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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 10, 7, 9, 13, 11. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 10
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 16, 6, 3, 7, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 3, 6, 7, 11, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 7
    3. Spannweite = 16 − 3 = 13
    Ergebnis:
    Median 7; Spannweite 13

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
Schritt für Schritt
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
  1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Anzahl gelesener Bücher pro Monat
  2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
Ergebnis:
Anzahl gelesener Bücher pro Monat, Zahlen

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    So fängst du an:
    Die Antworten sind Zahlen
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Jonas will die Frage „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Marke des Handys“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: die Marke sagt nichts über die Zeit
    2. Besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Ergebnis:
    nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

15 Werte (Schulweg in min): 18, 24, 16, 28, 28, 22, 16, 36, 25, 28, 37, 19, 16, 27, 35. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
Schritt für Schritt
  1. 10 bis unter 20 min: 5
  2. 20 bis unter 30 min: 7
  3. 30 bis unter 40 min: 3
  4. Probe: 5 + 7 + 3 = 15
  1. 10 bis unter 20 min: 5
  2. 20 bis unter 30 min: 7
  3. 30 bis unter 40 min: 3
  4. Probe: 5 + 7 + 3 = 15
Ergebnis:
5, 7, 3

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Die Werte (Sprungweite in cm): 324, 322, 369, 372, 400, 334, 296, 347, 330, 386, 346, 334, 268, 326, 319. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
    So fängst du an:
    Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
    2. Gezählt: 324, 322, 334, 347, 330, 346, 334, 326, 319
    3. Das sind 9
    Ergebnis:
    9 Werte
  2. ●5
    Die Werte (Schulweg in min): 28, 26, 11, 18, 19, 31, 18, 28, 24, 22, 19, 31, 24, 22, 7. Wie viele Werte liegen in der Klasse 20 bis unter 30 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 20 und alles bis kurz vor 30
    2. Gezählt: 28, 26, 28, 24, 22, 24, 22
    3. Das sind 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  3. ★6
    Die Werte (Körpergröße in cm): 172, 171, 168, 175, 157, 154, 150, 164, 172, 162, 169, 181, 165, 155, 173, 165, 173, 174, 163, 165. Wie viele Werte liegen in der Klasse 180 bis unter 190 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 180 und alles bis kurz vor 190
    2. Gezählt: 181
    3. Das sind 1
    Ergebnis:
    1 Werte

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 300 cm?
0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulen links von 300: 6
  2. Nur eine Säule: 6
  1. Säulen links von 300: 6
  2. Nur eine Säule: 6
Ergebnis:
6 Werte

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Körpergröße in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 170 cm?
    012345678910150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulen links von 170: 4, 6
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 170: 4, 6
    2. 4 + 6 = 10
    Ergebnis:
    10 Werte
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 400 cm?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 400: 1, 6, 10
    2. 1 + 6 + 10 = 17
    Ergebnis:
    17 Werte
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg in min. Wie viele Werte sind kleiner als 30 min?
    012345678910111201020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 30: 1, 11, 9
    2. 1 + 11 + 9 = 21
    Ergebnis:
    21 Werte

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 14 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Bücher01234Anzahl15260
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
  2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 6, bis 2: 8
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
  2. 14 Werte, Median ist das Mittel aus dem 7. und 8. Wert
  3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 6, bis 2: 8
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 3, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Anzahl der Geschwister, 28 Antworten.
    Anzahl01234Anzahl24778
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 4 (8-mal)
    2. 28 Werte, Median ist das Mittel aus dem 14. und 15. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 6, bis 2: 13, bis 3: 20
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 4, Median 3
  2. ●11
    Mila schreibt für die Tabelle (Bücher im letzten Monat) alle 26 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Bücher01234Anzahl54674
    Lösung zeigen
    1. 26 Werte: Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    2. Aufsummiert: bis 0: 5, bis 1: 9, bis 2: 15
    3. Median: 2
    Ergebnis:
    Median 2
  3. ★12
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 36 Antworten.
    Tore012345Anzahl248679
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (9-mal)
    2. 36 Werte, Median ist das Mittel aus dem 18. und 19. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 6, bis 2: 14, bis 3: 20
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 3

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Note123456Anzahl341687
Schritt für Schritt
  1. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 1 + 4 · 6 + 5 · 8 + 6 · 7 = 120
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 120 : 29 ≈ 4,14
  1. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 1 + 4 · 6 + 5 · 8 + 6 · 7 = 120
  2. Anzahl aller Werte: 29
  3. 120 : 29 ≈ 4,14
Ergebnis:
4,14

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Bücher01234Anzahl23065
    So fängst du an:
    0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 6 + 4 · 5 = 41
    Lösung zeigen
    1. 0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 0 + 3 · 6 + 4 · 5 = 41
    2. Anzahl aller Werte: 16
    3. 41 : 16 ≈ 2,56
    Ergebnis:
    2,56
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 18 Antworten).
    Bücher01234Anzahl36072
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 0 + 3 · 7 + 4 · 2 = 35
    2. Anzahl aller Werte: 18
    3. 35 : 18 ≈ 1,94
    Ergebnis:
    1,94
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 33 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl711744
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 11 + 2 · 7 + 3 · 4 + 4 · 4 = 53
    2. Anzahl aller Werte: 33
    3. 53 : 33 ≈ 1,61
    Ergebnis:
    1,61

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 17, 24, 18, 5, 13, 7. 8b: 22, 23, 10, 16, 23, 20. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
  2. Mittelwert 8b: 114 : 6 = 19
  3. Spannweite: 19 gegen 13
  1. Mittelwert 8a: 84 : 6 = 14
  2. Mittelwert 8b: 114 : 6 = 19
  3. Spannweite: 19 gegen 13
Ergebnis:
im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 373, 326, 352, 327, 314, 387. Gruppe Süd: 334, 306, 359, 321, 343, 280. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Gruppe Nord: 2079 : 6 = 346,5
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2079 : 6 = 346,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 1943 : 6 ≈ 323,83
    3. Spannweite: 73 gegen 79
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 334, 420, 382, 404, 313, 420. Gruppe Süd: 335, 338, 281, 400, 406, 367. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2273 : 6 ≈ 378,83
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2127 : 6 = 354,5
    3. Spannweite: 107 gegen 125
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 21, 19, 11, 23, 12, 17, 6, 20. 8b: 5, 4, 20, 23, 7, 13, 24, 12. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 129 : 8 ≈ 16,13
    2. Mittelwert 8b: 108 : 8 = 13,5
    3. Spannweite: 17 gegen 20
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Handyzeit am Tag in Minuten: 61, 131, 138, 63, 540. Wie stark verändert der Wert 540 den Mittelwert, wie stark den Median?
Schritt für Schritt
  1. Mit 540: Mittelwert 933 : 5 = 186,6, Median 131
  2. Ohne: Mittelwert 393 : 4 = 98,25, Median 97
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 540: Mittelwert 933 : 5 = 186,6, Median 131
  2. Ohne: Mittelwert 393 : 4 = 98,25, Median 97
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 186,6 statt 98,25; Median 131 statt 97

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Taschengeld im Monat in Euro: 30, 18, 24, 19, 200. Wie stark verändert der Wert 200 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 200: Mittelwert 291 : 5 = 58,2, Median 24
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 291 : 5 = 58,2, Median 24
    2. Ohne: Mittelwert 91 : 4 = 22,75, Median 21,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 58,2 statt 22,75; Median 24 statt 21,5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 32, 25, 36, 22, 150. Wie stark verändert der Wert 150 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    1. Mit 150: Mittelwert 265 : 5 = 53, Median 32
    2. Ohne: Mittelwert 115 : 4 = 28,75, Median 28,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 53 statt 28,75; Median 32 statt 28,5
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 108, 85, 139, 101, 137, 134, 600. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 600.
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 1304 : 7 ≈ 186,29, Median 134
    2. Ohne: Mittelwert 704 : 6 ≈ 117,33, Median 121
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 186,29 statt 117,33; Median 134 statt 121

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
Schritt für Schritt
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
  1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
  2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
Ergebnis:
Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 32 % auf 36 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 4 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht32 %36 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 36 − 32 = 4 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 36 − 32 = 4 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 4 : 32 · 100 = 12,5 %
    Ergebnis:
    ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 12,5 % mehr
  2. ●23
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 27 % auf 29 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht27 %29 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 29 − 27 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 27 · 100 ≈ 7,41 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 7,41 % mehr
  3. ★24
    Der Mittelwert der Klasse im Test stieg von 57 auf 62 Punkte. Noah sagt: „Dann haben sich alle verbessert.“ Ist das haltbar?
    Lösung zeigen
    1. Ein höherer Mittelwert heißt: die Summe ist gestiegen
    2. Einzelne können sich trotzdem verschlechtert haben
    Ergebnis:
    nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Die Schülervertretung fragt: „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Lieblingsmusikrichtung
    2. Die Antworten sind Kategorien, man kann nur zählen
    Ergebnis:
    Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  2. ●26
    Frage: „Wie viele Bücher lesen die Kinder unserer Schule?“ Befragt werden 25 Personen, nämlich die Kinder, die in der Pause in der Bibliothek sitzen. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Ja: wer in der Bibliothek sitzt, liest wahrscheinlich mehr als andere
    Ergebnis:
    nicht geeignet, verzerrt
  3. ●27
    Die Werte (Körpergröße in cm): 164, 163, 176, 165, 176, 168, 164, 183, 179, 175, 161, 163, 167, 173, 161. Wie viele Werte liegen in der Klasse 160 bis unter 170 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 160 und alles bis kurz vor 170
    2. Gezählt: 164, 163, 165, 168, 164, 161, 163, 167, 161
    3. Das sind 9
    Ergebnis:
    9 Werte
  4. ●28
    In der Tabelle (Körpergröße) fehlt die Gesamtzahl. Wie viele Personen wurden erfasst, und welche Klasse ist am stärksten besetzt?
    KlasseAnzahl150 bis unter 160 cm7160 bis unter 170 cm7170 bis unter 180 cm11
    Lösung zeigen
    1. Gesamt: 7 + 7 + 11 = 25
    2. Größte Anzahl: 11
    Ergebnis:
    25; 170 bis unter 180 cm
  5. ●29
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    01234567891001020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 20 bis 30
    2. Höhe 9
    Ergebnis:
    20 bis unter 30 min: 9
  6. ●30
    Im Histogramm ist eine Säule falsch gezeichnet. Vergleiche mit der Tabelle: Anzahlen 7, 17, 5, 1 für die Klassen ab 150 cm. Welche Säule ist falsch, und wie hoch muss sie sein?
    024681012141618150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen von links ablesen und mit 7, 17, 5, 1 vergleichen
    2. Die Säule 180 bis unter 190 ist 3 hoch
    3. Richtig ist 1
    Ergebnis:
    180 bis unter 190 cm: 1 statt 3

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Emre will die Frage „Womit kommen die Kinder zur Schule?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Länge des Schulwegs in Kilometern“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nein, besser: Verkehrsmittel

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 10, 22, 29, 31, 22, 34, 28, 32, 8, 30, 25, 8, 7, 9, 19. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 4; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 5; 30 bis unter 40: 4

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456780306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 15 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl107502
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl251161
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,44

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 367, 363, 350, 286, 393, 299. Gruppe Süd: 289, 382, 378, 346, 376, 385. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 2, 2, 4, 5, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 9,6 statt 3,25; Median 4 statt 3

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 34 % auf 36 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht34 %36 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,88 % mehr

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. ja, die Antworten sind Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nein, besser: Handyzeit in Minuten pro Tag
  4. 9 Werte
  5. 7 Werte
  6. 1 Werte
  7. 10 Werte
  8. 17 Werte
  9. 21 Werte
  10. Modalwert 4, Median 3
  11. Median 2
  12. Modalwert 5, Median 3
  13. 2,56
  14. 1,94
  15. 1,61
  16. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Nord
  18. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  19. Mittelwert 58,2 statt 22,75; Median 24 statt 21,5
  20. Mittelwert 53 statt 28,75; Median 32 statt 28,5
  21. Mittelwert 186,29 statt 117,33; Median 134 statt 121
  22. ungenau: 4 Prozentpunkte, das sind 12,5 % mehr
  23. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 7,41 % mehr
  24. nicht haltbar: der Mittelwert sagt nichts über jedes einzelne Kind
  25. Lieblingsmusikrichtung, Kategorien
  26. nicht geeignet, verzerrt
  27. 9 Werte
  28. 25; 170 bis unter 180 cm
  29. 20 bis unter 30 min: 9
  30. 180 bis unter 190 cm: 1 statt 3
  31. nein, besser: Verkehrsmittel
  32. 0 bis unter 10: 4; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 5; 30 bis unter 40: 4
  33. 20 Personen
  34. Modalwert 2, Median 2
  35. 3,44
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 9,6 statt 3,25; Median 4 statt 3
  38. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 5,88 % mehr
  39. x̄ = 10
  40. Median 7; Spannweite 13