Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
Merken kommt ins Heft
Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
Üben selbst rechnen
Achtung typischer Fehler
Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

●39
Punkte im Test: 5, 3, 11, 10, 1. Berechne Mittelwert.
Lösung zeigen
Ergebnis:
x̄ = 6
●40
Körpergrößen-Abweichungen in cm: 18, 16, 17, 10, 11. Bestimme Median und Spannweite.
Lösung zeigen
1. Sortieren: 10, 11, 16, 17, 18
2. Median = mittlerer Wert = 16
3. Spannweite = 18 − 10 = 8
Ergebnis:
Median 16; Spannweite 8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Lea will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.

Schritt für Schritt

Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

Ergebnis:

nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○1
Tim will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
So fängst du an:
Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
Lösung zeigen
1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
Ergebnis:
nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
●2
Mila will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
Ergebnis:
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
★3
Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
Lösung zeigen
1. Die Antworten sind Kategorien.
2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
Ergebnis:
nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 63, 140, 37, 67, 105, 100, 54, 134, 101, 81, 109, 93, 65, 36, 93. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 60 min? Achte auf die Grenzen.

Schritt für Schritt

Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
Gezählt: 37, 54, 36
Das sind 3

Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
Gezählt: 37, 54, 36
Das sind 3

Ergebnis:

3 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○4
Die Werte (Körpergröße in cm): 159, 161, 181, 163, 168, 179, 153, 179, 163, 164, 171, 181, 157, 161, 170. Wie viele Werte liegen in der Klasse 180 bis unter 190 cm? Achte auf die Grenzen.
So fängst du an:
Die Klasse umfasst 180 und alles bis kurz vor 190
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 180 und alles bis kurz vor 190
2. Gezählt: 181, 181
3. Das sind 2
Ergebnis:
2 Werte
●5
Die Werte (Handyzeit am Tag in min): 139, 83, 68, 96, 112, 113, 55, 60, 94, 173, 54, 58, 109, 104, 164. Wie viele Werte liegen in der Klasse 30 bis unter 60 min? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 30 und alles bis kurz vor 60
2. Gezählt: 55, 54, 58
3. Das sind 3
Ergebnis:
3 Werte
★6
20 Werte (Sprungweite in cm): 392, 411, 398, 347, 341, 387, 402, 357, 363, 424, 271, 405, 372, 398, 311, 399, 343, 376, 304, 370. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
Lösung zeigen
1. 250 bis unter 300 cm: 1
2. 300 bis unter 350 cm: 5
3. 350 bis unter 400 cm: 10
4. 400 bis unter 450 cm: 4
5. Probe: 1 + 5 + 10 + 4 = 20
Ergebnis:
1, 5, 10, 4

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?

Schritt für Schritt

Säulen links von 300: 1
Nur eine Säule: 1

Säulen links von 300: 1
Nur eine Säule: 1

Ergebnis:

1 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht

Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1

So richtig

20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

○7
Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 180 cm?
So fängst du an:
Säulen links von 180: 4, 7, 8
Lösung zeigen
1. Säulen links von 180: 4, 7, 8
2. 4 + 7 + 8 = 19
Ergebnis:
19 Werte
●8
Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 2, 8, 5, 5
2. Summe: 2 + 8 + 5 + 5 = 20
Ergebnis:
20 Personen
★9
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
Lösung zeigen
1. Säulenhöhen ablesen: 3, 8, 10, 7, 2
2. Summe: 3 + 8 + 10 + 7 + 2 = 30
Ergebnis:
30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Tim schreibt für die Tabelle (Note in der Mathearbeit) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.

Schritt für Schritt

21 Werte: Median ist der 11. Wert
Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 12
Median: 4

21 Werte: Median ist der 11. Wert
Aufsummiert: bis 1: 2, bis 2: 3, bis 3: 5, bis 4: 12
Median: 4

Ergebnis:

Median 4

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht

Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert

So richtig

19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

○10
Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 27 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
So fängst du an:
Häufigster Wert: 3 (8-mal)
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 3 (8-mal)
2. 27 Werte, Median ist der 14. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 7, bis 2: 14
4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 2
●11
Aylin schreibt für die Tabelle (Tore pro Spiel) alle 27 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Lösung zeigen
1. 27 Werte: Median ist der 14. Wert
2. Aufsummiert: bis 0: 6, bis 1: 8, bis 2: 16
3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2
★12
Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Note in der Mathearbeit, 32 Antworten.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 3 (10-mal)
2. 32 Werte, Median ist das Mittel aus dem 16. und 17. Wert
3. Aufsummiert: bis 1: 8, bis 2: 9, bis 3: 19
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 31 Antworten).

Schritt für Schritt

1 · 7 + 2 · 2 + 3 · 4 + 4 · 8 + 5 · 5 + 6 · 5 = 110
Anzahl aller Werte: 31
110 : 31 ≈ 3,55

1 · 7 + 2 · 2 + 3 · 4 + 4 · 8 + 5 · 5 + 6 · 5 = 110
Anzahl aller Werte: 31
110 : 31 ≈ 3,55

Ergebnis:

3,55

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1

So richtig

Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

○13
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
So fängst du an:
0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 4 = 47
Lösung zeigen
1. 0 · 1 + 1 · 0 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 4 = 47
2. Anzahl aller Werte: 17
3. 47 : 17 ≈ 2,76
Ergebnis:
2,76
●14
Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
1. 1 · 1 + 2 · 7 + 3 · 5 + 4 · 6 + 5 · 0 + 6 · 1 = 60
2. Anzahl aller Werte: 20
3. 60 : 20 = 3
Ergebnis:
3
★15
Von Körpergröße kennst du nur die Klassen (siehe Tabelle). Schätze den Mittelwert mit den Klassenmitten.
Lösung zeigen
1. Klassenmitten: 155, 165, 175, 185
2. Mitte mal Anzahl, addiert: 4255
3. 4255 : 25 = 170,2
Ergebnis:
etwa 170,2 cm

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 6, 23, 18, 17, 7, 11. 8b: 10, 11, 24, 14, 12, 12. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?

Schritt für Schritt

Mittelwert 8a: 82 : 6 ≈ 13,67
Mittelwert 8b: 83 : 6 ≈ 13,83
Spannweite: 17 gegen 14

Mittelwert 8a: 82 : 6 ≈ 13,67
Mittelwert 8b: 83 : 6 ≈ 13,83
Spannweite: 17 gegen 14

Ergebnis:

im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○16
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 416, 377, 317, 303, 374, 343. Gruppe Süd: 287, 292, 370, 312, 376, 365. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
So fängst du an:
Mittelwert Gruppe Nord: 2130 : 6 = 355
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2130 : 6 = 355
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2002 : 6 ≈ 333,67
3. Spannweite: 113 gegen 89
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
●17
Punkte im Test. 8a: 16, 8, 13, 17, 4, 10. 8b: 19, 15, 16, 21, 22, 24. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert 8a: 68 : 6 ≈ 11,33
2. Mittelwert 8b: 117 : 6 = 19,5
3. Spannweite: 13 gegen 9
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
★18
Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 351, 401, 336, 395, 353, 319, 366, 288. Gruppe Süd: 316, 314, 420, 414, 408, 351, 338, 403. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Lösung zeigen
1. Mittelwert Gruppe Nord: 2809 : 8 ≈ 351,13
2. Mittelwert Gruppe Süd: 2964 : 8 = 370,5
3. Spannweite: 113 gegen 106
Ergebnis:
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 140, 124, 82, 140, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.

Schritt für Schritt

Mit 480: Mittelwert 966 : 5 = 193,2, Median 140
Ohne: Mittelwert 486 : 4 = 121,5, Median 132
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Mit 480: Mittelwert 966 : 5 = 193,2, Median 140
Ohne: Mittelwert 486 : 4 = 121,5, Median 132
Der Mittelwert springt, der Median kaum

Ergebnis:

Mittelwert 193,2 statt 121,5; Median 140 statt 132

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht

Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro

So richtig

Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

○19
Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 9, 5, 3, 3, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
So fängst du an:
Mit 35: Mittelwert 55 : 5 = 11, Median 5
Lösung zeigen
1. Mit 35: Mittelwert 55 : 5 = 11, Median 5
2. Ohne: Mittelwert 20 : 4 = 5, Median 4
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 11 statt 5; Median 5 statt 4
●20
Taschengeld im Monat in Euro: 36, 19, 29, 29, 250. Wie stark verändert der Wert 250 den Mittelwert, wie stark den Median?
Lösung zeigen
1. Mit 250: Mittelwert 363 : 5 = 72,6, Median 29
2. Ohne: Mittelwert 113 : 4 = 28,25, Median 29
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 72,6 statt 28,25; Median 29 statt 29
★21
Handyzeit am Tag in Minuten: 114, 129, 62, 85, 91, 75, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
Lösung zeigen
1. Mit 600: Mittelwert 1156 : 7 ≈ 165,14, Median 91
2. Ohne: Mittelwert 556 : 6 ≈ 92,67, Median 88
3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 165,14 statt 92,67; Median 91 statt 88

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 18 % auf 26 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 8 Prozent.“ Stimmt das?

Schritt für Schritt

Unterschied: 26 − 18 = 8 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 8 : 18 · 100 ≈ 44,44 %

Unterschied: 26 − 18 = 8 Prozentpunkte
Im Verhältnis: 8 : 18 · 100 ≈ 44,44 %

Ergebnis:

ungenau: 8 Prozentpunkte, das sind 44,44 % mehr

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht

Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten

So richtig

Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

○22
Schlagzeile der Schülerzeitung: „93 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 15 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
So fängst du an:
14 von 15 sind 93,33 %
Lösung zeigen
1. 14 von 15 sind 93,33 %
2. Aber: 15 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
●23
Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 19 % auf 25 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 6 Prozent.“ Stimmt das?
Lösung zeigen
1. Unterschied: 25 − 19 = 6 Prozentpunkte
2. Im Verhältnis: 6 : 19 · 100 ≈ 31,58 %
Ergebnis:
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 31,58 % mehr
★24
Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 52 auf 55 Punkte. Sara sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
Lösung zeigen
1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
Ergebnis:
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

●25
Ben will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
Ergebnis:
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
●26
Zwei Vorschläge für die Frage „Wie viel Taschengeld bekommen Kinder in Klasse 8?“: A befragt 45 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse fünf ausgeloste Kinder. B lost 45 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
Lösung zeigen
1. A: ausgelost und aus jeder achten Klasse, das kann die ganze Stufe gut abbilden
2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
Ergebnis:
beide brauchbar, B am sichersten
●27
Die Werte (Sprungweite in cm): 302, 432, 317, 363, 390, 382, 314, 359, 380, 367, 331, 330, 339, 332, 359. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
Lösung zeigen
1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
2. Gezählt: 432
3. Das sind 1
Ergebnis:
1 Werte
●28
Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 30 min? Gib ihn in Prozent an.
Lösung zeigen
1. Unter 30: 1 + 6 + 11 = 18
2. Anteil: 18 : 25 · 100 = 72
Ergebnis:
72 %
●29
Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 2, 9, 8, 1 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
Lösung zeigen
1. Säulen von links ablesen und mit 2, 9, 8, 1 vergleichen
2. Die Säule 150 bis unter 160 ist 4 hoch
3. Richtig ist 2
Ergebnis:
150 bis unter 160 cm: 2 statt 4
●30
Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 15 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
1. Häufigster Wert: 4 (6-mal)
2. 15 Werte, Median ist der 8. Wert
3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 5, bis 2: 6, bis 3: 9
4. Median: 3
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe: Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden: Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm: Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median: Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert: Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen: Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer: Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen: Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.
31
Aylin will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Lösung zeigen
Ergebnis:
nein, besser: Verkehrsmittel
Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.
32
Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 35, 19, 23, 40, 32, 11, 25, 23, 13, 24, 39, 25, 9, 27, 19. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Lösung zeigen
Ergebnis:
0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 3; 40 bis unter 50: 1
Ich zeichne und lese Histogramme.
33
Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
Lösung zeigen
Ergebnis:
6 Werte
Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.
34
Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 28 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Modalwert 4, Median 4
Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.
35
Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Lösung zeigen
Ergebnis:
1,96
Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.
36
Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 15, 19, 15, 15, 19. Staffel B: 16, 17, 16, 16, 15, 18. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Lösung zeigen
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.
37
Handyzeit am Tag in Minuten: 115, 78, 69, 60, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert 172,4 statt 80,5; Median 78 statt 73,5
Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.
38
In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,8 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,8 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Lösung zeigen
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit: wie oft etwas vorkommt
Median: der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert: alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz: wie viel Prozent es sind
Prozentwert: der Teil, um den es geht
Spannweite: vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler: eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
nur den häufigsten Wert
2 Werte
3 Werte
1, 5, 10, 4
19 Werte
20 Personen
30 Personen
Modalwert 3, Median 2
Median 2
Modalwert 3, Median 3
2,76
3
etwa 170,2 cm
im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
Mittelwert 11 statt 5; Median 5 statt 4
Mittelwert 72,6 statt 28,25; Median 29 statt 29
Mittelwert 165,14 statt 92,67; Median 91 statt 88
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
ungenau: 6 Prozentpunkte, das sind 31,58 % mehr
nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
beide brauchbar, B am sichersten
1 Werte
72 %
150 bis unter 160 cm: 2 statt 4
Modalwert 4, Median 3
nein, besser: Verkehrsmittel
0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 4; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 3; 40 bis unter 50: 1
6 Werte
Modalwert 4, Median 4
1,96
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel B
Mittelwert 172,4 statt 80,5; Median 78 statt 73,5
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
x̄ = 6
Median 16; Spannweite 8