4. 120 bis unter 150 min: 6
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 4 + 4 + 5 + 6 + 1 = 20
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 4; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 6; 150 bis unter 180: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 400: 1, 7, 7
  2. 1 + 7 + 7 = 15
  1. Säulen links von 400: 1, 7, 7
  2. 1 + 7 + 7 = 15
Ergebnis:
15 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 4, 7, 8, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 7, 8, 1
    2. Summe: 4 + 7 + 8 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 5, 8, 5
    2. Summe: 2 + 5 + 8 + 5 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 400 cm oder darüber?
    024681012250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 400: 4
    2. Gesamt: 30
    3. 4 : 30 · 100 ≈ 13,33
    Ergebnis:
    13,33 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 24 Antworten.
Bücher01234Anzahl65328
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
  2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 11, bis 2: 14
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
  2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 11, bis 2: 14
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Sara schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 27 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl535338
    So fängst du an:
    27 Werte: Median ist der 14. Wert
    Lösung zeigen
    1. 27 Werte: Median ist der 14. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 8, bis 2: 13, bis 3: 16
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  2. ●11
    Jonas schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl270506
    Lösung zeigen
    1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 9, bis 2: 9, bis 3: 14
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 28 Antworten.
    Bücher01234Anzahl22789
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (9-mal)
    2. 28 Werte, Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 4, bis 2: 11, bis 3: 19
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Note123456Anzahl487307
Schritt für Schritt
  1. 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 7 + 4 · 3 + 5 · 0 + 6 · 7 = 95
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 95 : 29 ≈ 3,28
  1. 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 7 + 4 · 3 + 5 · 0 + 6 · 7 = 95
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 95 : 29 ≈ 3,28
Ergebnis:
3,28

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 18 Antworten).
    Note123456Anzahl220158
    So fängst du an:
    1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 5 + 6 · 8 = 83
    Lösung zeigen
    1. 1 · 2 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 5 + 6 · 8 = 83
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 83 : 18 ≈ 4,61
    Ergebnis:
    4,61
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 18 Antworten).
    Tore012345Anzahl732015
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 5 = 36
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 36 : 18 = 2
    Ergebnis:
    2
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl6561012
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 5 + 2 · 6 + 3 · 10 + 4 · 1 + 5 · 2 = 61
    2. Anzahl aller Werte: 30
    3. 61 : 30 ≈ 2,03
    Ergebnis:
    2,03

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 16, 19, 20, 22, 15, 20. 8b: 4, 11, 15, 17, 17, 5. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 112 : 6 ≈ 18,67
  2. Mittelwert 8b: 69 : 6 = 11,5
  3. Spannweite: 7 gegen 13
  1. Mittelwert 8a: 112 : 6 ≈ 18,67
  2. Mittelwert 8b: 69 : 6 = 11,5
  3. Spannweite: 7 gegen 13
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 336, 320, 400, 363, 352, 410. Gruppe Süd: 385, 341, 367, 361, 305, 356. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2181 : 6 = 363,5
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2181 : 6 = 363,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2115 : 6 = 352,5
    3. Spannweite: 90 gegen 80
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 17, 11, 18, 15, 11, 18. 8b: 10, 16, 17, 24, 6, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 90 : 6 = 15
    2. Mittelwert 8b: 88 : 6 ≈ 14,67
    3. Spannweite: 7 gegen 18
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 13, 17, 13, 13, 16, 14, 17. Staffel B: 13, 18, 15, 13, 18, 19, 13, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 117 : 8 ≈ 14,63
    2. Mittelwert Staffel B: 128 : 8 = 16
    3. Spannweite: 4 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 7, 8, 5, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
Schritt für Schritt
  1. Mit 40: Mittelwert 64 : 5 = 12,8, Median 7
  2. Ohne: Mittelwert 24 : 4 = 6, Median 6
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 40: Mittelwert 64 : 5 = 12,8, Median 7
  2. Ohne: Mittelwert 24 : 4 = 6, Median 6
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 12,8 statt 6; Median 7 statt 6

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 6, 3, 4, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
    So fängst du an:
    Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 6
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13 statt 5; Median 6 statt 5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 132, 89, 118, 78, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 897 : 5 = 179,4, Median 118
    2. Ohne: Mittelwert 417 : 4 = 104,25, Median 103,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 179,4 statt 104,25; Median 118 statt 103,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 36, 37, 20, 33, 38, 15, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 329 : 7 = 47, Median 36
    2. Ohne: Mittelwert 179 : 6 ≈ 29,83, Median 34,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 47 statt 29,83; Median 36 statt 34,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 16 % auf 26 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht16 %26 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 26 − 16 = 10 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 10 : 16 · 100 = 62,5 %
  1. Unterschied: 26 − 16 = 10 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 10 : 16 · 100 = 62,5 %
Ergebnis:
ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 62,5 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 23 % auf 29 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht23 %29 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 29 − 23 = 6 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 29 − 23 = 6 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 6 : 23 · 100 ≈ 26,09 %
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 26,09 % mehr
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 15 von 20 sind 75 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 27 % auf 37 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht27 %37 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 37 − 27 = 10 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 10 : 27 · 100 ≈ 37,04 %
    Ergebnis:
    ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 37,04 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingssportart, Kategorien
  2. ●26
    Jonas befragt für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“ die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen – insgesamt 60 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Problem: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    verzerrte Auswahl; besser auslosen
  3. ●27
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 39, 111, 58, 26, 117, 58, 130, 124, 138, 114, 81, 107, 107, 128, 137. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 3
    3. 60 bis unter 90 min: 1
    4. 90 bis unter 120 min: 5
    5. 120 bis unter 150 min: 5
    6. Probe: 1 + 3 + 1 + 5 + 5 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 1; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 5
  4. ●28
    In der Tabelle (Handyzeit am Tag) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min660 bis unter 90 min790 bis unter 120 min8120 bis unter 150 min4
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 6 + 7 + 8 + 4 = 25
    2. Größte Anzahl: 8
    Ergebnis:
    25; 90 bis unter 120 min
  5. ●29
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456789101112150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 160 bis 170
    2. Höhe 11
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 11
  6. ●30
    Mila zeichnet für Schulweg die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Mila für die Klassen von 0 bis 40 min?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (40 − 0) : 10 = 4
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 4 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Jonas will die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Lieblingsbuch“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 25, 29, 35, 40, 24, 33, 19, 19, 39, 30, 41, 25, 30, 17, 33. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 bis unter 20: 3; 20 bis unter 30: 4; 30 bis unter 40: 6; 40 bis unter 50: 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    024681012150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 19 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl43723
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 21 Antworten).
    Tore012345Anzahl242706
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,81

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Punkte im Test. 8a: 17, 8, 13, 5, 8, 6. 8b: 15, 6, 20, 8, 9, 9. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 3, 2, 7, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 13,2 statt 5,25; Median 7 statt 5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 47 %, Chat-App 41 %, Spiele 21 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht47 %41 %21 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  3. nein, besser: Schlafdauer in Stunden
  4. 1 Werte
  5. 0 bis unter 10: 2; 10 bis unter 20: 1; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 6
  6. 30 bis unter 60: 4; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 6; 150 bis unter 180: 1
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 13,33 %
  10. Median 3
  11. Median 3
  12. Modalwert 4, Median 3
  13. 4,61
  14. 2
  15. 2,03
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  19. Mittelwert 13 statt 5; Median 6 statt 5
  20. Mittelwert 179,4 statt 104,25; Median 118 statt 103,5
  21. Mittelwert 47 statt 29,83; Median 36 statt 34,5
  22. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 26,09 % mehr
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 37,04 % mehr
  25. Lieblingssportart, Kategorien
  26. verzerrte Auswahl; besser auslosen
  27. 0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 3; 60 bis unter 90: 1; 90 bis unter 120: 5; 120 bis unter 150: 5
  28. 25; 90 bis unter 120 min
  29. 160 bis unter 170 cm: 11
  30. ohne Lücken, 4 Säulen
  31. nein, besser: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  32. 10 bis unter 20: 3; 20 bis unter 30: 4; 30 bis unter 40: 6; 40 bis unter 50: 2
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 2, Median 2
  35. 2,81
  36. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  37. Mittelwert 13,2 statt 5,25; Median 7 statt 5
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 11,4
  40. Median 17; Spannweite 17