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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 2, 9, 2, 10, 4. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 5,4
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 11, 8, 14, 2, 5. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 5, 8, 11, 14
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 14 − 2 = 12
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 12

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. ★3
    Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 29, 30, 21, 34, 35, 14, 15, 26, 35, 16, 21, 32, 17, 38, 15. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
Schritt für Schritt
  1. 10 bis unter 20 min: 5
  2. 20 bis unter 30 min: 4
  3. 30 bis unter 40 min: 6
  4. Probe: 5 + 4 + 6 = 15
  1. 10 bis unter 20 min: 5
  2. 20 bis unter 30 min: 4
  3. 30 bis unter 40 min: 6
  4. Probe: 5 + 4 + 6 = 15
Ergebnis:
5, 4, 6

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 34, 23, 23, 27, 21, 30, 25, 33, 24, 35, 20, 25, 24, 21, 16. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    So fängst du an:
    10 bis unter 20 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 1
    2. 20 bis unter 30 min: 10
    3. 30 bis unter 40 min: 4
    4. Probe: 1 + 10 + 4 = 15
    Ergebnis:
    1, 10, 4
  2. ●5
    15 Werte (Schulweg in min): 17, 11, 9, 29, 26, 29, 14, 15, 26, 31, 10, 9, 31, 19, 24. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 2
    2. 10 bis unter 20 min: 6
    3. 20 bis unter 30 min: 5
    4. 30 bis unter 40 min: 2
    5. Probe: 2 + 6 + 5 + 2 = 15
    Ergebnis:
    2, 6, 5, 2
  3. ★6
    20 Werte (Schulweg in min): 21, 32, 25, 30, 13, 13, 23, 27, 24, 29, 24, 27, 21, 20, 10, 27, 42, 32, 19, 36. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 4
    2. 20 bis unter 30 min: 11
    3. 30 bis unter 40 min: 4
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 4 + 11 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    4, 11, 4, 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
012345678910116090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 120: 10, 7
  2. 10 + 7 = 17
  1. Säulen links von 120: 10, 7
  2. 10 + 7 = 17
Ergebnis:
17 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678140150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 7, 5, 1
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 6, 7, 5, 1
    2. Summe: 1 + 6 + 7 + 5 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 7, 6, 4
    2. Summe: 3 + 7 + 6 + 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 400 cm oder darüber?
    0246810121416250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 400: 3
    2. Gesamt: 30
    3. 3 : 30 · 100 = 10
    Ergebnis:
    10 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Noah schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 27 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Note123456Anzahl134478
Schritt für Schritt
  1. 27 Werte: Median ist der 14. Wert
  2. Aufsummiert: bis 2: 4, bis 3: 8, bis 4: 12, bis 5: 19
  3. Median: 5
  1. 27 Werte: Median ist der 14. Wert
  2. Aufsummiert: bis 2: 4, bis 3: 8, bis 4: 12, bis 5: 19
  3. Median: 5
Ergebnis:
Median 5

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Jonas schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl502347
    So fängst du an:
    21 Werte: Median ist der 11. Wert
    Lösung zeigen
    1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 2: 5, bis 3: 7, bis 4: 10, bis 5: 14
    3. Median: 5
    Ergebnis:
    Median 5
  2. ●11
    Ben schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl18354
    Lösung zeigen
    1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 9, bis 2: 12
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Lea schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 29 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl852311
    Lösung zeigen
    1. 29 Werte: Median ist der 15. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 13, bis 2: 15
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 15 Antworten).
Anzahl01234Anzahl85110
Schritt für Schritt
  1. 0 · 8 + 1 · 5 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 0 = 10
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 10 : 15 ≈ 0,67
  1. 0 · 8 + 1 · 5 + 2 · 1 + 3 · 1 + 4 · 0 = 10
  2. Anzahl aller Werte: 15
  3. 10 : 15 ≈ 0,67
Ergebnis:
0,67

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 28 Antworten).
    Bücher01234Anzahl75538
    So fängst du an:
    0 · 7 + 1 · 5 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 8 = 56
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 5 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 8 = 56
    2. Anzahl aller Werte: 28
    3. 56 : 28 = 2
    Ergebnis:
    2
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 31 Antworten).
    Tore012345Anzahl744817
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 4 + 3 · 8 + 4 · 1 + 5 · 7 = 75
    2. Anzahl aller Werte: 31
    3. 75 : 31 ≈ 2,42
    Ergebnis:
    2,42
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl35482
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 5 + 2 · 4 + 3 · 8 + 4 · 2 = 45
    2. Anzahl aller Werte: 22
    3. 45 : 22 ≈ 2,05
    Ergebnis:
    2,05

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 15, 16, 17, 18, 19, 17. Staffel B: 13, 18, 15, 15, 13, 15. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 102 : 6 = 17
  2. Mittelwert Staffel B: 89 : 6 ≈ 14,83
  3. Spannweite: 4 gegen 5
  1. Mittelwert Staffel A: 102 : 6 = 17
  2. Mittelwert Staffel B: 89 : 6 ≈ 14,83
  3. Spannweite: 4 gegen 5
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 370, 413, 285, 355, 341, 337. Gruppe Süd: 347, 390, 324, 288, 330, 351. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2101 : 6 ≈ 350,17
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2101 : 6 ≈ 350,17
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2030 : 6 ≈ 338,33
    3. Spannweite: 128 gegen 102
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 14, 19, 14, 14, 17. Staffel B: 17, 13, 18, 19, 19, 16. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 92 : 6 ≈ 15,33
    2. Mittelwert Staffel B: 102 : 6 = 17
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 15, 5, 15, 24, 10, 19, 9, 18. 8b: 5, 16, 5, 22, 8, 13, 11, 21. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 115 : 8 ≈ 14,38
    2. Mittelwert 8b: 101 : 8 ≈ 12,63
    3. Spannweite: 19 gegen 17
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 8, 5, 7, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
Schritt für Schritt
  1. Mit 35: Mittelwert 59 : 5 = 11,8, Median 7
  2. Ohne: Mittelwert 24 : 4 = 6, Median 6
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 35: Mittelwert 59 : 5 = 11,8, Median 7
  2. Ohne: Mittelwert 24 : 4 = 6, Median 6
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11,8 statt 6; Median 7 statt 6

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 3, 6, 3, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 35: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 6
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 54 : 5 = 10,8, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 19 : 4 = 4,75, Median 4,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 10,8 statt 4,75; Median 6 statt 4,5
  2. ●20
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 5, 9, 6, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 60 : 5 = 12, Median 6
    2. Ohne: Mittelwert 25 : 4 = 6,25, Median 5,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12 statt 6,25; Median 6 statt 5,5
  3. ★21
    Taschengeld im Monat in Euro: 32, 32, 18, 20, 15, 18, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 335 : 7 ≈ 47,86, Median 20
    2. Ohne: Mittelwert 135 : 6 = 22,5, Median 19
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 47,86 statt 22,5; Median 20 statt 19

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht75 Prozent12 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 9 von 12 sind 75 %
  2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 9 von 12 sind 75 %
  2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „92 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht92 Prozent12 Kinder?
    So fängst du an:
    11 von 12 sind 91,67 %
    Lösung zeigen
    1. 11 von 12 sind 91,67 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 65 auf 67 Punkte. Aylin sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Wunschgericht
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Wunschgericht, Kategorien
  2. ●26
    Frage: „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“ Befragt werden 45 Personen, nämlich die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 27, 26, 25, 12, 24, 20, 37, 12, 28, 42, 11, 36, 12, 25, 23. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 4
    2. 20 bis unter 30 min: 8
    3. 30 bis unter 40 min: 2
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 4 + 8 + 2 + 1 = 15
    Ergebnis:
    10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 2; 40 bis unter 50: 1
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Körpergröße von 25 Jugendlichen im Sportverein. Wie viele haben mindestens 150 cm?
    KlasseAnzahl140 bis unter 150 cm1150 bis unter 160 cm4160 bis unter 170 cm12170 bis unter 180 cm8
    Lösung zeigen
    1. Klassen ab 150: 4, 12, 8
    2. 4 + 12 + 8 = 24
    Ergebnis:
    24 Personen
  5. ●29
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 1, 1, 8, 6, 3, 1 für die Klassen ab 0 min. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    0123456789100306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 1, 1, 8, 6, 3, 1 vergleichen
    2. Die Säule 90 bis unter 120 ist 9 hoch
    3. Richtig ist 6
    Ergebnis:
    90 bis unter 120 min: 6 statt 9
  6. ●30
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 21 Antworten.
    Bücher01234Anzahl86052
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 14
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Lea will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Die Werte (Sprungweite in cm): 359, 271, 415, 340, 372, 408, 337, 407, 271, 405, 323, 326, 271, 345, 322. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2 Werte

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 120 min?
    012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    15 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 22 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl820066
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 5

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl46481
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    1,83

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 17, 16, 17, 15, 15, 13. Staffel B: 15, 13, 16, 15, 18, 17. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 26, 28, 15, 26, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 69 statt 23,75; Median 26 statt 26

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 47 %, Chat-App 45 %, Spiele 25 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht47 %45 %25 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  2. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 1, 10, 4
  5. 2, 6, 5, 2
  6. 4, 11, 4, 1
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 10 %
  10. Median 5
  11. Median 2
  12. Median 2
  13. 2
  14. 2,42
  15. 2,05
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 10,8 statt 4,75; Median 6 statt 4,5
  20. Mittelwert 12 statt 6,25; Median 6 statt 5,5
  21. Mittelwert 47,86 statt 22,5; Median 20 statt 19
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. Wunschgericht, Kategorien
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 8; 30 bis unter 40: 2; 40 bis unter 50: 1
  28. 24 Personen
  29. 90 bis unter 120 min: 6 statt 9
  30. Modalwert 0, Median 1
  31. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  32. 2 Werte
  33. 15 Werte
  34. Modalwert 1, Median 5
  35. 1,83
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  37. Mittelwert 69 statt 23,75; Median 26 statt 26
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 5,4
  40. Median 8; Spannweite 12