Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 11, 14, 13, 5, 2. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 7, 6, 8, 9, 17. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 7, 8, 9, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 17 − 6 = 11
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
  2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
Ergebnis:
Wunschgericht, Kategorien

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingssportart, Kategorien
  3. ★3
    Noah will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Körpergröße in cm): 164, 154, 168, 170, 164, 180, 173, 162, 164, 168, 168, 178, 165, 173, 176. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
Schritt für Schritt
  1. 150 bis unter 160 cm: 1
  2. 160 bis unter 170 cm: 8
  3. 170 bis unter 180 cm: 5
  4. 180 bis unter 190 cm: 1
  5. Probe: 1 + 8 + 5 + 1 = 15
  1. 150 bis unter 160 cm: 1
  2. 160 bis unter 170 cm: 8
  3. 170 bis unter 180 cm: 5
  4. 180 bis unter 190 cm: 1
  5. Probe: 1 + 8 + 5 + 1 = 15
Ergebnis:
1, 8, 5, 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Körpergröße in cm): 151, 155, 156, 151, 156, 167, 165, 181, 175, 179, 161, 167, 173, 175, 152. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    So fängst du an:
    150 bis unter 160 cm: 6
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 6
    2. 160 bis unter 170 cm: 4
    3. 170 bis unter 180 cm: 4
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 6 + 4 + 4 + 1 = 15
    Ergebnis:
    6, 4, 4, 1
  2. ●5
    Die Werte (Körpergröße in cm): 169, 172, 178, 180, 163, 161, 164, 182, 176, 174, 159, 152, 171, 170, 173. Wie viele Werte liegen in der Klasse 160 bis unter 170 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 160 und alles bis kurz vor 170
    2. Gezählt: 169, 163, 161, 164
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 31, 97, 100, 85, 100, 132, 109, 94, 70, 111, 80, 75, 81, 75, 81, 121, 84, 172, 100, 170. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 1
    2. 60 bis unter 90 min: 8
    3. 90 bis unter 120 min: 7
    4. 120 bis unter 150 min: 2
    5. 150 bis unter 180 min: 2
    6. Probe: 1 + 8 + 7 + 2 + 2 = 20
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 8; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 180 cm?
01234567891011150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 180: 5, 10, 3
  2. 5 + 10 + 3 = 18
  1. Säulen links von 180: 5, 10, 3
  2. 5 + 10 + 3 = 18
Ergebnis:
18 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    012345678910110306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 60: 1, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 60: 1, 1
    2. 1 + 1 = 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    02468101214150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 160 bis 170
    2. Höhe 13
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 13
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 150 min?
    02468101214306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 150: 5, 4, 13, 6
    2. 5 + 4 + 13 + 6 = 28
    Ergebnis:
    28 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 24 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Tore012345Anzahl715380
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
  2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 8, bis 2: 13
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
  2. 24 Werte, Median ist das Mittel aus dem 12. und 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 8, bis 2: 13
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Mila schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 17 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl35207
    So fängst du an:
    17 Werte: Median ist der 9. Wert
    Lösung zeigen
    1. 17 Werte: Median ist der 9. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 8, bis 2: 10
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  2. ●11
    Jonas schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 28 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl538066
    Lösung zeigen
    1. 28 Werte: Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 8, bis 3: 16
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  3. ★12
    Lea schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 41 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl10116455
    Lösung zeigen
    1. 41 Werte: Median ist der 21. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 10, bis 2: 21
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Bücher01234Anzahl12715
Schritt für Schritt
  1. 0 · 1 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 5 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 39 : 16 ≈ 2,44
  1. 0 · 1 + 1 · 2 + 2 · 7 + 3 · 1 + 4 · 5 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 16
  3. 39 : 16 ≈ 2,44
Ergebnis:
2,44

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl107866
    So fängst du an:
    0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 6 + 5 · 6 = 92
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 6 + 5 · 6 = 92
    2. Anzahl aller Werte: 28
    3. 92 : 28 ≈ 3,29
    Ergebnis:
    3,29
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 23 Antworten).
    Tore012345Anzahl104468
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 + 5 · 8 = 84
    2. Anzahl aller Werte: 23
    3. 84 : 23 ≈ 3,65
    Ergebnis:
    3,65
  3. ★15
    Von Sprungweite kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm2300 bis unter 350 cm6350 bis unter 400 cm16400 bis unter 450 cm1
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 275, 325, 375, 425
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 8925
    3. 8925 : 25 = 357
    Ergebnis:
    etwa 357 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 415, 382, 420, 366, 312, 373. Gruppe Süd: 359, 340, 334, 289, 416, 400. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2268 : 6 = 378
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2138 : 6 ≈ 356,33
  3. Spannweite: 108 gegen 127
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2268 : 6 = 378
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2138 : 6 ≈ 356,33
  3. Spannweite: 108 gegen 127
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 14, 14, 18, 18, 17. Staffel B: 15, 19, 19, 19, 14, 13. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
    2. Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 13, 16, 14, 19, 16. Staffel B: 15, 17, 16, 16, 18, 19. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 91 : 6 ≈ 15,17
    2. Mittelwert Staffel B: 101 : 6 ≈ 16,83
    3. Spannweite: 6 gegen 4
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 6, 15, 16, 13, 22, 4, 10, 8. 8b: 14, 11, 18, 7, 7, 20, 24, 24. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 94 : 8 = 11,75
    2. Mittelwert 8b: 125 : 8 ≈ 15,63
    3. Spannweite: 18 gegen 17
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 101, 96, 68, 64, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 869 : 5 = 173,8, Median 96
  2. Ohne: Mittelwert 329 : 4 = 82,25, Median 82
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 869 : 5 = 173,8, Median 96
  2. Ohne: Mittelwert 329 : 4 = 82,25, Median 82
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 173,8 statt 82,25; Median 96 statt 82

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 98, 139, 74, 108, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    So fängst du an:
    Mit 540: Mittelwert 959 : 5 = 191,8, Median 108
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 959 : 5 = 191,8, Median 108
    2. Ohne: Mittelwert 419 : 4 = 104,75, Median 103
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 191,8 statt 104,75; Median 108 statt 103
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 7, 3, 9, 40. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 40.
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 7
    2. Ohne: Mittelwert 21 : 4 = 5,25, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 7 statt 5
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 9, 8, 5, 9, 9, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 81 : 7 ≈ 11,57, Median 9
    2. Ohne: Mittelwert 46 : 6 ≈ 7,67, Median 8,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,57 statt 7,67; Median 9 statt 8,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „63 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht63 Prozent8 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 5 von 8 sind 62,5 %
  2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 5 von 8 sind 62,5 %
  2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht70 Prozent20 Kinder?
    So fängst du an:
    14 von 20 sind 70 %
    Lösung zeigen
    1. 14 von 20 sind 70 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 59 %, Chat-App 52 %, Spiele 44 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht59 %52 %44 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 59 + 52 + 44 = 155
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 58 auf 60 Punkte. Jonas sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Was wünschen sich die Kinder in der Mensa?“: A befragt 20 Personen, nämlich die Kinder, die heute in der Mensa essen. B lost 20 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht20 Personen20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer die Mensa meidet, wird gar nicht gefragt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    15 Werte (Sprungweite in cm): 311, 351, 338, 347, 379, 388, 352, 310, 415, 407, 336, 303, 340, 348, 391. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    1. 300 bis unter 350 cm: 8
    2. 350 bis unter 400 cm: 5
    3. 400 bis unter 450 cm: 2
    4. Probe: 8 + 5 + 2 = 15
    Ergebnis:
    8, 5, 2
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 25 Befragten der Jahrgangsstufe. Welcher Anteil liegt unter 120 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl0 bis unter 30 min130 bis unter 60 min660 bis unter 90 min690 bis unter 120 min6120 bis unter 150 min5150 bis unter 180 min1
    Lösung zeigen
    1. Unter 120: 1 + 6 + 6 + 6 = 19
    2. Anteil: 19 : 25 · 100 = 76
    Ergebnis:
    76 %
  5. ●29
    Die Tabelle zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min110 bis unter 20 min420 bis unter 30 min1230 bis unter 40 min3
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 0,5, 2, 6, 1,5 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    0,5, 2, 6, 1,5 Kästchen
  6. ●30
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 17 Antworten.
    Tore012345Anzahl318230
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 12
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Schulweg in min): 17, 23, 30, 30, 26, 27, 15, 31, 5, 11, 28, 19, 37, 14, 28. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 23 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl58541
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 1

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl32823
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 306, 308, 355, 385, 377, 328. Gruppe Süd: 346, 341, 299, 288, 351, 294. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 23, 38, 22, 18, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 70,2 statt 25,25; Median 23 statt 22,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „90 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht90 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. Lieblingssportart, Kategorien
  3. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  4. 6, 4, 4, 1
  5. 4 Werte
  6. 30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 8; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 2
  7. 2 Werte
  8. 160 bis unter 170 cm: 13
  9. 28 Werte
  10. Median 2
  11. Median 3
  12. Median 2
  13. 3,29
  14. 3,65
  15. etwa 357 cm
  16. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 191,8 statt 104,75; Median 108 statt 103
  20. Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 7 statt 5
  21. Mittelwert 11,57 statt 7,67; Median 9 statt 8,5
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  26. B
  27. 8, 5, 2
  28. 76 %
  29. 0,5, 2, 6, 1,5 Kästchen
  30. Modalwert 2, Median 2
  31. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  32. 5 Werte
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 1, Median 1
  35. 2
  36. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 70,2 statt 25,25; Median 23 statt 22,5
  38. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  39. x̄ = 9
  40. Median 8; Spannweite 11