Zum Inhalt springen
Anmelden

Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Andere ZahlenBasiswissenAlle Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 1, 8, 15, 4, 10. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 17, 8, 13, 18, 9. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 8, 9, 13, 17, 18
    2. Median = mittlerer Wert = 13
    3. Spannweite = 18 − 8 = 10
    Ergebnis:
    Median 13; Spannweite 10

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ wird das Merkmal „Wunschgericht“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●2
    Sara will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ wird das Merkmal „Schlafdauer in Stunden“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Körpergröße in cm): 161, 165, 164, 153, 163, 168, 183, 163, 169, 168, 169, 170, 180, 172, 157. Wie viele Werte liegen in der Klasse 150 bis unter 160 cm? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 160
  2. Gezählt: 153, 157
  3. Das sind 2
  1. Die Klasse umfasst 150 und alles bis kurz vor 160
  2. Gezählt: 153, 157
  3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 23, 29, 31, 27, 20, 26, 25, 20, 33, 13, 20, 22, 5, 13, 21. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    So fängst du an:
    0 bis unter 10 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 2
    3. 20 bis unter 30 min: 10
    4. 30 bis unter 40 min: 2
    5. Probe: 1 + 2 + 10 + 2 = 15
    Ergebnis:
    1, 2, 10, 2
  2. ●5
    15 Werte (Schulweg in min): 35, 28, 27, 26, 30, 14, 21, 24, 15, 23, 34, 22, 33, 14, 8. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10?10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 3
    3. 20 bis unter 30 min: 7
    4. 30 bis unter 40 min: 4
    5. Probe: 1 + 3 + 7 + 4 = 15
    Ergebnis:
    1, 3, 7, 4
  3. ★6
    Die Werte (Sprungweite in cm): 385, 347, 370, 369, 410, 402, 291, 295, 290, 374, 344, 383, 315, 288, 309, 353, 315, 297, 377, 332. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
    2. Gezählt: 410, 402
    3. Das sind 2
    Ergebnis:
    2 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
012345678250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 4, 7, 5
  2. Summe: 4 + 4 + 7 + 5 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 4, 7, 5
  2. Summe: 4 + 4 + 7 + 5 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 2, 11, 4, 3
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 11, 4, 3
    2. Summe: 2 + 11 + 4 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    01234567891011126090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 60 bis 90
    2. Höhe 11
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 11
  3. ★9
    Wie viel Prozent der Werte im Histogramm liegen bei 90 min oder darüber?
    0246810120306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Ab 90: 12 + 4 + 1 = 17
    2. Gesamt: 30
    3. 17 : 30 · 100 ≈ 56,67
    Ergebnis:
    56,67 %

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 25 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl56257
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 4 (7-mal)
  2. 25 Werte, Median ist der 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 11, bis 2: 13
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 4 (7-mal)
  2. 25 Werte, Median ist der 13. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 11, bis 2: 13
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Jonas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 17 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl32363
    So fängst du an:
    17 Werte: Median ist der 9. Wert
    Lösung zeigen
    1. 17 Werte: Median ist der 9. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 5, bis 2: 8, bis 3: 14
    3. Median: 3
    Ergebnis:
    Median 3
  2. ●11
    Aylin schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 18 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl47502
    Lösung zeigen
    1. 18 Werte: Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 11
    3. Median: 1
    Ergebnis:
    Median 1
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 36 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl1151019
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (11-mal)
    2. 36 Werte, Median ist das Mittel aus dem 18. und 19. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 11, bis 1: 16, bis 2: 26
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 22 Antworten).
Anzahl01234Anzahl38533
Schritt für Schritt
  1. 0 · 3 + 1 · 8 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 3 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 39 : 22 ≈ 1,77
  1. 0 · 3 + 1 · 8 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 3 = 39
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 39 : 22 ≈ 1,77
Ergebnis:
1,77

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl41537
    So fängst du an:
    0 · 4 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 7 = 48
    Lösung zeigen
    1. 0 · 4 + 1 · 1 + 2 · 5 + 3 · 3 + 4 · 7 = 48
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 48 : 20 = 2,4
    Ergebnis:
    2,4
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 20 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl06185
    Lösung zeigen
    1. 0 · 0 + 1 · 6 + 2 · 1 + 3 · 8 + 4 · 5 = 52
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 52 : 20 = 2,6
    Ergebnis:
    2,6
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl61711110
    Lösung zeigen
    1. 0 · 6 + 1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 11 + 4 · 1 + 5 · 10 = 102
    2. Anzahl aller Werte: 36
    3. 102 : 36 ≈ 2,83
    Ergebnis:
    2,83

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 412, 391, 419, 290, 388, 408. Gruppe Süd: 347, 327, 319, 286, 304, 307. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2308 : 6 ≈ 384,67
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 1890 : 6 = 315
  3. Spannweite: 129 gegen 61
  1. Mittelwert Gruppe Nord: 2308 : 6 ≈ 384,67
  2. Mittelwert Gruppe Süd: 1890 : 6 = 315
  3. Spannweite: 129 gegen 61
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 11, 9, 15, 4, 17, 21. 8b: 20, 23, 15, 4, 8, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 77 : 6 ≈ 12,83
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 77 : 6 ≈ 12,83
    2. Mittelwert 8b: 83 : 6 ≈ 13,83
    3. Spannweite: 17 gegen 19
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 13, 18, 13, 18, 17. Staffel B: 19, 19, 17, 13, 17, 18. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 93 : 6 = 15,5
    2. Mittelwert Staffel B: 103 : 6 ≈ 17,17
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  3. ★18
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 18, 13, 14, 14, 19, 16, 15. Staffel B: 17, 14, 18, 15, 18, 15, 16, 17. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 125 : 8 ≈ 15,63
    2. Mittelwert Staffel B: 130 : 8 = 16,25
    3. Spannweite: 6 gegen 4
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 83, 136, 72, 128, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
Schritt für Schritt
  1. Mit 480: Mittelwert 899 : 5 = 179,8, Median 128
  2. Ohne: Mittelwert 419 : 4 = 104,75, Median 105,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 480: Mittelwert 899 : 5 = 179,8, Median 128
  2. Ohne: Mittelwert 419 : 4 = 104,75, Median 105,5
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 179,8 statt 104,75; Median 128 statt 105,5

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 63, 89, 73, 88, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 540: Mittelwert 853 : 5 = 170,6, Median 88
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 853 : 5 = 170,6, Median 88
    2. Ohne: Mittelwert 313 : 4 = 78,25, Median 80,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 170,6 statt 78,25; Median 88 statt 80,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 36, 33, 40, 15, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 324 : 5 = 64,8, Median 36
    2. Ohne: Mittelwert 124 : 4 = 31, Median 34,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 64,8 statt 31; Median 36 statt 34,5
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 8, 5, 2, 9, 3, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
    Lösung zeigen
    1. Mit 35: Mittelwert 66 : 7 ≈ 9,43, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 31 : 6 ≈ 5,17, Median 4,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 9,43 statt 5,17; Median 5 statt 4,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 36 % auf 42 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht36 %42 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 42 − 36 = 6 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 42 − 36 = 6 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 6 : 36 · 100 ≈ 16,67 %
    Ergebnis:
    ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 38 % auf 43 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht38 %43 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 43 − 38 = 5 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 5 : 38 · 100 ≈ 13,16 %
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 13,16 % mehr
  3. ★24
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „95 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht95 Prozent20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 19 von 20 sind 95 %
    2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Verkehrsmittel
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Verkehrsmittel, Kategorien
  2. ●26
    Noah befragt für die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“ aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder – insgesamt 60 Personen. Welches Problem siehst du? Wie wählt man besser aus?
    Lösung zeigen
    1. Kein Problem: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
    2. Besser: Personen aus der ganzen Schule auslosen
    Ergebnis:
    kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  3. ●27
    15 Werte (Schulweg in min): 26, 27, 39, 17, 37, 26, 11, 15, 32, 24, 16, 15, 32, 11, 30. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 6
    2. 20 bis unter 30 min: 4
    3. 30 bis unter 40 min: 5
    4. Probe: 6 + 4 + 5 = 15
    Ergebnis:
    6, 4, 5
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 10 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min210 bis unter 20 min520 bis unter 30 min1030 bis unter 40 min8
    Lösung zeigen
    1. Unter 10: nur die erste Klasse, 2
    2. Anteil: 2 : 25 · 100 = 8
    Ergebnis:
    8 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789101112306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 3, 11, 4, 1
    2. Summe: 1 + 3 + 11 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min610 bis unter 20 min820 bis unter 30 min1430 bis unter 40 min1040 bis unter 50 min2
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 3, 4, 7, 5, 1 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    3, 4, 7, 5, 1 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Zeynep will die Frage „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Preis des Mittagessens“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Wunschgericht

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Sprungweite in cm): 321, 414, 362, 376, 298, 333, 367, 326, 302, 278, 307, 348, 345, 321, 423. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300?300 bis unter 350?350 bis unter 400?400 bis unter 450?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2, 8, 3, 2

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    0123456780306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    60 bis unter 90 min: 7

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Aylin schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 16 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl45601
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 1

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Tore pro Spiel, 31 Antworten).
    Tore012345Anzahl653548
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,65

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 419, 326, 315, 326, 415, 317. Gruppe Süd: 373, 385, 295, 386, 371, 359. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Taschengeld im Monat in Euro: 20, 40, 17, 26, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 60,6 statt 25,75; Median 26 statt 23

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 37 % auf 39 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht37 %39 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,41 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  3. ja, die Antworten sind Zahlen
  4. 1, 2, 10, 2
  5. 1, 3, 7, 4
  6. 2 Werte
  7. 20 Personen
  8. 60 bis unter 90 min: 11
  9. 56,67 %
  10. Median 3
  11. Median 1
  12. Modalwert 0, Median 2
  13. 2,4
  14. 2,6
  15. 2,83
  16. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  17. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  18. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  19. Mittelwert 170,6 statt 78,25; Median 88 statt 80,5
  20. Mittelwert 64,8 statt 31; Median 36 statt 34,5
  21. Mittelwert 9,43 statt 5,17; Median 5 statt 4,5
  22. ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 16,67 % mehr
  23. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 13,16 % mehr
  24. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  25. Verkehrsmittel, Kategorien
  26. kein Problem, die Auswahl ist unabhängig
  27. 6, 4, 5
  28. 8 %
  29. 20 Personen
  30. 3, 4, 7, 5, 1 Kästchen
  31. nein, besser: Wunschgericht
  32. 2, 8, 3, 2
  33. 60 bis unter 90 min: 7
  34. Median 1
  35. 2,65
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 60,6 statt 25,75; Median 26 statt 23
  38. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,41 % mehr
  39. x̄ = 7,6
  40. Median 13; Spannweite 10