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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 7, 8, 12, 13, 8. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 17, 20, 13, 4. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 4, 11, 13, 17, 20
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 20 − 4 = 16
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 16

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
  1. Die Antworten sind Zahlen
  2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Kategorien
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●2
    Mira will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
    2. Besser: Verkehrsmittel
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 65, 97, 81, 57, 79, 77, 77, 28, 104, 129, 105, 123, 87, 139, 26. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 60 min? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
  2. Gezählt: 57
  3. Das sind 1
  1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
  2. Gezählt: 57
  3. Das sind 1
Ergebnis:
1 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Schulweg in min): 28, 26, 35, 29, 19, 18, 18, 16, 22, 24, 40, 22, 15, 23, 30. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 40 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    2. Gezählt: 35, 30
    3. Das sind 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  2. ●5
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 338, 436, 360, 372, 352, 384, 303, 339, 387, 404, 397, 384, 304, 313, 344. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 300. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 300 bis unter 350 cm: 6
    2. 350 bis unter 400 cm: 7
    3. 400 bis unter 450 cm: 2
    4. Probe: 6 + 7 + 2 = 15
    Ergebnis:
    300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  3. ★6
    20 Werte (Handyzeit am Tag in min): 73, 44, 77, 133, 27, 75, 129, 98, 25, 47, 125, 152, 113, 45, 93, 104, 85, 77, 83, 103. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 30?30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 2
    2. 30 bis unter 60 min: 3
    3. 60 bis unter 90 min: 6
    4. 90 bis unter 120 min: 5
    5. 120 bis unter 150 min: 3
    6. 150 bis unter 180 min: 1
    7. Probe: 2 + 3 + 6 + 5 + 3 + 1 = 20
    Ergebnis:
    2, 3, 6, 5, 3, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
0123456789010203040Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 10: 1
  2. Nur eine Säule: 1
  1. Säulen links von 10: 1
  2. Nur eine Säule: 1
Ergebnis:
1 Werte

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    01234567891011306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 2, 10, 5, 2, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 10, 5, 2, 1
    2. Summe: 2 + 10 + 5 + 2 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456780306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 60 bis 90
    2. Höhe 7
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 7
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    0246810121416010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 15, 8
    2. Summe: 1 + 6 + 15 + 8 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Tim schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 20 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Bücher01234Anzahl21728
Schritt für Schritt
  1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 10, bis 3: 12
  3. Median: 2,5
  1. 20 Werte: Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 3, bis 2: 10, bis 3: 12
  3. Median: 2,5
Ergebnis:
Median 2,5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mira schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl23647
    So fängst du an:
    22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    Lösung zeigen
    1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 5, bis 2: 11, bis 3: 15
    3. Median: 2,5
    Ergebnis:
    Median 2,5
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 32 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl864176
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 14, bis 2: 18
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 2
  3. ★12
    Sara schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 35 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Tore012345Anzahl6210359
    Lösung zeigen
    1. 35 Werte: Median ist der 18. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 8, bis 2: 18
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Tore012345Anzahl015844
Schritt für Schritt
  1. 0 · 0 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 8 + 4 · 4 + 5 · 4 = 71
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 71 : 22 ≈ 3,23
  1. 0 · 0 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 8 + 4 · 4 + 5 · 4 = 71
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 71 : 22 ≈ 3,23
Ergebnis:
3,23

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 12 Antworten).
    Bücher01234Anzahl23502
    So fängst du an:
    0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 2 = 21
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 2 = 21
    2. Anzahl aller Werte: 12
    3. 21 : 12 = 1,75
    Ergebnis:
    1,75
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl175031
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 5 + 4 · 0 + 5 · 3 + 6 · 1 = 51
    2. Anzahl aller Werte: 17
    3. 51 : 17 = 3
    Ergebnis:
    3
  3. ★15
    Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm3160 bis unter 170 cm12170 bis unter 180 cm8180 bis unter 190 cm2
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 155, 165, 175, 185
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4215
    3. 4215 : 25 = 168,6
    Ergebnis:
    etwa 168,6 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 7, 15, 14, 12, 8, 11. 8b: 21, 20, 12, 12, 6, 4. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 67 : 6 ≈ 11,17
  2. Mittelwert 8b: 75 : 6 = 12,5
  3. Spannweite: 8 gegen 17
  1. Mittelwert 8a: 67 : 6 ≈ 11,17
  2. Mittelwert 8b: 75 : 6 = 12,5
  3. Spannweite: 8 gegen 17
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 316, 349, 413, 374, 311, 355. Gruppe Süd: 299, 305, 377, 283, 382, 347. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2118 : 6 = 353
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2118 : 6 = 353
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 1993 : 6 ≈ 332,17
    3. Spannweite: 102 gegen 99
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 17, 10, 19, 24, 6, 5. 8b: 17, 10, 16, 15, 22, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 81 : 6 = 13,5
    2. Mittelwert 8b: 99 : 6 = 16,5
    3. Spannweite: 19 gegen 12
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 354, 342, 403, 396, 315, 394, 319, 367. Gruppe Süd: 354, 347, 281, 327, 364, 374, 400, 376. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2890 : 8 = 361,25
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2823 : 8 ≈ 352,88
    3. Spannweite: 88 gegen 119
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 26, 19, 32, 37, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
Schritt für Schritt
  1. Mit 250: Mittelwert 364 : 5 = 72,8, Median 32
  2. Ohne: Mittelwert 114 : 4 = 28,5, Median 29
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 250: Mittelwert 364 : 5 = 72,8, Median 32
  2. Ohne: Mittelwert 114 : 4 = 28,5, Median 29
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 72,8 statt 28,5; Median 32 statt 29

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 34, 31, 19, 40, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 274 : 5 = 54,8, Median 34
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 274 : 5 = 54,8, Median 34
    2. Ohne: Mittelwert 124 : 4 = 31, Median 32,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 54,8 statt 31; Median 34 statt 32,5
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 6, 7, 5, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 65 : 5 = 13, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 13 statt 5; Median 6 statt 5,5
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 8, 4, 8, 9, 2, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 78 : 7 ≈ 11,14, Median 8
    2. Ohne: Mittelwert 38 : 6 ≈ 6,33, Median 7,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,14 statt 6,33; Median 8 statt 7,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 59 %, Chat-App 38 %, Spiele 24 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
gegebengesucht59 %38 %24 %100 %?
Schritt für Schritt
  1. 59 + 38 + 24 = 121
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
  1. 59 + 38 + 24 = 121
  2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
  3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 69 %, Chat-App 56 %, Spiele 33 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht69 %56 %33 %100 %?
    So fängst du an:
    69 + 56 + 33 = 158
    Lösung zeigen
    1. 69 + 56 + 33 = 158
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 69 %, Chat-App 59 %, Spiele 44 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht69 %59 %44 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 69 + 59 + 44 = 172
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „92 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht92 Prozent12 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 11 von 12 sind 91,67 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ●26
    Frage: „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“ Befragt werden 30 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 30, 22, 25, 19, 28, 36, 21, 14, 27, 28, 6, 20, 38, 28, 19. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 3
    3. 20 bis unter 30 min: 8
    4. 30 bis unter 40 min: 3
    5. Probe: 1 + 3 + 8 + 3 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 3; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 3
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Welcher Anteil liegt unter 90 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min360 bis unter 90 min390 bis unter 120 min14120 bis unter 150 min3150 bis unter 180 min2
    Lösung zeigen
    1. Unter 90: 3 + 3 = 6
    2. Anteil: 6 : 25 · 100 = 24
    Ergebnis:
    24 %
  5. ●29
    Lukas zeichnet für Handyzeit am Tag die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Lukas für die Klassen von 0 bis 180 min?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (180 − 0) : 30 = 6
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 6 Säulen
  6. ●30
    Noah schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 15 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl12615
    Lösung zeigen
    1. 15 Werte: Median ist der 8. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 3, bis 2: 9
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Mira will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 127, 128, 88, 135, 68, 133, 116, 81, 21, 110, 85, 54, 82, 38, 131. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 2; 120 bis unter 150: 5

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Zeynep schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 12 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl342111
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl11374
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,75

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 18, 18, 17, 19, 14. Staffel B: 14, 17, 18, 14, 18, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 136, 91, 90, 130, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 185,4 statt 111,75; Median 130 statt 110,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. nein, besser: Verkehrsmittel
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 2 Werte
  5. 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
  6. 2, 3, 6, 5, 3, 1
  7. 20 Personen
  8. 60 bis unter 90 min: 7
  9. 30 Personen
  10. Median 2,5
  11. Modalwert 0, Median 2
  12. Median 2
  13. 1,75
  14. 3
  15. etwa 168,6 cm
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  19. Mittelwert 54,8 statt 31; Median 34 statt 32,5
  20. Mittelwert 13 statt 5; Median 6 statt 5,5
  21. Mittelwert 11,14 statt 6,33; Median 8 statt 7,5
  22. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 3; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 3
  28. 24 %
  29. ohne Lücken, 6 Säulen
  30. Median 2
  31. nein, besser: Verkehrsmittel
  32. 0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 5; 90 bis unter 120: 2; 120 bis unter 150: 5
  33. 20 Personen
  34. Median 2
  35. 2,75
  36. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 185,4 statt 111,75; Median 130 statt 110,5
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 13; Spannweite 16