Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 2, 3, 4, 4, 9. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 4,4
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 8, 10, 8, 2. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 8, 8, 10, 16
2. Median = mittlerer Wert = 8
3. Spannweite = 16 − 2 = 14
Ergebnis:
Median 8; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Ben will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Ergebnis:

nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
So fängst du an:
Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
Lösung zeigen
1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Schlafdauer in Stunden, Zahlen
●2
Noah will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
Ergebnis:
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
★3
Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Schulweg in min): 31, 21, 25, 20, 16, 39, 26, 17, 13, 18, 28, 13, 14, 21, 19. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.

Schritt für Schritt

Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
Gezählt: 21, 25, 20, 26, 28, 21
Das sind 6

Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
Gezählt: 21, 25, 20, 26, 28, 21
Das sind 6

Ergebnis:

6 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 348, 300, 282, 342, 291, 287, 410, 357, 348, 392, 373, 325, 419, 438, 317. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
So fängst du an:
250 bis unter 300 cm: 3
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 3
2. 300 bis unter 350 cm: 6
3. 350 bis unter 400 cm: 3
4. 400 bis unter 450 cm: 3
5. Probe: 3 + 6 + 3 + 3 = 15
Ergebnis:
250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 3; 400 bis unter 450: 3
●5
Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 167, 172, 168, 166, 161, 176, 163, 172, 163, 155, 165, 175, 157, 169, 166. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 2
2. 160 bis unter 170 cm: 9
3. 170 bis unter 180 cm: 4
4. Probe: 2 + 9 + 4 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 9; 170 bis unter 180: 4
★6
Sprungweite von 20 Kindern beim Sportfest in cm: 427, 303, 380, 302, 396, 346, 337, 324, 388, 403, 316, 357, 349, 311, 271, 368, 365, 325, 316, 360. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 1
2. 300 bis unter 350 cm: 10
3. 350 bis unter 400 cm: 7
4. 400 bis unter 450 cm: 2
5. Probe: 1 + 10 + 7 + 2 = 20
Ergebnis:
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 10; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Höchste Säule: über 60 bis 90
Höhe 10

Höchste Säule: über 60 bis 90
Höhe 10

Ergebnis:

60 bis unter 90 min: 10

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
So fängst du an:
Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 7, 4
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 7, 4
2. Summe: 3 + 6 + 7 + 4 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●8
Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 10 min?
Lösung zeigen
1. Säulen links von 10: 1
2. Nur eine Säule: 1
Ergebnis:
1 Werte
★9
Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 160 cm oder darüber?
Lösung zeigen
1. Ab 160: 9 + 10 + 2 = 21
2. Gesamt: 30
3. 21 : 30 · 100 = 70
Ergebnis:
70 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Lukas schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 34 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.

Schritt für Schritt

34 Werte: Median ist das Mittel aus dem 17. und 18. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 15, bis 2: 20
Median: 2

34 Werte: Median ist das Mittel aus dem 17. und 18. Wert
Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 15, bis 2: 20
Median: 2

Ergebnis:

Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Mila schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 22 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
So fängst du an:
22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
Lösung zeigen
1. 22 Werte: Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 4, bis 2: 11, bis 3: 16
3. Median: 2,5
Ergebnis:
Median 2,5
●11
Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 15 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
2. 15 Werte, Median ist der 8. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 0, bis 1: 8
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
★12
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 32 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 5 (11-mal)
2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 5, bis 3: 10, bis 4: 17
4. Median: 4
Ergebnis:
Modalwert 5, Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 25 Antworten).

Schritt für Schritt

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 2 + 5 · 6 + 6 · 5 = 94
Anzahl aller Werte: 25
94 : 25 = 3,76

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + 4 · 2 + 5 · 6 + 6 · 5 = 94
Anzahl aller Werte: 25
94 : 25 = 3,76

Ergebnis:

3,76

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 27 Antworten).
So fängst du an:
0 · 8 + 1 · 7 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 7 = 45
Lösung zeigen
1. 0 · 8 + 1 · 7 + 2 · 5 + 3 · 0 + 4 · 7 = 45
2. Anzahl aller Werte: 27
3. 45 : 27 ≈ 1,67
Ergebnis:
1,67
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 19 Antworten).
Lösung zeigen
1. 1 · 2 + 2 · 1 + 3 · 6 + 4 · 8 + 5 · 2 + 6 · 0 = 64
2. Anzahl aller Werte: 19
3. 64 : 19 ≈ 3,37
Ergebnis:
3,37
★15
Von Schulweg kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 5, 15, 25, 35
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 645
3. 645 : 25 = 25,8
Ergebnis:
etwa 25,8 min

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 16, 18, 14, 16, 15. Staffel B: 14, 14, 15, 14, 17, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.

Schritt für Schritt

Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
Mittelwert Staffel B: 91 : 6 ≈ 15,17
Spannweite: 4 gegen 3

Mittelwert Staffel A: 96 : 6 = 16
Mittelwert Staffel B: 91 : 6 ≈ 15,17
Spannweite: 4 gegen 3

Ergebnis:

im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 13, 13, 17, 14, 19. Staffel B: 19, 17, 15, 16, 19, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Staffel A: 94 : 6 ≈ 15,67
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 94 : 6 ≈ 15,67
2. Mittelwert Staffel B: 105 : 6 = 17,5
3. Spannweite: 6 gegen 4
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
●17
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 361, 285, 407, 372, 385, 356. Gruppe Süd: 349, 328, 316, 355, 398, 339. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2166 : 6 = 361
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2085 : 6 = 347,5
3. Spannweite: 122 gegen 82
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
★18
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 300, 281, 332, 411, 327, 341, 413, 395. Gruppe Süd: 383, 363, 369, 303, 303, 352, 299, 314. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2800 : 8 = 350
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2686 : 8 = 335,75
3. Spannweite: 132 gegen 84
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 72, 71, 88, 121, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.

Schritt für Schritt

Mit 540: Mittelwert 892 : 5 = 178,4, Median 88
Ohne: Mittelwert 352 : 4 = 88, Median 80
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 540: Mittelwert 892 : 5 = 178,4, Median 88
Ohne: Mittelwert 352 : 4 = 88, Median 80
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 178,4 statt 88; Median 88 statt 80

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Taschengeld im Monat in Euro: 33, 23, 39, 19, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
So fängst du an:
Mit 250: Mittelwert 364 : 5 = 72,8, Median 33
Lösung zeigen
1. Mit 250: Mittelwert 364 : 5 = 72,8, Median 33
2. Ohne: Mittelwert 114 : 4 = 28,5, Median 28
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 72,8 statt 28,5; Median 33 statt 28
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 140, 60, 132, 67, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 480: Mittelwert 879 : 5 = 175,8, Median 132
2. Ohne: Mittelwert 399 : 4 = 99,75, Median 99,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 175,8 statt 99,75; Median 132 statt 99,5
★21
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 9, 8, 7, 9, 2, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 45: Mittelwert 82 : 7 ≈ 11,71, Median 8
2. Ohne: Mittelwert 37 : 6 ≈ 6,17, Median 7,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,71 statt 6,17; Median 8 statt 7,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?

Schritt für Schritt

6 von 10 sind 60 %
Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

6 von 10 sind 60 %
Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin

Ergebnis:

nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
So fängst du an:
Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
Lösung zeigen
1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
●23
Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 45 %, Chat-App 35 %, Spiele 45 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
Lösung zeigen
1. 45 + 35 + 45 = 125
2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
Ergebnis:
nicht falsch: Mehrfachnennungen
★24
Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 60 auf 64 Punkte. Lea sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
Lösung zeigen
1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
Ergebnis:
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
●26
Sara befragt für die Frage „Welcher Sport ist an unserer Schule beliebt?“ die Mitglieder der Fußball-AG – insgesamt 40 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
Lösung zeigen
1. Problem: wer in der Fußball-AG ist, mag Fußball – das verzerrt
2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
Ergebnis:
verzerrte Auswahl; besser auslosen
●27
15 Werte (Sprungweite in cm): 321, 431, 406, 326, 322, 265, 276, 320, 355, 391, 365, 353, 294, 405, 414. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 3
2. 300 bis unter 350 cm: 4
3. 350 bis unter 400 cm: 4
4. 400 bis unter 450 cm: 4
5. Probe: 3 + 4 + 4 + 4 = 15
Ergebnis:
3, 4, 4, 4
●28
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Wie viele haben mindestens 20 min?
Lösung zeigen
1. Klassen ab 20: 10, 5
2. 10 + 5 = 15
Ergebnis:
15 Personen
●29
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 8, 16, 10, 6 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 8, 16, 10, 6 vergleichen
2. Die Säule 160 bis unter 170 ist 17 hoch
3. Richtig ist 16
Ergebnis:
160 bis unter 170 cm: 16 statt 17
●30
Zeynep schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 32 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 32 Werte: Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
2. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 12, bis 3: 19
3. Median: 3
Ergebnis:
Median 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Ben will die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Uhrzeit des Weckers“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 300, 332, 346, 346, 372, 397, 293, 386, 384, 353, 316, 347, 375, 331, 416. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 1
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
Lösung zeigen
Ergebnis:
18 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 15 Antworten.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 29 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
2,9
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 19, 16, 13, 19, 13, 19. Staffel B: 17, 18, 18, 16, 16, 16. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Taschengeld im Monat in Euro: 16, 34, 24, 23, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 69,4 statt 24,25; Median 24 statt 23,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Schlagzeile der Schülerzeitung: „70 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
Lösung zeigen
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

Schlafdauer in Stunden, Zahlen
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
ja, die Antworten sind Zahlen
250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 6; 350 bis unter 400: 3; 400 bis unter 450: 3
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 9; 170 bis unter 180: 4
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 10; 350 bis unter 400: 7; 400 bis unter 450: 2
20 Personen
1 Werte
70 %
Median 2,5
Modalwert 1, Median 1
Modalwert 5, Median 4
1,67
3,37
etwa 25,8 min
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
Mittelwert 72,8 statt 28,5; Median 33 statt 28
Mittelwert 175,8 statt 99,75; Median 132 statt 99,5
Mittelwert 11,71 statt 6,17; Median 8 statt 7,5
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
nicht falsch: Mehrfachnennungen
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
ja, die Antworten sind Zahlen
verzerrte Auswahl; besser auslosen
3, 4, 4, 4
15 Personen
160 bis unter 170 cm: 16 statt 17
Median 3
nein, besser: Schlafdauer in Stunden
250 bis unter 300: 1; 300 bis unter 350: 7; 350 bis unter 400: 6; 400 bis unter 450: 1
18 Werte
Modalwert 1, Median 1
2,9
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
Mittelwert 69,4 statt 24,25; Median 24 statt 23,5
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
x̄ = 4,4
Median 8; Spannweite 14