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Mathematik · Klasse 8 · Kapitel

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Daten in Klassen: Histogramm und Kennwerte

EntdeckenDie Frage zum Kapitel

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Schreib eine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Für die Lehrkraft: Jeder Vorschlag klingt zuerst vernünftig. Beim Durchdenken merkt die Klasse, dass jeder ein anderes Ergebnis liefern würde – und dass keiner für die ganze Schule spricht. Ein ehrliches Ergebnis braucht zwei Dinge: ein Merkmal, das genau die Frage beantwortet, und eine Stichprobe, deren Auswahl nichts mit der Antwort zu tun hat. Am sichersten ist, aus der ganzen Schule auszulosen.

  • Entdecken Frage, Vorstellung, Bild
  • Merken kommt ins Heft
  • Beispiel vorgerechnet, Schritt für Schritt
  • Üben selbst rechnen
  • Achtung typischer Fehler
  • Weiterdenken zum Knobeln und Vernetzen

○ mit Starthilfe, ● für alle, ★ zum Weiterdenken. Du wählst mindestens eine ★-Aufgabe. Du rechnest ins Heft.

Fit für das Kapitel?

Das brauchst du aus früheren Themen. Klappt es nicht, frag nach, bevor es losgeht.

ÜbenWeißt du das noch?

Mittelwert und Median zeigen die Mitte, die Spannweite die Streuung.

  1. ●39
    Punkte im Test: 2, 12, 6, 13, 15. Berechne Mittelwert.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    x̄ = 9,6
  2. ●40
    Körpergrößen-Abweichungen in cm: 10, 7, 15, 12, 11. Bestimme Median und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Sortieren: 7, 10, 11, 12, 15
    2. Median = mittlerer Wert = 11
    3. Spannweite = 15 − 7 = 8
    Ergebnis:
    Median 11; Spannweite 8

So kannst du es dir vorstellen

EntdeckenDie Verteilung erzählt mehr als eine Zahl

Daten haben eine Form: wo sie sich häufen, wie weit sie streuen, ob einzelne Werte weit draußen liegen. Das Histogramm zeigt diese Form. Jeder Kennwert fasst sie in einer Zahl zusammen und lässt dabei etwas weg.

Histogramm der Körpergrößen in Klassen von 10 Zentimetern: Die meisten liegen zwischen 160 und 170140150160170180190Körpergröße in cm, Klassen zu 10 cm

WeiterdenkenDenk nach

Zwei Klassen haben im Test denselben Mittelwert. Können die Ergebnisse der beiden Klassen trotzdem ganz verschieden aussehen?

1Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

EntdeckenFrage

Kann eine Umfrage mit über zwei Millionen Antworten völlig danebenliegen?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Ja. 1936 sagte die Zeitschrift Literary Digest nach rund 2,4 Millionen Antworten den falschen Sieger der US-Präsidentenwahl voraus. Befragt waren vor allem Menschen mit Telefon und Auto, damals eher Wohlhabende. George Gallup lag mit einer viel kleineren, gut ausgewählten Stichprobe richtig.

MerkenFrage, Merkmal, Stichprobe

Erst die Frage, dann das passende Merkmal.

Die Stichprobe darf nicht verzerren: Die Fußball-AG passt nicht für den Lieblingssport. Am sichersten ist Auslosen.

BeispielPassendes Merkmal zur Frage wählen

Für die Frage „Welcher Sport ist in der 8b am beliebtesten?“ wird das Merkmal „Lieblingssportart“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
Schritt für Schritt
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
  1. Die Antworten sind Kategorien
  2. Kategorien kann man nicht addieren: kein Mittelwert, nur das Häufigste
Ergebnis:
nein, nur Kategorien – man gibt das Häufigste an

AchtungStichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○1
    Die Schülervertretung fragt: „Wie viele Stunden schlafen Achtklässler vor einem Schultag?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    So fängst du an:
    Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    Lösung zeigen
    1. Gesucht ist, was die Frage beantwortet: Schlafdauer in Stunden
    2. Die Antworten sind Zahlen, man kann rechnen
    Ergebnis:
    Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ●2
    Für die Frage „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ wird das Merkmal „Dauer des Schulwegs in Minuten“ erhoben. Kann man dazu einen Mittelwert berechnen? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Zahlen
    2. Zahlen kann man addieren und teilen: Mittelwert möglich
    Ergebnis:
    ja, die Antworten sind Zahlen
  3. ★3
    Für die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ wird das Merkmal „Lieblingsmusikrichtung“ erhoben. Welche Kennwerte kannst du angeben: Mittelwert, Median, Spannweite oder nur den häufigsten Wert? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Die Antworten sind Kategorien.
    2. Kategorien kann man weder addieren noch der Größe nach ordnen.
    3. Es bleibt nur der häufigste Wert.
    Ergebnis:
    nur den häufigsten Wert

2Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

EntdeckenFrage

Warum haben fast alle Menschen mehr Beine als der Durchschnitt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Die meisten Menschen haben zwei Beine, einige wenige haben weniger. Deshalb liegt der Mittelwert knapp unter 2. Der Median und der häufigste Wert sind aber genau 2. Der Mittelwert beschreibt hier gerade nicht das Typische.

MerkenKlassen bilden

Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.

Die 20 gehört zur nächsten Klasse. Alle Anzahlen zusammen ergeben die Zahl der Werte.

BeispielDaten in Klassen einteilen

Die Werte (Sprungweite in cm): 340, 386, 354, 299, 302, 341, 426, 381, 350, 338, 349, 279, 337, 414, 332. Wie viele Werte liegen in der Klasse 300 bis unter 350 cm? Achte auf die Grenzen.
Schritt für Schritt
  1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
  2. Gezählt: 340, 302, 341, 338, 349, 337, 332
  3. Das sind 7
  1. Die Klasse umfasst 300 und alles bis kurz vor 350
  2. Gezählt: 340, 302, 341, 338, 349, 337, 332
  3. Das sind 7
Ergebnis:
7 Werte

AchtungKlassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○4
    15 Werte (Schulweg in min): 28, 24, 33, 27, 16, 20, 40, 30, 23, 20, 33, 18, 12, 22, 29. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?40 bis unter 50?
    So fängst du an:
    10 bis unter 20 min: 3
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 3
    2. 20 bis unter 30 min: 8
    3. 30 bis unter 40 min: 3
    4. 40 bis unter 50 min: 1
    5. Probe: 3 + 8 + 3 + 1 = 15
    Ergebnis:
    3, 8, 3, 1
  2. ●5
    15 Werte (Handyzeit am Tag in min): 146, 92, 104, 92, 126, 102, 23, 49, 56, 101, 41, 114, 102, 168, 89. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl0 bis unter 30?30 bis unter 60?60 bis unter 90?90 bis unter 120?120 bis unter 150?150 bis unter 180?
    Lösung zeigen
    1. 0 bis unter 30 min: 1
    2. 30 bis unter 60 min: 3
    3. 60 bis unter 90 min: 1
    4. 90 bis unter 120 min: 7
    5. 120 bis unter 150 min: 2
    6. 150 bis unter 180 min: 1
    7. Probe: 1 + 3 + 1 + 7 + 2 + 1 = 15
    Ergebnis:
    1, 3, 1, 7, 2, 1
  3. ★6
    20 Werte (Schulweg in min): 33, 25, 11, 22, 19, 20, 39, 19, 29, 37, 17, 24, 22, 25, 17, 21, 21, 18, 19, 23. Fülle die Häufigkeitstabelle mit den Klassen aus.
    KlasseAnzahl10 bis unter 20?20 bis unter 30?30 bis unter 40?
    Lösung zeigen
    1. 10 bis unter 20 min: 7
    2. 20 bis unter 30 min: 10
    3. 30 bis unter 40 min: 3
    4. Probe: 7 + 10 + 3 = 20
    Ergebnis:
    7, 10, 3

3Ich zeichne und lese Histogramme.

EntdeckenFrage

Warum nennt die Statistik beim Lohn den Median?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Wenige sehr hohe Gehälter ziehen den Durchschnitt nach oben. Der Median teilt die Beschäftigten in zwei gleich große Hälften und bleibt von den Spitzenverdiensten fast unberührt. Er beschreibt deshalb das typische Gehalt besser.

MerkenHistogramm

Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.

Die Säulen stehen ohne Lücke nebeneinander, weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen.

BeispielHistogramm lesen

Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
0123456789150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
Schritt für Schritt
  1. Säulenhöhen ablesen: 5, 8, 6, 1
  2. Summe: 5 + 8 + 6 + 1 = 20
  1. Säulenhöhen ablesen: 5, 8, 6, 1
  2. Summe: 5 + 8 + 6 + 1 = 20
Ergebnis:
20 Personen

AchtungNoch einmal: Klassengrenze falsch zugeordnet

So nicht
Werte 12, 20, 25 in Klassen 10 bis unter 20 und 20 bis unter 30: 2 und 1
So richtig
20 gehört zu 20 bis unter 30: 12 → 1 Wert; 20 und 25 → 2 Werte

„Bis unter 20“ heißt: Die 20 gehört schon zur nächsten Klasse. Zur Probe alle Anzahlen addieren.

ÜbenJetzt du

  1. ○7
    Das Histogramm zeigt Sprungweite von Kindern beim Sportfest. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678910250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    So fängst du an:
    Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 9, 2
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 3, 6, 9, 2
    2. Summe: 3 + 6 + 9 + 2 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  2. ●8
    Das Histogramm zeigt Sprungweite in cm. Wie viele Werte sind kleiner als 350 cm?
    01234567891011250300350400450Sprungweite in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulen links von 350: 3, 10
    2. 3 + 10 = 13
    Ergebnis:
    13 Werte
  3. ★9
    Lies aus dem Histogramm ab: In welcher Klasse liegen die meisten Werte, und wie viele sind es?
    024681012141618150160170180190Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Höchste Säule: über 160 bis 170
    2. Höhe 17
    Ergebnis:
    160 bis unter 170 cm: 17

4Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Kann man ein Rind wiegen, indem man 800 Menschen raten lässt?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Fast. Francis Galton sammelte 1906 auf einer Viehmesse rund 800 Schätzungen zum Gewicht eines Ochsen. Der Median lag bei 1207 Pfund, das echte Gewicht bei 1198 Pfund. Der mittlere Wert vieler Schätzungen traf besser als fast jede einzelne.

MerkenModalwert und Median

Der Modalwert ist der häufigste Wert.

Der Median steht in der Mitte der geordneten Werte. In der Tabelle zählt man die Anzahlen auf, bis die Mitte erreicht ist.

BeispielModalwert und Median aus der Häufigkeitstabelle

Noah schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 21 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
Anzahl01234Anzahl15681
Schritt für Schritt
  1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 6, bis 2: 12
  3. Median: 2
  1. 21 Werte: Median ist der 11. Wert
  2. Aufsummiert: bis 0: 1, bis 1: 6, bis 2: 12
  3. Median: 2
Ergebnis:
Median 2

AchtungMedian ohne Ordnen oder aus der Tabellenmitte

So nicht
Tabelle Geschwister 0 bis 4 mit Anzahlen 3, 8, 5, 2, 1: Median = 2, der mittlere Tabellenwert
So richtig
19 Werte, der 10. zählt: 3, dann 3 + 8 = 11 ≥ 10 → Median = 1

Der Median ist der mittlere der GEORDNETEN Werte. In der Tabelle die Anzahlen aufsummieren, bis die Mitte erreicht ist.

ÜbenJetzt du

  1. ○10
    Welcher Wert kommt am häufigsten vor, und welcher steht in der Mitte der geordneten Liste? Merkmal: Tore pro Spiel, 21 Antworten.
    Tore012345Anzahl461028
    So fängst du an:
    Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 5 (8-mal)
    2. 21 Werte, Median ist der 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 4, bis 1: 10, bis 2: 11
    4. Median: 2
    Ergebnis:
    Modalwert 5, Median 2
  2. ●11
    Die Tabelle zeigt „Tore pro Spiel“ bei 20 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Tore012345Anzahl231635
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 3 (6-mal)
    2. 20 Werte, Median ist das Mittel aus dem 10. und 11. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 2, bis 1: 5, bis 2: 6, bis 3: 12
    4. Median: 3
    Ergebnis:
    Modalwert 3, Median 3
  3. ★12
    Die Tabelle zeigt „Anzahl der Geschwister“ bei 18 Kindern. Bestimme Modalwert und Median.
    Anzahl01234Anzahl72423
    Lösung zeigen
    1. Häufigster Wert: 0 (7-mal)
    2. 18 Werte, Median ist das Mittel aus dem 9. und 10. Wert
    3. Aufsummiert: bis 0: 7, bis 1: 9, bis 2: 13
    4. Median: 1,5
    Ergebnis:
    Modalwert 0, Median 1,5

5Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

EntdeckenFrage

Warum stehen die Säulen in einem Histogramm ohne Lücke nebeneinander?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Weil die Klassen lückenlos aneinanderstoßen: Wo die Klasse 150 bis unter 160 cm aufhört, beginnt die nächste. Eine Lücke würde behaupten, dass es Werte dazwischen nicht gibt. Beim Säulendiagramm für Lieblingsfarben gibt es dagegen nichts zwischen Rot und Blau.

MerkenGewichteter Mittelwert

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.

Man rechnet Wert mal Anzahl, addiert und teilt durch die Zahl aller Werte. Bei Klassen nimmt man die Klassenmitten.

BeispielMittelwert aus der Häufigkeitstabelle

Wie groß ist der Durchschnitt für „Bücher im letzten Monat“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
Bücher01234Anzahl72353
Schritt für Schritt
  1. 0 · 7 + 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 3 = 35
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 35 : 20 = 1,75
  1. 0 · 7 + 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 3 = 35
  2. Anzahl aller Werte: 20
  3. 35 : 20 = 1,75
Ergebnis:
1,75

AchtungMittelwert ohne die Häufigkeiten

So nicht
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 + 1 + 2) : 3 = 1
So richtig
Geschwister 0, 1, 2 mit Anzahlen 2, 3, 15: (0 · 2 + 1 · 3 + 2 · 15) : 20 = 33 : 20 = 1,65

Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt: Wert mal Anzahl, dann durch die Zahl ALLER Werte teilen.

ÜbenJetzt du

  1. ○13
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl144600
    So fängst du an:
    1 · 1 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 + 5 · 0 + 6 · 0 = 45
    Lösung zeigen
    1. 1 · 1 + 2 · 4 + 3 · 4 + 4 · 6 + 5 · 0 + 6 · 0 = 45
    2. Anzahl aller Werte: 15
    3. 45 : 15 = 3
    Ergebnis:
    3
  2. ●14
    Berechne den Mittelwert aus der Häufigkeitstabelle (Bücher im letzten Monat, 16 Antworten).
    Bücher01234Anzahl54043
    Lösung zeigen
    1. 0 · 5 + 1 · 4 + 2 · 0 + 3 · 4 + 4 · 3 = 28
    2. Anzahl aller Werte: 16
    3. 28 : 16 = 1,75
    Ergebnis:
    1,75
  3. ★15
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Tore pro Spiel“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Tore012345Anzahl7469118
    Lösung zeigen
    1. 0 · 7 + 1 · 4 + 2 · 6 + 3 · 9 + 4 · 11 + 5 · 8 = 127
    2. Anzahl aller Werte: 45
    3. 127 : 45 ≈ 2,82
    Ergebnis:
    2,82

6Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

EntdeckenFrage

Zwei Klassen haben im Test denselben Durchschnitt – sind sie dann gleich gut?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nicht unbedingt. In der einen Klasse können alle im Mittelfeld liegen, in der anderen gibt es viele sehr gute und viele schwache Ergebnisse. Der Mittelwert ist gleich, die Streuung ganz verschieden. Erst Histogramm und Spannweite zeigen den Unterschied.

MerkenGruppen vergleichen

Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.

Die Mitte zeigen Mittelwert oder Median, die Streuung die Spannweite. Ein Kennwert allein reicht nicht.

BeispielZwei Gruppen mit Kennwerten vergleichen

Punkte im Test. 8a: 16, 23, 4, 22, 9, 20. 8b: 20, 12, 24, 11, 22, 4. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
Schritt für Schritt
  1. Mittelwert 8a: 94 : 6 ≈ 15,67
  2. Mittelwert 8b: 93 : 6 = 15,5
  3. Spannweite: 19 gegen 20
  1. Mittelwert 8a: 94 : 6 ≈ 15,67
  2. Mittelwert 8b: 93 : 6 = 15,5
  3. Spannweite: 19 gegen 20
Ergebnis:
im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

AchtungKennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○16
    Laufzeiten über 100 m in Sekunden. Staffel A: 16, 17, 14, 19, 14, 17. Staffel B: 13, 19, 16, 16, 17, 19. Welche Gruppe liegt im Mittel höher, welche streut weniger?
    So fängst du an:
    Mittelwert Staffel A: 97 : 6 ≈ 16,17
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Staffel A: 97 : 6 ≈ 16,17
    2. Mittelwert Staffel B: 100 : 6 ≈ 16,67
    3. Spannweite: 5 gegen 6
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  2. ●17
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 389, 416, 350, 414, 412, 356. Gruppe Süd: 374, 350, 325, 359, 337, 365. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert Gruppe Nord: 2337 : 6 = 389,5
    2. Mittelwert Gruppe Süd: 2110 : 6 ≈ 351,67
    3. Spannweite: 66 gegen 49
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  3. ★18
    Punkte im Test. 8a: 17, 15, 8, 15, 10, 17, 23, 14. 8b: 10, 9, 21, 4, 7, 7, 16, 23. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    1. Mittelwert 8a: 119 : 8 ≈ 14,88
    2. Mittelwert 8b: 97 : 8 ≈ 12,13
    3. Spannweite: 15 gegen 19
    Ergebnis:
    im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a

7Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

EntdeckenFrage

Bei einer Umfrage zum Schulweg tippt ein Kind 300 statt 30 Minuten ein. Was passiert mit dem Durchschnitt der Klasse?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Bei 25 Kindern steigt der Mittelwert um 270 : 25 = 10,8 Minuten. Der Median bleibt gleich, weil der falsche Wert nur ans obere Ende rückt. Ein einziger Ausreißer verschiebt also den Mittelwert, den Median kaum.

MerkenAusreißer

Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.

Er zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Dann beschreibt der Median das Typische besser.

BeispielAusreißer: Mittelwert und Median im Vergleich

Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 5, 6, 3, 3, 35. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 35.
Schritt für Schritt
  1. Mit 35: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 5
  2. Ohne: Mittelwert 17 : 4 = 4,25, Median 4
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
  1. Mit 35: Mittelwert 52 : 5 = 10,4, Median 5
  2. Ohne: Mittelwert 17 : 4 = 4,25, Median 4
  3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
Ergebnis:
Mittelwert 10,4 statt 4,25; Median 5 statt 4

AchtungNoch einmal: Kennwert falsch gedeutet

So nicht
Taschengeld 20, 25, 25, 30, 200 Euro: Mittelwert 60 → typisch sind 60 Euro
So richtig
Median = 25 → typisch sind 25 Euro; die 200 zieht nur den Mittelwert hoch

Der Mittelwert ist nicht der häufigste Wert und springt bei Ausreißern. Erst fragen, was der Kennwert misst.

ÜbenJetzt du

  1. ○19
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 4, 5, 7, 5, 40. Wie stark verändert der Wert 40 den Mittelwert, wie stark den Median?
    So fängst du an:
    Mit 40: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 5
    Lösung zeigen
    1. Mit 40: Mittelwert 61 : 5 = 12,2, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 21 : 4 = 5,25, Median 5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 5 statt 5
  2. ●20
    Taschengeld im Monat in Euro: 40, 17, 17, 33, 200. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 200.
    Lösung zeigen
    1. Mit 200: Mittelwert 307 : 5 = 61,4, Median 33
    2. Ohne: Mittelwert 107 : 4 = 26,75, Median 25
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 61,4 statt 26,75; Median 33 statt 25
  3. ★21
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 7, 2, 6, 5, 3, 4, 45. Berechne Mittelwert und Median mit und ohne den Wert 45.
    Lösung zeigen
    1. Mit 45: Mittelwert 72 : 7 ≈ 10,29, Median 5
    2. Ohne: Mittelwert 27 : 6 = 4,5, Median 4,5
    3. Der Mittelwert springt, der Median kaum
    Ergebnis:
    Mittelwert 10,29 statt 4,5; Median 5 statt 4,5

8Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

EntdeckenFrage

In Ländern mit mehr Störchen werden mehr Babys geboren. Bringt also der Storch die Kinder?

Was meinst du? Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest.

Auflösung

Nein. Große Länder haben mehr Platz für Störche und mehr Einwohner, also auch mehr Geburten. Beide Zahlen hängen von der Größe des Landes ab, nicht voneinander. Ein Zusammenhang in den Daten ist noch keine Ursache.

MerkenStatistiken beurteilen

Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Der Durchschnitt meint nicht „die meisten“. Prozentpunkte sind keine Prozent.

BeispielAussagen über Statistiken prüfen

Schlagzeile der Schülerzeitung: „75 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 20 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
gegebengesucht75 Prozent20 Kinder?
Schritt für Schritt
  1. 15 von 20 sind 75 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
  1. 15 von 20 sind 75 %
  2. Aber: 20 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
Ergebnis:
nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut

AchtungNoch einmal: Stichprobe oder Merkmal passt nicht zur Frage

So nicht
Frage: Welcher Sport ist an der Schule beliebt? Befragt: die Fußball-AG → Fußball ist am beliebtesten
So richtig
Befragt: aus jeder Klasse ausgeloste Kinder → Ergebnis gilt für die Schule

Hängt die Auswahl der Befragten mit der Antwort zusammen? Dann ist die Stichprobe verzerrt.

ÜbenJetzt du

  1. ○22
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 19 % auf 21 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 2 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht19 %21 %?
    So fängst du an:
    Unterschied: 21 − 19 = 2 Prozentpunkte
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 21 − 19 = 2 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 2 : 19 · 100 ≈ 10,53 %
    Ergebnis:
    ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 10,53 % mehr
  2. ●23
    Schlagzeile der Schülerzeitung: „80 Prozent aller Berliner Jugendlichen wollen längere Pausen!“ Befragt wurden 10 Kinder aus einer Klasse. Ist die Aussage haltbar?
    gegebengesucht80 Prozent10 Kinder?
    Lösung zeigen
    1. 8 von 10 sind 80 %
    2. Aber: 10 Kinder aus einer Klasse stehen nicht für ganz Berlin
    Ergebnis:
    nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  3. ★24
    Der Anteil der Kinder, die mit dem Rad kommen, stieg von 22 % auf 27 %. Die Zeitung schreibt: „Ein Plus von 5 Prozent.“ Stimmt das?
    gegebengesucht22 %27 %?
    Lösung zeigen
    1. Unterschied: 27 − 22 = 5 Prozentpunkte
    2. Im Verhältnis: 5 : 22 · 100 ≈ 22,73 %
    Ergebnis:
    ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 22,73 % mehr

Vermischte Übungen

Alles durcheinander – wie in der Arbeit. Überleg bei jeder Aufgabe zuerst: Welches Ziel ist das?

Üben

  1. ●25
    Ben will die Frage „Welche Musikrichtung hören Jugendliche am liebsten?“ beantworten und erhebt das Merkmal „Minuten Musik pro Tag“. Passt das? Schlage ein besseres Merkmal vor.
    Lösung zeigen
    1. Nein: viel Musik heißt nicht, welche Richtung
    2. Besser: Lieblingsmusikrichtung
    Ergebnis:
    nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  2. ●26
    Frage: „Wie lange schlafen die Achtklässler unserer Schule?“ Befragt werden 60 Personen, nämlich aus jeder achten Klasse jedes dritte Kind der Namensliste. Ist die Stichprobe geeignet? Begründe.
    Lösung zeigen
    1. Hängt die Auswahl mit der Antwort zusammen?
    2. Nein: jede achte Klasse ist vertreten, und die Auswahl hängt nicht vom Schlaf ab
    Ergebnis:
    geeignet
  3. ●27
    Die Werte (Schulweg in min): 18, 33, 14, 35, 19, 31, 21, 27, 19, 38, 15, 35, 10, 25, 11. Wie viele Werte liegen in der Klasse 10 bis unter 20 min? Achte auf die Grenzen.
    Lösung zeigen
    1. Die Klasse umfasst 10 und alles bis kurz vor 20
    2. Gezählt: 18, 14, 19, 19, 15, 10, 11
    3. Das sind 7
    Ergebnis:
    7 Werte
  4. ●28
    Die Tabelle zeigt Schulweg von 25 Kindern der 8b. Welcher Anteil liegt unter 40 min? Gib ihn in Prozent an.
    KlasseAnzahl0 bis unter 10 min210 bis unter 20 min620 bis unter 30 min930 bis unter 40 min740 bis unter 50 min1
    Lösung zeigen
    1. Unter 40: 2 + 6 + 9 + 7 = 24
    2. Anteil: 24 : 25 · 100 = 96
    Ergebnis:
    96 %
  5. ●29
    Das Histogramm zeigt Handyzeit am Tag von Befragten der Jahrgangsstufe. Wie viele sind es insgesamt?
    012345678306090120150180Handyzeit am Tag in minAnzahl
    Lösung zeigen
    1. Säulenhöhen ablesen: 2, 7, 6, 4, 1
    2. Summe: 2 + 7 + 6 + 4 + 1 = 20
    Ergebnis:
    20 Personen
  6. ●30
    Noah zeichnet für Körpergröße die Säulen mit Lücken dazwischen, wie beim Säulendiagramm. Warum ist das beim Histogramm falsch? Wie viele Säulen braucht Noah für die Klassen von 150 bis 180 cm?
    Lösung zeigen
    1. Die Klassen stoßen lückenlos aneinander: keine Lücke
    2. (180 − 150) : 10 = 3
    Ergebnis:
    ohne Lücken, 3 Säulen

Auf einen Blick

MerkenDas Wichtigste

Frage, Merkmal, Stichprobe
Erst die Frage, dann das passende Merkmal.
Klassen bilden
Klassen fassen viele Werte zusammen, zum Beispiel 10 bis unter 20 Minuten.
Histogramm
Im Histogramm steht für jede Klasse eine Säule, deren Höhe die Anzahl zeigt.
Modalwert und Median
Der Modalwert ist der häufigste Wert.
Gewichteter Mittelwert
Jeder Wert zählt so oft, wie er vorkommt.
Gruppen vergleichen
Zwei Gruppen vergleicht man in Mitte und Streuung.
Ausreißer
Ein Ausreißer liegt weit weg von den übrigen Werten.
Statistiken beurteilen
Erst prüfen, wer befragt wurde und welcher Kennwert dasteht.

Kannst du das?

Je Ziel eine Aufgabe. Rechne sie ins Heft, dann kreuz ehrlich an. Keine Punkte, keine Note – der Test ist für dich.

ÜbenSelbsttest

  1. Ich plane eine Erhebung mit passender Frage, passendem Merkmal und passender Stichprobe.

    31
    Die Schülervertretung fragt: „Wie lange brauchen die Kinder unserer Schule für den Schulweg?“ Welches Merkmal muss sie erheben? Sind die Antworten Zahlen oder Kategorien?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen

  2. Ich teile Daten in Klassen ein und lege eine Häufigkeitstabelle an.

    32
    Schulweg von 15 Kindern der 8b in min: 23, 31, 28, 19, 33, 37, 23, 10, 19, 31, 38, 25, 11, 19, 39. Teile in Klassen der Breite 10 min ein, beginnend bei 10. Lege eine Häufigkeitstabelle an.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 4; 30 bis unter 40: 6

  3. Ich zeichne und lese Histogramme.

    33
    Das Histogramm zeigt Körpergröße von Jugendlichen im Sportverein. Wie viele sind es insgesamt?
    024681012150160170180Körpergröße in cmAnzahl
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    20 Personen

  4. Ich bestimme Modalwert und Median aus einer Häufigkeitstabelle.

    34
    Lukas schreibt für die Tabelle (Anzahl der Geschwister) alle 12 Werte einzeln auf, um den Median zu finden. Wie geht es schneller? Bestimme den Median.
    Anzahl01234Anzahl07320
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Median 1

  5. Ich berechne den Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle.

    35
    Wie groß ist der Durchschnitt für „Note in der Mathearbeit“? Die Tabelle zeigt, wie oft jeder Wert vorkam.
    Note123456Anzahl531246
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    3,71

  6. Ich vergleiche zwei Gruppen mit Kennwerten.

    36
    Sprungweiten in cm. Gruppe Nord: 417, 340, 334, 280, 406, 358. Gruppe Süd: 371, 416, 412, 407, 409, 295. Vergleiche die Gruppen mit Mittelwert und Spannweite.
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd

  7. Ich untersuche, wie ein Ausreißer Mittelwert und Median verändert.

    37
    Wartezeit an der Haltestelle in Minuten: 8, 3, 6, 8, 35. Wie stark verändert der Wert 35 den Mittelwert, wie stark den Median?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    Mittelwert 12 statt 6,25; Median 8 statt 7

  8. Ich beurteile Aussagen über Statistiken aus dem Alltag.

    38
    Umfrage „Welche Apps nutzt du?“: Video-App 54 %, Chat-App 47 %, Spiele 31 %. Zusammen sind das mehr als 100 %. Ist die Umfrage deshalb falsch?
    gegebengesucht54 %47 %31 %100 %?
    Lösung zeigen
    Ergebnis:
    nicht falsch: Mehrfachnennungen

Bei „unsicher“ oder „noch nicht“: Lies den Abschnitt zum Ziel noch einmal und rechne seine drei Aufgaben.

Die Frage vom Anfang

EntdeckenRückschau

Die Schülerzeitung will wissen, wie die Kinder unserer Schule zur Schule kommen. Drei Vorschläge: die Radfahrer am Fahrradständer fragen, die eigene Klasse fragen oder die Leute im Bus fragen. Welcher Vorschlag liefert ein ehrliches Ergebnis?

Lies deine Vermutung vom Anfang. Kannst du die Frage jetzt mit dem Kapitel beantworten?

Auflösung

Mit dem Werkzeug aus diesem Kapitel: Die Frage vor der Erhebung: passendes Merkmal und passende Stichprobe.

Wo brauchst du das?

Entdecken

Umfragen, Handyzeit, Sportergebnisse und Zahlen in den Nachrichten. Beruf: Qualitätskontrolle in der Produktion, Marktforschung, Auswertungen in Pflege und Medizin.

Wörter

Häufigkeit
wie oft etwas vorkommt
Median
der Wert genau in der Mitte, wenn man sortiert
Mittelwert
alles zusammen, geteilt durch die Anzahl
Prozentsatz
wie viel Prozent es sind
Prozentwert
der Teil, um den es geht
Spannweite
vom kleinsten bis zum größten Wert
Teiler
eine Zahl, durch die es ohne Rest aufgeht

Wie es zusammenhängt

Das brauchst du vorher: Daten und Zufall, Prozentrechnung

Lösungen

  1. Schlafdauer in Stunden, Zahlen
  2. ja, die Antworten sind Zahlen
  3. nur den häufigsten Wert
  4. 3, 8, 3, 1
  5. 1, 3, 1, 7, 2, 1
  6. 7, 10, 3
  7. 20 Personen
  8. 13 Werte
  9. 160 bis unter 170 cm: 17
  10. Modalwert 5, Median 2
  11. Modalwert 3, Median 3
  12. Modalwert 0, Median 1,5
  13. 3
  14. 1,75
  15. 2,82
  16. im Mittel höher: Staffel B; weniger Streuung: Staffel A
  17. im Mittel höher: Gruppe Nord; weniger Streuung: Gruppe Süd
  18. im Mittel höher: 8a; weniger Streuung: 8a
  19. Mittelwert 12,2 statt 5,25; Median 5 statt 5
  20. Mittelwert 61,4 statt 26,75; Median 33 statt 25
  21. Mittelwert 10,29 statt 4,5; Median 5 statt 4,5
  22. ungenau: 2 Prozentpunkte, das sind 10,53 % mehr
  23. nicht haltbar: Stichprobe zu klein und nicht gestreut
  24. ungenau: 5 Prozentpunkte, das sind 22,73 % mehr
  25. nein, besser: Lieblingsmusikrichtung
  26. geeignet
  27. 7 Werte
  28. 96 %
  29. 20 Personen
  30. ohne Lücken, 3 Säulen
  31. Dauer des Schulwegs in Minuten, Zahlen
  32. 10 bis unter 20: 5; 20 bis unter 30: 4; 30 bis unter 40: 6
  33. 20 Personen
  34. Median 1
  35. 3,71
  36. im Mittel höher: Gruppe Süd; weniger Streuung: Gruppe Süd
  37. Mittelwert 12 statt 6,25; Median 8 statt 7
  38. nicht falsch: Mehrfachnennungen
  39. x̄ = 9,6
  40. Median 11; Spannweite 8