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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 13, 7, 5, 5, 9. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 7,8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 5, 15, 16, 6, 12. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 5, 6, 12, 15, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 12
    3. Spannweite = 16 − 5 = 11
    Ergebnis:
    Median 12; Spannweite 11

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Tim will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
  2. Besser: Verkehrsmittel
  1. Nein: die Länge sagt nicht, ob jemand Bus oder Rad fährt
  2. Besser: Verkehrsmittel
Ergebnis:
nein, besser: Verkehrsmittel

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Lea will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    So fängst du an:
    Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  2. ●2
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Körpergröße in cm): 157, 154, 165, 163, 168, 177, 159, 168, 170, 165, 167, 161, 166, 165, 161. Wie viele Werte liegen in der Klasse 170 bis unter 180 cm? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 170 und alles bis kurz vor 180
  2. Gezählt: 177, 170
  3. Das sind 2
  1. Die Klasse umfasst 170 und alles bis kurz vor 180
  2. Gezählt: 177, 170
  3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Schulweg in min): 15, 24, 16, 36, 25, 24, 37, 27, 34, 11, 24, 33, 4, 20, 25. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 40 min? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 40
    2. Gezählt: 36, 37, 34, 33
    3. Das sind 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  2. ●5
    Sprungweite von 15 Kindern beim Sportfest in cm: 325, 360, 285, 269, 326, 335, 402, 374, 378, 280, 303, 310, 384, 415, 433. Teile in Klassen der Breite 50 cm ein, beginnend bei 250. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Kindern50 cm?
    Lösung zeigen
    1. 250 bis unter 300 cm: 3
    2. 300 bis unter 350 cm: 5
    3. 350 bis unter 400 cm: 4
    4. 400 bis unter 450 cm: 3
    5. Probe: 3 + 5 + 4 + 3 = 15
    Ergebnis:
    250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 3
  3. ★6
    Handyzeit am Tag von 20 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 142, 112, 110, 135, 102, 79, 60, 73, 70, 99, 36, 174, 87, 74, 92, 75, 117, 79, 102, 85. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 1
    2. 60 bis unter 90 min: 9
    3. 90 bis unter 120 min: 7
    4. 120 bis unter 150 min: 2
    5. 150 bis unter 180 min: 1
    6. Probe: 1 + 9 + 7 + 2 + 1 = 20
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 9; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 1

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 9, 5, 2
  2. Summe: 4 + 9 + 5 + 2 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 4, 9, 5, 2
  2. Summe: 4 + 9 + 5 + 2 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    024681012250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Höchste Säule: über 350 bis 400
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 350 bis 400
    2. Höhe 12
    Ergebnis:
    350 bis unter 400 cm: 12
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678306090120150Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 7, 6, 3
    2. Summe: 4 + 7 + 6 + 3 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    0246810121416010203040Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 4, 5, 15, 6
    2. Summe: 4 + 5 + 15 + 6 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 14 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl35240
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 1 (5-mal)
  2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 8
  4. Median: 1
  1. Häufigster Wert: 1 (5-mal)
  2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 8
  4. Median: 1
Ergebnis:
Modalwert 1, Median 1

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 19 Antworten.
    Tore012345Anzahl852004
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 13
    4. Median: 1
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 22 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl832360
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (8-mal)
    2. 22 Werte, Median ist das Mittel aus dem 11. und 12. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 8, bis 1: 11, bis 2: 13
    4. Median: 1,5
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1,5
  3. ★12
    Aylin schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 27 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Note123456Anzahl1210752
    Lösung zeigen
    1. 27 Werte: Median ist der 14. Wert
    2. Aufsummiert: bis 1: 1, bis 2: 3, bis 3: 13, bis 4: 20
    3. Median: 4
    Ergebnis:
    Median 4

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Anzahl01234Anzahl64813
Schritt für Schritt
  1. 0 · 6 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 3 = 35
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 35 : 22 ≈ 1,59
  1. 0 · 6 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 3 = 35
  2. Anzahl aller Werte: 22
  3. 35 : 22 ≈ 1,59
Ergebnis:
1,59

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 24 Antworten).
    Bücher01234Anzahl36672
    So fängst du an:
    0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 6 + 3 · 7 + 4 · 2 = 47
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 6 + 3 · 7 + 4 · 2 = 47
    2. Anzahl aller Werte: 24
    3. 47 : 24 ≈ 1,96
    Ergebnis:
    1,96
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 19 Antworten).
    Bücher01234Anzahl14824
    Lösung zeigen
    1. 0 · 1 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 2 + 4 · 4 = 42
    2. Anzahl aller Werte: 19
    3. 42 : 19 ≈ 2,21
    Ergebnis:
    2,21
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 35 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl210788
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 10 + 2 · 7 + 3 · 8 + 4 · 8 = 80
    2. Anzahl aller Werte: 35
    3. 80 : 35 ≈ 2,29
    Ergebnis:
    2,29

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 20, 14, 7, 5, 5, 18. 8b: 22, 5, 15, 20, 20, 7. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 69 : 6 = 11,5
  2. Mittelwert 8b: 89 : 6 ≈ 14,83
  3. Spannweite: 15 gegen 17
  1. Mittelwert 8a: 69 : 6 = 11,5
  2. Mittelwert 8b: 89 : 6 ≈ 14,83
  3. Spannweite: 15 gegen 17
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 295, 368, 407, 282, 295, 363. Gruppe Süd: 315, 349, 385, 381, 401, 359. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2010 : 6 = 335
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2010 : 6 = 335
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2190 : 6 = 365
    3. Spannweite: 125 gegen 86
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  2. ●17
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 18, 19, 16, 16, 16, 15. Staffel B: 13, 13, 16, 14, 15, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
    2. Mittelwert Staffel B: 84 : 6 = 14
    3. Spannweite: 4 gegen 3
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  3. ★18
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 414, 401, 323, 404, 283, 283, 368, 391. Gruppe Süd: 329, 301, 298, 319, 359, 385, 354, 408. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2867 : 8 ≈ 358,38
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2753 : 8 ≈ 344,13
    3. Spannweite: 131 gegen 110
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 19, 20, 26, 40, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
Schritt für Schritt
  1. Mit 150: Mittelwert 255 : 5 = 51, Median 26
  2. Ohne: Mittelwert 105 : 4 = 26,25, Median 23
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 150: Mittelwert 255 : 5 = 51, Median 26
  2. Ohne: Mittelwert 105 : 4 = 26,25, Median 23
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 51 statt 26,25; Median 26 statt 23

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 40, 33, 17, 22, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 150: Mittelwert 262 : 5 = 52,4, Median 33
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 262 : 5 = 52,4, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 112 : 4 = 28, Median 27,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 52,4 statt 28; Median 33 statt 27,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 37, 36, 36, 29, 150. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 150.
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 288 : 5 = 57,6, Median 36
    2. Ohne: Mittelwert 138 : 4 = 34,5, Median 36
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 57,6 statt 34,5; Median 36 statt 36
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 2, 9, 7, 7, 8, 45. Wie stark verändert der Wert 45 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 83 : 7 ≈ 11,86, Median 7
    2. Ohne: Mittelwert 38 : 6 ≈ 6,33, Median 7
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 11,86 statt 6,33; Median 7 statt 7

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht60 Prozent15 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 9 von 15 sind 60 %
  2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 9 von 15 sind 60 %
  2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „88 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 8 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht88 Prozent8 Kinder?
    So fängst du an:
    7 von 8 sind 87,5 %
    Lösung zeigen
    1. 7 von 8 sind 87,5 %
    2. Aber: 8 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 54 %, Chat-App 40 %, Spiele 23 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht54 %40 %23 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 54 + 40 + 23 = 117
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 25 % auf 30 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht25 %30 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 30 − 25 = 5 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 5 : 25 · 100 = 20 %
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 20 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingssportart
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingssportart, Kategorien
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie kommen die Kinder unserer Schule zur Schule?“: A befragt 20 Personen, nämlich die Kinder, die morgens am Fahrradständer stehen. B lost 20 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht20 Personen20 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: nur Radfahrer werden gefragt, das Ergebnis ist verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Körpergröße von 15 Jugendlichen im Sportverein in cm: 178, 162, 152, 161, 170, 170, 171, 155, 155, 168, 178, 177, 177, 159, 151. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht15 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 5
    2. 160 bis unter 170 cm: 3
    3. 170 bis unter 180 cm: 7
    4. Probe: 5 + 3 + 7 = 15
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 3; 170 bis unter 180: 7
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 40 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20 min1120 bis unter 30 min830 bis unter 40 min540 bis unter 50 min1
    Lösung zeigen
    1. Unter 40: 11 + 8 + 5 = 24
    2. Anteil: 24 : 25 · 100 = 96
    Ergebnis:
    96 %
  5. ●29
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm6300 bis unter 350 cm9350 bis unter 400 cm11400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 3, 4,5, 5,5, 2 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    3, 4,5, 5,5, 2 Kästchen
  6. ●30
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von 21 Jugendlichen im Sportverein. Gib die Modalklasse an und die Klasse, in der der Median liegt.
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Modalklasse: die meisten Werte, 9
    2. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert bis 160 bis unter 170: 12 ≥ 11
    Ergebnis:
    Modalklasse 160 bis unter 170 cm; Median in 160 bis unter 170 cm

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Welches Essen wünschen sich die Kinder in der Mensa?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Wunschgericht, Kategorien

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    15 Werte (Körpergröße in cm): 166, 162, 175, 162, 169, 166, 170, 157, 164, 168, 173, 162, 183, 158, 165. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl150 bis unter 160?160 bis unter 170?170 bis unter 180?180 bis unter 190?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2, 9, 3, 1

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 60 min?
    01234560306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    5 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 24 Antworten.
    Note123456Anzahl347811
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Anzahl der Geschwister“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Anzahl01234Anzahl51067
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,47

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 295, 333, 358, 314, 384, 281. Gruppe Süd: 325, 350, 367, 373, 393, 324. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Handyzeit am Tag in Minuten: 93, 113, 93, 132, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 206,2 statt 107,75; Median 113 statt 103

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 48 %, Chat-App 36 %, Spiele 21 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht48 %36 %21 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  2. Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen
  3. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  4. 4 Werte
  5. 250 bis unter 300: 3; 300 bis unter 350: 5; 350 bis unter 400: 4; 400 bis unter 450: 3
  6. 30 bis unter 60: 1; 60 bis unter 90: 9; 90 bis unter 120: 7; 120 bis unter 150: 2; 150 bis unter 180: 1
  7. 350 bis unter 400 cm: 12
  8. 20 Personen
  9. 30 Personen
  10. Modalwert 0, Median 1
  11. Modalwert 0, Median 1,5
  12. Median 4
  13. 1,96
  14. 2,21
  15. 2,29
  16. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  17. im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
  18. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  19. Mittelwert 52,4 statt 28; Median 33 statt 27,5
  20. Mittelwert 57,6 statt 34,5; Median 36 statt 36
  21. Mittelwert 11,86 statt 6,33; Median 7 statt 7
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  24. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 20 % mehr
  25. Lieblingssportart, Kategorien
  26. B
  27. 150 bis unter 160: 5; 160 bis unter 170: 3; 170 bis unter 180: 7
  28. 96 %
  29. 3, 4,5, 5,5, 2 Kästchen
  30. Modalklasse 160 bis unter 170 cm; Median in 160 bis unter 170 cm
  31. Wunschgericht, Kategorien
  32. 2, 9, 3, 1
  33. 5 Werte
  34. Modalwert 4, Median 3
  35. 2,47
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 206,2 statt 107,75; Median 113 statt 103
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 7,8
  40. Median 12; Spannweite 11