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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 10, 10, 7, 13, 13. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 13, 15, 15, 17. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 6, 13, 15, 15, 17
    2. Median = mittlerer Wert = 15
    3. Spannweite = 17 − 6 = 11
    Ergebnis:
    Median 15; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ wird das Merkmal „Verkehrsmittel“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 19, 12, 12, 29, 16, 22, 22, 22, 26, 38, 30, 14, 15, 23, 20. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Schritt für Schritt
  1. 10 bis unter 20 min: 6
  2. 20 bis unter 30 min: 7
  3. 30 bis unter 40 min: 2
  4. Probe: 6 + 7 + 2 = 15
  1. 10 bis unter 20 min: 6
  2. 20 bis unter 30 min: 7
  3. 30 bis unter 40 min: 2
  4. Probe: 6 + 7 + 2 = 15
Ergebnis:
10 bis unter 20: 6; 20 bis unter 30: 7; 30 bis unter 40: 2

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 169, 169, 165, 157, 171, 159, 174, 166, 161, 174, 162, 152, 165, 169, 180. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    So fängst du an:
    150 bis unter 160 cm: 3
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 3
    2. 160 bis unter 170 cm: 8
    3. 170 bis unter 180 cm: 3
    4. 180 bis unter 190 cm: 1
    5. Probe: 3 + 8 + 3 + 1 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 1
  2. ●5
    Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 46, 91, 99, 116, 21, 113, 35, 114, 91, 73, 67, 87, 154, 127, 116. Wie viele Werte liegen in der Klasse 90 bis unter 120 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
    2. Gezählt: 91, 99, 116, 113, 114, 91, 116
    3. Das sind 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 62, 126, 80, 74, 84, 48, 70, 31, 80, 50, 136, 112, 98, 111, 100, 25, 36, 124, 157, 73. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 4
    3. 60 bis unter 90 min: 7
    4. 90 bis unter 120 min: 4
    5. 120 bis unter 150 min: 3
    6. 150 bis unter 180 min: 1
    7. Probe: 1 + 4 + 7 + 4 + 3 + 1 = 20
    Ergebnis:
    0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 4; 60 bis unter 90: 7; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 3; 150 bis unter 180: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
012345678901020304050Schulweg in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 8, 6, 2
  2. Summe: 1 + 3 + 8 + 6 + 2 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 8, 6, 2
  2. Summe: 1 + 3 + 8 + 6 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456780306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 1, 2, 5, 5, 7
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 2, 5, 5, 7
    2. Summe: 1 + 2 + 5 + 5 + 7 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456781020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 30 bis 40
    2. Höhe 7
    Ergebnis:
    30 bis unter 40 min: 7
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    0246810121416250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 16, 11, 1
    2. Summe: 2 + 16 + 11 + 1 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 26 Antworten.
Anzahl01234Anzahl55835
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 10, bis 2: 18
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
  2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 10, bis 2: 18
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 21 Antworten.
    Tore012345Anzahl306435
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 2 (6-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (6-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 3, bis 2: 9, bis 3: 13
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 3
  2. ●11
    Mira schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 13 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl017410
    Lösung zeigen
    1. 13 Werte: Median ist der 7. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 0, bis 2: 1, bis 3: 8
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 32 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl771062
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (10-mal)
    2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 14, bis 2: 24
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Note123456Anzahl502340
Schritt für Schritt
  1. 1 · 5 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 0 = 43
  2. Anzahl aller Werte: 14
  3. 43 : 14 ≈ 3,07
  1. 1 · 5 + 2 · 0 + 3 · 2 + 4 · 3 + 5 · 4 + 6 · 0 = 43
  2. Anzahl aller Werte: 14
  3. 43 : 14 ≈ 3,07
Ergebnis:
3,07

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 30 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl74847
    So fängst du an:
    0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 7 = 60
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 4 + 4 · 7 = 60
    2. Anzahl aller Werte: 30
    3. 60 : 30 = 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●14
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl34762
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 2 = 44
    2. Anzahl aller Werte: 22
    3. 44 : 22 = 2
    Ergebnis:
    2
  3. ★15
    Von Sprungweite kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm3300 bis unter 350 cm8350 bis unter 400 cm13400 bis unter 450 cm1
    Lösung zeigen
    1. Klassenmitten: 275, 325, 375, 425
    2. Mitte mal Anzahl, addiert: 8725
    3. 8725 : 25 = 349
    Ergebnis:
    etwa 349 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 311, 356, 379, 314, 377, 285. Gruppe Süd: 376, 349, 294, 295, 350, 369. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2022 : 6 = 337
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2033 : 6 ≈ 338,83
  3. Spannweite: 94 gegen 82
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2022 : 6 = 337
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 2033 : 6 ≈ 338,83
  3. Spannweite: 94 gegen 82
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 4, 13, 8, 17, 8, 13. 8b: 23, 7, 7, 18, 15, 8. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 63 : 6 = 10,5
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 63 : 6 = 10,5
    2. Mittelwert 8b: 78 : 6 = 13
    3. Spannweite: 13 gegen 16
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 391, 400, 416, 334, 304, 387. Gruppe Süd: 361, 324, 302, 401, 352, 327. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2232 : 6 = 372
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2067 : 6 = 344,5
    3. Spannweite: 112 gegen 99
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 314, 361, 298, 342, 418, 349, 414, 369. Gruppe Süd: 370, 370, 330, 289, 283, 346, 311, 393. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2865 : 8 ≈ 358,13
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2692 : 8 = 336,5
    3. Spannweite: 120 gegen 110
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 75, 72, 106, 78, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 811 : 5 = 162,2, Median 78
  2. Ohne: Mittelwert 331 : 4 = 82,75, Median 76,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 811 : 5 = 162,2, Median 78
  2. Ohne: Mittelwert 331 : 4 = 82,75, Median 76,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 162,2 statt 82,75; Median 78 statt 76,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 23, 31, 28, 16, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 248 : 5 = 49,6, Median 28
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 248 : 5 = 49,6, Median 28
    2. Ohne: Mittelwert 98 : 4 = 24,5, Median 25,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 49,6 statt 24,5; Median 28 statt 25,5
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 3, 2, 6, 5, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 56 : 5 = 11,2, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 16 : 4 = 4, Median 4
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,2 statt 4; Median 5 statt 4
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 72, 139, 125, 93, 63, 129, 480. Wie stark verändert der Wert 480 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 1101 : 7 ≈ 157,29, Median 125
    2. Ohne: Mittelwert 621 : 6 = 103,5, Median 109
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 157,29 statt 103,5; Median 125 statt 109

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 39 % auf 45 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
gegebengesucht39 %45 %?
Schritt für Schritt
  1. Unterschied: 45 − 39 = 6 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 6 : 39 · 100 ≈ 15,38 %
  1. Unterschied: 45 − 39 = 6 Prozentpunkte
  2. Im Verhältnis: 6 : 39 · 100 ≈ 15,38 %
Ergebnis:
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 15,38 % mehr

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    So fängst du an:
    Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 24 % auf 34 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht24 %34 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 34 − 24 = 10 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 10 : 24 · 100 ≈ 41,67 %
    Ergebnis:
    ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 41,67 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Zwei Vorschläge für die Frage „Was wünschen sich die Kinder in der Mensa?“: A befragt 55 Personen, nämlich die Kinder, die heute in der Mensa essen. B lost 55 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht55 Personen55 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer die Mensa meidet, wird gar nicht gefragt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  2. ●26
    Die Werte (Körpergröße in cm): 181, 165, 161, 173, 164, 159, 161, 162, 165, 164, 172, 171, 165, 168, 172. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 160 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 160
    2. Gezählt: 159
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte
  3. ●27
    In der Tabelle (Handyzeit am Tag) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min460 bis unter 90 min790 bis unter 120 min7120 bis unter 150 min4150 bis unter 180 min3
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 4 + 7 + 7 + 4 + 3 = 25
    2. Größte Anzahl: 7
    Ergebnis:
    25; 60 bis unter 90 min
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min360 bis unter 90 min590 bis unter 120 min7120 bis unter 150 min7150 bis unter 180 min2
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 1,5, 2,5, 3,5, 3,5, 1 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    1,5, 2,5, 3,5, 3,5, 1 Kästchen
  5. ●29
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 25 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl13786
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
    2. 25 Werte, Median ist der 13. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 4, bis 2: 11, bis 3: 19
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von 21 Befragten der Jahrgangsstufe. Gib die Modalklasse an und die Klasse, in der der Median liegt.
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min160 bis unter 90 min590 bis unter 120 min9120 bis unter 150 min3150 bis unter 180 min3
    Lösung zeigen
    1. Modalklasse: die meisten Werte, 9
    2. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert bis 90 bis unter 120: 15 ≥ 11
    Ergebnis:
    Modalklasse 90 bis unter 120 min; Median in 90 bis unter 120 min

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Lea will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Körpergröße in cm): 171, 158, 172, 161, 165, 159, 163, 165, 176, 171, 168, 162, 174, 165, 172. Wie viele Werte liegen in der Klasse 160 bis unter 170 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 32 Antworten.
    Bücher01234Anzahl78476
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 17 Antworten).
    Bücher01234Anzahl82421
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,18

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 387, 384, 294, 420, 337, 295. Gruppe Süd: 281, 415, 322, 281, 287, 405. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 136, 139, 126, 98, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 219,8 statt 124,75; Median 136 statt 131

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 150 bis unter 160: 3; 160 bis unter 170: 8; 170 bis unter 180: 3; 180 bis unter 190: 1
  5. 7 Werte
  6. 0 bis unter 30: 1; 30 bis unter 60: 4; 60 bis unter 90: 7; 90 bis unter 120: 4; 120 bis unter 150: 3; 150 bis unter 180: 1
  7. 20 Personen
  8. 30 bis unter 40 min: 7
  9. 30 Personen
  10. Modalwert 2, Median 3
  11. Median 3
  12. Modalwert 2, Median 2
  13. 2
  14. 2
  15. etwa 349 cm
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 49,6 statt 24,5; Median 28 statt 25,5
  20. Mittelwert 11,2 statt 4; Median 5 statt 4
  21. Mittelwert 157,29 statt 103,5; Median 125 statt 109
  22. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 41,67 % mehr
  25. B
  26. 1 Werte
  27. 25; 60 bis unter 90 min
  28. 1,5, 2,5, 3,5, 3,5, 1 Kästchen
  29. Modalwert 3, Median 3
  30. Modalklasse 90 bis unter 120 min; Median in 90 bis unter 120 min
  31. nein, besser: Verkehrsmittel
  32. 7 Werte
  33. 1 Werte
  34. Modalwert 1, Median 2
  35. 1,18
  36. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  37. Mittelwert 219,8 statt 124,75; Median 136 statt 131
  38. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  39. x̄ = 10,6
  40. Median 15; Spannweite 11