Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 2, 2, 10, 5, 5. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 4,8
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 6, 11, 20, 17, 2. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 2, 6, 11, 17, 20
2. Median = mittlerer Wert = 11
3. Spannweite = 20 − 2 = 18
Ergebnis:
Median 11; Spannweite 18

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Jonas will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

Ergebnis:

nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
So fängst du an:
Die Antworten sind Zahlen
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
●2
Für die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ wird das Merkmal „Handyzeit in Minuten pro Tag“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Zahlen
2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
Ergebnis:
ja, die Antworten sind Zahlen
★3
Noah will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
Ergebnis:
nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 29, 9, 19, 31, 27, 41, 36, 24, 24, 7, 14, 23, 38, 30, 37. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.

Schritt für Schritt

0 bis unter 10 min: 2
10 bis unter 20 min: 2
20 bis unter 30 min: 5
30 bis unter 40 min: 5
40 bis unter 50 min: 1
Probe: 2 + 2 + 5 + 5 + 1 = 15

0 bis unter 10 min: 2
10 bis unter 20 min: 2
20 bis unter 30 min: 5
30 bis unter 40 min: 5
40 bis unter 50 min: 1
Probe: 2 + 2 + 5 + 5 + 1 = 15

Ergebnis:

2, 2, 5, 5, 1

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Sprungweite in cm): 311, 341, 392, 415, 363, 372, 333, 361, 303, 341, 390, 307, 367, 375, 281. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
2. Gezählt: 415
3. Das sind 1
Ergebnis:
1 Werte
●5
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 101, 148, 138, 59, 81, 59, 117, 110, 52, 126, 52, 144, 168, 96, 114. Wie viele Werte liegen in der Klasse 90 bis unter 120 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 90 und alles bis kurz vor 120
2. Gezählt: 101, 117, 110, 96, 114
3. Das sind 5
Ergebnis:
5 Werte
★6
Die Werte (Sprungweite in cm): 342, 340, 372, 415, 349, 372, 322, 367, 265, 360, 285, 315, 330, 370, 415, 407, 380, 323, 355, 423. Wie viele Werte liegen in der Klasse 350 bis unter 400 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 350 und alles bis kurz vor 400
2. Gezählt: 372, 372, 367, 360, 370, 380, 355
3. Das sind 7
Ergebnis:
7 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?

Schritt für Schritt

Höchste Säule: über 10 bis 20
Höhe 10

Höchste Säule: über 10 bis 20
Höhe 10

Ergebnis:

10 bis unter 20 min: 10

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
So fängst du an:
Säulenhöhen ablesen: 1, 12, 5, 2
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 1, 12, 5, 2
2. Summe: 1 + 12 + 5 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen
●8
Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 8, 3
2. Summe: 2 + 7 + 8 + 3 = 20
Ergebnis:
20 Personen
★9
Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 160 cm oder darüber?
Lösung zeigen
1. Ab 160: 13 + 10 = 23
2. Gesamt: 30
3. 23 : 30 · 100 ≈ 76,67
Ergebnis:
76,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 26 Antworten.

Schritt für Schritt

Häufigster Wert: 6 (6-mal)
26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 9, bis 3: 11, bis 4: 15
Median: 4

Häufigster Wert: 6 (6-mal)
26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
Aufsummiert: bis 1: 5, bis 2: 9, bis 3: 11, bis 4: 15
Median: 4

Ergebnis:

Modalwert 6, Median 4

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 1 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 10, bis 2: 14
4. Median: 1,5
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1,5
●11
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 18 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (6-mal)
2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 7, bis 2: 7, bis 3: 12
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 3
★12
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 29 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (10-mal)
2. 29 Werte, Median ist der 15. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 16
4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 1

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.

Schritt für Schritt

0 · 6 + 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 5 + 4 · 6 + 5 · 0 = 62
Anzahl aller Werte: 32
62 : 32 ≈ 1,94

0 · 6 + 1 · 7 + 2 · 8 + 3 · 5 + 4 · 6 + 5 · 0 = 62
Anzahl aller Werte: 32
62 : 32 ≈ 1,94

Ergebnis:

1,94

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
So fängst du an:
1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 7 + 6 · 2 = 92
Lösung zeigen
1. 1 · 1 + 2 · 1 + 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 7 + 6 · 2 = 92
2. Anzahl aller Werte: 23
3. 92 : 23 = 4
Ergebnis:
4
●14
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 25 Antworten).
Lösung zeigen
1. 0 · 5 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 6 + 4 · 2 = 45
2. Anzahl aller Werte: 25
3. 45 : 25 = 1,8
Ergebnis:
1,8
★15
Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 0 · 5 + 1 · 1 + 2 · 4 + 3 · 3 + 4 · 9 = 54
2. Anzahl aller Werte: 22
3. 54 : 22 ≈ 2,45
Ergebnis:
2,45

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 13, 16, 7, 23, 16, 16. 8b: 21, 23, 17, 22, 12, 24. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert 8a: 91 : 6 ≈ 15,17
Mittelwert 8b: 119 : 6 ≈ 19,83
Spannweite: 16 gegen 12

Mittelwert 8a: 91 : 6 ≈ 15,17
Mittelwert 8b: 119 : 6 ≈ 19,83
Spannweite: 16 gegen 12

Ergebnis:

im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 15, 16, 15, 13, 15. Staffel B: 17, 19, 15, 16, 13, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Staffel A: 88 : 6 ≈ 14,67
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 88 : 6 ≈ 14,67
2. Mittelwert Staffel B: 99 : 6 = 16,5
3. Spannweite: 3 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
●17
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 14, 18, 14, 19, 17. Staffel B: 15, 13, 15, 13, 17, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Staffel A: 98 : 6 ≈ 16,33
2. Mittelwert Staffel B: 92 : 6 ≈ 15,33
3. Spannweite: 5 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
★18
Punkte im Test. 8a: 24, 22, 17, 12, 13, 13, 23, 15. 8b: 5, 14, 24, 9, 18, 21, 20, 8. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 139 : 8 ≈ 17,38
2. Mittelwert 8b: 119 : 8 ≈ 14,88
3. Spannweite: 12 gegen 19
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 6, 8, 9, 7, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.

Schritt für Schritt

Mit 45: Mittelwert 75 : 5 = 15, Median 8
Ohne: Mittelwert 30 : 4 = 7,5, Median 7,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 45: Mittelwert 75 : 5 = 15, Median 8
Ohne: Mittelwert 30 : 4 = 7,5, Median 7,5
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 15 statt 7,5; Median 8 statt 7,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Taschengeld im Monat in Euro: 18, 20, 39, 22, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
So fängst du an:
Mit 150: Mittelwert 249 : 5 = 49,8, Median 22
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 249 : 5 = 49,8, Median 22
2. Ohne: Mittelwert 99 : 4 = 24,75, Median 21
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 49,8 statt 24,75; Median 22 statt 21
●20
Handyzeit am Tag in Minuten: 91, 83, 71, 97, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Lösung zeigen
1. Mit 540: Mittelwert 882 : 5 = 176,4, Median 91
2. Ohne: Mittelwert 342 : 4 = 85,5, Median 87
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 176,4 statt 85,5; Median 91 statt 87
★21
Taschengeld im Monat in Euro: 25, 34, 24, 18, 35, 30, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
Lösung zeigen
1. Mit 150: Mittelwert 316 : 7 ≈ 45,14, Median 30
2. Ohne: Mittelwert 166 : 6 ≈ 27,67, Median 27,5
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 45,14 statt 27,67; Median 30 statt 27,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 14 % auf 22 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Unterschied: 22 − 14 = 8 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 8 : 14 · 100 ≈ 57,14 %

Unterschied: 22 − 14 = 8 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 8 : 14 · 100 ≈ 57,14 %

Ergebnis:

ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 57,14 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „63 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
5 von 8 sind 62,5 %
Lösung zeigen
1. 5 von 8 sind 62,5 %
2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 24 % auf 32 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 32 − 24 = 8 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 8 : 24 · 100 ≈ 33,33 %
Ergebnis:
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 33,33 % mehr
★24
In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 2,3 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 2,3 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Lösung zeigen
1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Emre will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
Ergebnis:
nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
●26
Frage: „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“ Befragt werden 25 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
Lösung zeigen
1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
2. Nein: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
Ergebnis:
geeignet
●27
Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 185, 169, 175, 159, 160, 165, 153, 162, 168, 165, 169, 165, 165, 165, 180. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
1. 150 bis unter 160 cm: 2
2. 160 bis unter 170 cm: 10
3. 170 bis unter 180 cm: 1
4. 180 bis unter 190 cm: 2
5. Probe: 2 + 10 + 1 + 2 = 15
Ergebnis:
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 1; 180 bis unter 190: 2
●28
In der Tabelle (Körpergröße) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
Lösung zeigen
1. Gesamt: 4 + 7 + 13 + 1 = 25
2. Größte Anzahl: 13
Ergebnis:
25; 170 bis unter 180 cm
●29
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 1, 10, 11, 6, 2 für die Klassen ab 0 min. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 1, 10, 11, 6, 2 vergleichen
2. Die Säule 10 bis unter 20 ist 12 hoch
3. Richtig ist 10
Ergebnis:
10 bis unter 20 min: 10 statt 12
●30
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 26 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 7, bis 2: 15
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
15 Werte (Sprungweite in cm): 264, 370, 287, 403, 395, 391, 304, 352, 381, 357, 315, 341, 331, 343, 322. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
Ergebnis:
2, 6, 6, 1
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
Lösung zeigen
Ergebnis:
4 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 21 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 0, Median 1
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 22 Antworten).
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,5
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 401, 301, 410, 359, 399, 378. Gruppe Süd: 359, 332, 393, 330, 403, 342. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Handyzeit am Tag in Minuten: 98, 122, 103, 112, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 183 statt 108,75; Median 112 statt 107,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 16 % auf 26 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 10 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
Ergebnis:
ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 62,5 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

ja, die Antworten sind Zahlen
ja, die Antworten sind Zahlen
nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
1 Werte
5 Werte
7 Werte
20 Personen
20 Personen
76,67 %
Modalwert 1, Median 1,5
Modalwert 4, Median 3
Modalwert 4, Median 1
4
1,8
2,45
im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
Mittelwert 49,8 statt 24,75; Median 22 statt 21
Mittelwert 176,4 statt 85,5; Median 91 statt 87
Mittelwert 45,14 statt 27,67; Median 30 statt 27,5
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 33,33 % mehr
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
geeignet
150 bis unter 160: 2; 160 bis unter 170: 10; 170 bis unter 180: 1; 180 bis unter 190: 2
25; 170 bis unter 180 cm
10 bis unter 20 min: 10 statt 12
Modalwert 2, Median 2
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
2, 6, 6, 1
4 Werte
Modalwert 0, Median 1
1,5
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
Mittelwert 183 statt 108,75; Median 112 statt 107,5
ungenau: 10 Prozentpunkte, das sind 62,5 % mehr
x̄ = 4,8
Median 11; Spannweite 18