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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 12, 6, 13, 6, 3. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 8
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 4, 2, 16, 8, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 2, 4, 8, 11, 16
    2. Median = mittlerer Wert = 8
    3. Spannweite = 16 − 2 = 14
    Ergebnis:
    Median 8; Spannweite 14

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Aylin will die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Stunden Sport pro Woche“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
Schritt für Schritt
  1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
  2. Besser: Lieblingssportart
  1. Nein: viel Sport heißt nicht, welcher Sport beliebt ist
  2. Besser: Lieblingssportart
Ergebnis:
nein, besser: Lieblingssportart

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viel Zeit verbringen Jugendliche am Tag mit dem Handy?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Handyzeit in Minuten pro Tag
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. ●2
    Emre will die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Verkehrsmittel“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: das Verkehrsmittel sagt nichts über die Dauer
    2. Besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
    Ergebnis:
    nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  3. ★3
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 22, 23, 35, 9, 35, 32, 16, 22, 30, 20, 25, 22, 33, 19, 31. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
Schritt für Schritt
  1. 0 bis unter 10 min: 1
  2. 10 bis unter 20 min: 2
  3. 20 bis unter 30 min: 6
  4. 30 bis unter 40 min: 6
  5. Probe: 1 + 2 + 6 + 6 = 15
  1. 0 bis unter 10 min: 1
  2. 10 bis unter 20 min: 2
  3. 20 bis unter 30 min: 6
  4. 30 bis unter 40 min: 6
  5. Probe: 1 + 2 + 6 + 6 = 15
Ergebnis:
0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 2; 20 bis unter 30: 6; 30 bis unter 40: 6

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 17, 11, 24, 21, 34, 13, 18, 14, 34, 16, 19, 15, 5, 18, 32. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    So fängst du an:
    0 bis unter 10 min: 1
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 10 min: 1
    2. 10 bis unter 20 min: 9
    3. 20 bis unter 30 min: 2
    4. 30 bis unter 40 min: 3
    5. Probe: 1 + 9 + 2 + 3 = 15
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 9; 20 bis unter 30: 2; 30 bis unter 40: 3
  2. ●5
    Handyzeit am Tag von 15 Befragten der Jahrgangsstufe in min: 143, 92, 119, 96, 87, 34, 80, 104, 73, 104, 141, 89, 112, 30, 141. Teile in Klassen der Breite 30 min ein, beginnend bei 30. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    1. 30 bis unter 60 min: 2
    2. 60 bis unter 90 min: 4
    3. 90 bis unter 120 min: 6
    4. 120 bis unter 150 min: 3
    5. Probe: 2 + 4 + 6 + 3 = 15
    Ergebnis:
    30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 3
  3. ★6
    Körpergröße von 20 Jugendlichen im Sportverein in cm: 172, 165, 156, 170, 167, 178, 158, 173, 172, 158, 173, 180, 165, 169, 161, 170, 173, 167, 152, 182. Teile in Klassen der Breite 10 cm ein, beginnend bei 150. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    gegebengesucht20 Jugendlichen10 cm?
    Lösung zeigen
    1. 150 bis unter 160 cm: 4
    2. 160 bis unter 170 cm: 6
    3. 170 bis unter 180 cm: 8
    4. 180 bis unter 190 cm: 2
    5. Probe: 4 + 6 + 8 + 2 = 20
    Ergebnis:
    150 bis unter 160: 4; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 8; 180 bis unter 190: 2

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Höchste Säule: über 350 bis 400
  2. Höhe 8
  1. Höchste Säule: über 350 bis 400
  2. Höhe 8
Ergebnis:
350 bis unter 400 cm: 8

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 3, 5, 8, 4
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 5, 8, 4
    2. Summe: 3 + 5 + 8 + 4 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    0123456789306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 8, 7, 1, 2
    2. Summe: 2 + 8 + 7 + 1 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  3. ★9
    Das Histogramm zeigt Schulweg von Kindern der 8b. Wie viele sind es insgesamt?
    02468101201020304050Schulweg in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 1, 10, 12, 6, 1
    2. Summe: 1 + 10 + 12 + 6 + 1 = 30
    Ergebnis:
    30 Personen

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 17 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
Note123456Anzahl364121
Schritt für Schritt
  1. Häufigster Wert: 2 (6-mal)
  2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 3, bis 2: 9
  4. Median: 2
  1. Häufigster Wert: 2 (6-mal)
  2. 17 Werte, Median ist der 9. Wert
  3. Aufsummiert: bis 1: 3, bis 2: 9
  4. Median: 2
Ergebnis:
Modalwert 2, Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Die Tabelle zeigt „Note in der Mathearbeit“ bei 26 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Note123456Anzahl663083
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    2. 26 Werte, Median ist das Mittel aus dem 13. und 14. Wert
    3. Aufsummiert: bis 1: 6, bis 2: 12, bis 3: 15
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 3
  2. ●11
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Bücher im letzten Monat, 19 Antworten.
    Bücher01234Anzahl34813
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 2 (8-mal)
    2. 19 Werte, Median ist der 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 3, bis 1: 7, bis 2: 15
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Bücher im letzten Monat“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Bücher01234Anzahl18542
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 1 (8-mal)
    2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 9, bis 2: 14
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 1, Median 2

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 20 Antworten).
Bücher01234Anzahl64811
Schritt für Schritt
  1. 0 · 6 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 1 = 27
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 27 : 20 = 1,35
  1. 0 · 6 + 1 · 4 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 1 = 27
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 27 : 20 = 1,35
Ergebnis:
1,35

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 23 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl74138
    So fängst du an:
    0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 1 + 3 · 3 + 4 · 8 = 47
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 1 + 3 · 3 + 4 · 8 = 47
    2. Anzahl aller Werte: 23
    3. 47 : 23 ≈ 2,04
    Ergebnis:
    2,04
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Note in der Mathearbeit, 20 Antworten).
    Note123456Anzahl624170
    Lösung zeigen
    1. 1 · 6 + 2 · 2 + 3 · 4 + 4 · 1 + 5 · 7 + 6 · 0 = 61
    2. Anzahl aller Werte: 20
    3. 61 : 20 = 3,05
    Ergebnis:
    3,05
  3. ★15
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Anzahl der Geschwister, 29 Antworten).
    Anzahl01234Anzahl39818
    Lösung zeigen
    1. 0 · 3 + 1 · 9 + 2 · 8 + 3 · 1 + 4 · 8 = 60
    2. Anzahl aller Werte: 29
    3. 60 : 29 ≈ 2,07
    Ergebnis:
    2,07

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 14, 16, 19, 16, 19, 16. Staffel B: 19, 14, 15, 13, 13, 13. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert Staffel B: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 5 gegen 6
  1. Mittelwert Staffel A: 100 : 6 ≈ 16,67
  2. Mittelwert Staffel B: 87 : 6 = 14,5
  3. Spannweite: 5 gegen 6
Ergebnis:
im Mittel höher: Staffel A; weniger Streuung: Staffel A

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Punkte im Test. 8a: 20, 24, 5, 21, 24, 13. 8b: 15, 15, 13, 8, 20, 24. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    So fängst du an:
    Mittelwert 8a: 107 : 6 ≈ 17,83
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 107 : 6 ≈ 17,83
    2. Mittelwert 8b: 95 : 6 ≈ 15,83
    3. Spannweite: 19 gegen 16
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  2. ●17
    Punkte im Test. 8a: 7, 10, 8, 9, 9, 10. 8b: 24, 14, 9, 22, 15, 16. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 53 : 6 ≈ 8,83
    2. Mittelwert 8b: 100 : 6 ≈ 16,67
    3. Spannweite: 3 gegen 15
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 19, 4, 4, 16, 16, 21, 10, 4. 8b: 22, 21, 13, 17, 9, 21, 8, 13. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 94 : 8 = 11,75
    2. Mittelwert 8b: 124 : 8 = 15,5
    3. Spannweite: 17 gegen 14
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Taschengeld im Monat in Euro: 28, 16, 24, 20, 250. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 250.
Schritt für Schritt
  1. Mit 250: Mittelwert 338 : 5 = 67,6, Median 24
  2. Ohne: Mittelwert 88 : 4 = 22, Median 22
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 250: Mittelwert 338 : 5 = 67,6, Median 24
  2. Ohne: Mittelwert 88 : 4 = 22, Median 22
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 67,6 statt 22; Median 24 statt 22

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Handyzeit am Tag in Minuten: 126, 94, 131, 121, 600. Wie stark verändert der Wert 600 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 600: Mittelwert 1072 : 5 = 214,4, Median 126
    Lösung zeigen
    1. Mit 600: Mittelwert 1072 : 5 = 214,4, Median 126
    2. Ohne: Mittelwert 472 : 4 = 118, Median 123,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 214,4 statt 118; Median 126 statt 123,5
  2. ●20
    Handyzeit am Tag in Minuten: 115, 76, 104, 73, 480. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 480.
    Lösung zeigen
    1. Mit 480: Mittelwert 848 : 5 = 169,6, Median 104
    2. Ohne: Mittelwert 368 : 4 = 92, Median 90
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 169,6 statt 92; Median 104 statt 90
  3. ★21
    Handyzeit am Tag in Minuten: 130, 66, 88, 106, 73, 129, 540. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 540.
    Lösung zeigen
    1. Mit 540: Mittelwert 1132 : 7 ≈ 161,71, Median 106
    2. Ohne: Mittelwert 592 : 6 ≈ 98,67, Median 97
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 161,71 statt 98,67; Median 106 statt 97

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „60 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht60 Prozent10 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 6 von 10 sind 60 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 6 von 10 sind 60 %
  2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 12 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht75 Prozent12 Kinder?
    So fängst du an:
    9 von 12 sind 75 %
    Lösung zeigen
    1. 9 von 12 sind 75 %
    2. Aber: 12 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  2. ●23
    In einem Bericht steht: „Im Durchschnitt hat ein Kind 1,4 Geschwister. Die meisten Kinder haben also 1,4 Geschwister.“ Was ist an dem zweiten Satz falsch?
    Lösung zeigen
    1. Geschwister gibt es nur ganzzahlig: 0, 1, 2 …
    2. „Die meisten“ beschreibt den häufigsten Wert, nicht den Mittelwert
    Ergebnis:
    Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  3. ★24
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 66 %, Chat-App 50 %, Spiele 36 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht66 %50 %36 %100 %?
    Lösung zeigen
    1. 66 + 50 + 36 = 152
    2. Jeder durfte mehrere Apps nennen: Mehrfachnennung
    3. Dann ist eine Summe über 100 % möglich
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien
    2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
    Ergebnis:
    nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  2. ●26
    Zwei Vorschläge für die Frage „Wie zufrieden sind die Kinder mit dem Schulhof?“: A befragt 40 Personen, nämlich die Kinder, die sich bei der Schülervertretung beschwert haben. B lost 40 Kinder aus der ganzen Schule aus. Welcher Vorschlag ist besser?
    gegebengesucht40 Personen40 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. A: wer sich beschwert, ist eher unzufrieden – das verzerrt
    2. B: Beim Auslosen hat jedes Kind dieselbe Chance
    Ergebnis:
    B
  3. ●27
    Die Werte (Sprungweite in cm): 294, 386, 364, 353, 413, 327, 361, 372, 307, 317, 309, 431, 317, 320, 343. Wie viele Werte liegen in der Klasse 400 bis unter 450 cm? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 400 und alles bis kurz vor 450
    2. Gezählt: 413, 431
    3. Das sind 2
    Ergebnis:
    2 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Sprungweite von 25 Kindern beim Sportfest. Welcher Anteil liegt unter 300 cm? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl250 bis unter 300 cm2300 bis unter 350 cm8350 bis unter 400 cm11400 bis unter 450 cm4
    Lösung zeigen
    1. Unter 300: nur die erste Klasse, 2
    2. Anteil: 2 : 25 · 100 = 8
    Ergebnis:
    8 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    0123456789306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 90: 1, 3
    2. 1 + 3 = 4
    Ergebnis:
    4 Werte
  6. ●30
    Die Tabelle zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Du zeichnest ein Histogramm, ein Kästchen steht für 2 Werte. Wie hoch wird jede Säule?
    KlasseAnzahl30 bis unter 60 min260 bis unter 90 min890 bis unter 120 min13120 bis unter 150 min7
    Lösung zeigen
    1. Höhe = Anzahl : 2
    2. 1, 4, 6,5, 3,5 Kästchen
    3. Säulen ohne Lücke nebeneinander, Breite überall gleich
    Ergebnis:
    1, 4, 6,5, 3,5 Kästchen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Für die Frage „Wie viele Bücher lesen die Kinder im Monat?“ wird das Merkmal „Anzahl gelesener Bücher pro Monat“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 30, 11, 17, 9, 30, 12, 20, 20, 25, 32, 31, 23, 11, 22, 12. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 0. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 5; 30 bis unter 40: 4

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag in min. Wie viele Werte sind kleiner als 90 min?
    01234567306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    7 Werte

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 25 Antworten.
    Tore012345Anzahl528343
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Modalwert 2, Median 2

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 22 Antworten).
    Bücher01234Anzahl65038
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    2,09

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 13, 14, 16, 19, 17, 16. Staffel B: 19, 15, 16, 16, 17, 14. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 3, 9, 6, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 12 statt 6,25; Median 7 statt 6,5

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 56 %, Chat-App 41 %, Spiele 28 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht56 %41 %28 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Handyzeit in Minuten pro Tag, Zahlen
  2. nein, besser: Dauer des Schulwegs in Minuten
  3. ja, die Antworten sind Zahlen
  4. 0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 9; 20 bis unter 30: 2; 30 bis unter 40: 3
  5. 30 bis unter 60: 2; 60 bis unter 90: 4; 90 bis unter 120: 6; 120 bis unter 150: 3
  6. 150 bis unter 160: 4; 160 bis unter 170: 6; 170 bis unter 180: 8; 180 bis unter 190: 2
  7. 20 Personen
  8. 20 Personen
  9. 30 Personen
  10. Modalwert 5, Median 3
  11. Modalwert 2, Median 2
  12. Modalwert 1, Median 2
  13. 2,04
  14. 3,05
  15. 2,07
  16. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8b
  17. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8a
  18. im Mittel höher: 8b; weniger Streuung: 8b
  19. Mittelwert 214,4 statt 118; Median 126 statt 123,5
  20. Mittelwert 169,6 statt 92; Median 104 statt 90
  21. Mittelwert 161,71 statt 98,67; Median 106 statt 97
  22. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  23. Mittelwert mit dem häufigsten Wert verwechselt
  24. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  25. nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an
  26. B
  27. 2 Werte
  28. 8 %
  29. 4 Werte
  30. 1, 4, 6,5, 3,5 Kästchen
  31. ja, die Antworten sind Zahlen
  32. 0 bis unter 10: 1; 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 5; 30 bis unter 40: 4
  33. 7 Werte
  34. Modalwert 2, Median 2
  35. 2,09
  36. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel B
  37. Mittelwert 12 statt 6,25; Median 7 statt 6,5
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 8
  40. Median 8; Spannweite 14